Érettségi, felvételi és OKTV feladatok a mobilodon
Átló
Töltsd le matematica.hu Android appomat, amivel mobil eszközökön még kényelmesebben, pl. hangvezérléssel is hozzáférsz az adatbázisban tárolt feladatokhoz!
Címke: átló
átló(e) Diagonalediagonal
Definíció: Sokszög vagy test két olyan csúcsát összekötő szakasz, amik között nem vezet él.
Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD, és AB > CD. A trapéz átlóinak metszés- pontja K. Az ABK háromszög AB oldalához tartozó magassága kétszerese a CDK három- szög CD oldalához tartozó magasságának. Jelölje T az ADK háromszög területét. Hányszorosa az ABCD trapéz területe T-nek?
Egy tengelyesen szimmetrikus érintőtrapéz alapjainak hossza 5, illetve 20 egység. a) Számítsa ki a trapéz területét és átlójának hosszát! b) Számítsa ki annak a forgástestnek a térfogatát, amelyet úgy kapunk, hogy a trapézt megforgatjuk a hosszabbik alapja körül. c) Bizonyítsa be általánosan a következő állítást: Ha egy húrtrapéz érintőnégyszög, akkor magasságának hossza az alapok hosszának mértani közepe.
Egy négyzet alapú egyenes hasáb alapéle 18 egység, testátlója 236 egység. a) Mekkora szöget zár be a testátló az alaplap síkjával? b) Hány területegység a hasáb felszíne? (A felszín mérőszámát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!) c) Az alapél és a testátló hosszát - ebben a sorrendben - tekintsük egy mértani sorozat első és negyedik tagjának! Igazolja, hogy az alaplap átlójának hossza ennek a sorozatnak második tagja!
Az ABCD konvex négyszög oldalegyeneseinek egyenlete rendre: DA: 02043 = yx , AB: 02053 =+ yx , BC: 01234 =+ yx , CD: 01535 =++ yx . a) Igazolja, hogy a négyszög átlói az x és az y tengelyre illeszkednek, továbbá hogy ennek a négyszögnek nincsen derékszöge! b) Bizonyítsa be, hogy ez a négyszög húrnégyszög!
Egy 90 m² területű, trapéz alakú virágágyás párhuzamos oldalainak aránya 2:3: =DCAB . Az ágyást tavasszal és ősszel is az évszaknak megfelelő virágokkal ültetik be. Mindkét alkalommal mindegyik fajta virágból átlagosan 50 virágtövet ültetnek négyzetméterenként. Tavasszal az átlókkal kijelölt négy háromszögre bontották a virágágyást. Az ABM háromszögbe sárga virágokat, a DMC háromszögbe fehéret, a maradék két részbe piros virágokat ültettek. a) A tavaszi parkosításkor hány darab fehér, hány piros és hány sárga virágot ültettek be? Ősszel a másik ábra alapján tervezték meg a virágok elhelyezését. (Az E, F, G és H pontok a trapéz oldalainak felezőpontjai.) Ekkor is fehér (f), piros (p) és sárga (s) virágokat ültettek a tervrajz alapján. b) Az őszi parkosításkor hány darab fehér, hány piros és hány sárga virágot ültettek? Válaszait az alábbi táblázatban tüntesse fel! fehér piros sárga tavasszal ősszel
Megrajzoltuk az ABCDE szabályos ötszöget, és berajzoltuk minden átlóját. Az átlók metszéspontjait az ábra szerint betűztük meg: P, Q, R, S, T. a) Hány olyan háromszög látható az ábrán, amelynek mindhárom csúcsa a megjelölt 10 pont közül való, és mindhárom oldalegyenese az ABCDE ötszög oldalegyenesei és átlóegyenesei közül kerül ki? Hány lényegesen különböző háromszög van ezek között, ha az egymáshoz hasonló háromszögeket nem tekintjük lényegesen különbözőknek? b) Tudjuk, hogy az ABCQ négyszög területe 120 2 cm . Mekkora az ABCDE ötszög területe? Válaszát egész értékre kerekítve adja meg! c) Tekintsük azt a tíz csúcsú gráfot, amelyet a megadott ábra szemléltet. Erről a gráfról fogalmaztunk meg két állítást. Állapítsa meg mindkét állításról, hogy igaz vagy hamis! Adjon rövid magyarázatot válaszára! 1. állítás: Ennek a gráfnak 20 éle van. 2. állítás: Ebben a gráfban van olyan részgráf, amely nyolc élű kör.
Az ABCDEF szabályos hatszögben a rövidebb átló hossza 25 . a) Számítsa ki a hatszög területének pontos értékét! b) Az ABCDEF hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét jelölje 1t , a 1t területű hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét 2t , és így tovább, képezve ezzel a { }nt sorozatot. Számítsa ki a ( )n n ttt +++ ...lim 21 határértéket! (Pontos értékekkel számoljon!)
a) A PQRS húrnégyszöget a PR és a QS átlók megrajzolásával négy háromszögre bontottuk. Igazolja, hogy ezek közül a két-két szemközti háromszög hasonló egymáshoz! Az ABCD húrnégyszög AB oldala a négyszög körülírt körének egyik átmérője. A négyszög BC oldala 3 cm, a CD oldala 5 cm hosszú, továbbá BCD = 120°. b) Számítsa ki a négyszög BD átlójának, AB oldalának és AD oldalának hosszát, valamint a négyszög többi szögét!
a) Legyen G egy nyolcpontú egyszerű gráf, amelynek összesen 9 éle van. Igazolja, hogy G csúcsai között biztosan van olyan, amelynek a fokszáma legalább 3. b) Az A, B, C, D, E, F, G, H pontok egy szabályos nyolcszög csúcsai. Megrajzoljuk a nyolcszög oldalait és átlóit. A megrajzolt szakaszok közül véletlenszerűen kivá- lasztunk négyet. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy mind a négy kivá- lasztott szakasz az A csúcsból indul ki! c) Nyolc sakkozó részére egyéni bajnokságot szerveznek. Hányféleképpen készíthető el az első forduló párosítása, ha ebben a fordulóban mindenki egy mérkőzést játszik? (Két párosítást különbözőnek tekintünk, ha az egyik tartalmaz olyan mérkőzést, amelyet a másik nem.)
Az interneten érdekes hírként jelent meg 2015-ben, hogy a matematikusok újabb, egybe- vágó ötszögekből álló hézagmentes síklefedést (parkettázást) fedeztek fel. (A két ábrán a parkettázás egy részlete, illetve a parketta egyik ötszögének néhány adata látható: EA = AB = CD = 1, BC = 2, EAB = 90º, ABC = 150º, BCD = 60º.) a) Igazolja, hogy az ábrán megadott ötszög B csúcsából húzott két átló 75°-os szöget zár be egymással! b) Igazolja (például addíciós tételek segítségével), hogy 4 26 75cos . c) Igazolja, hogy az ötszög DE oldala hosszának pontos értéke 32 . d) Igazolja, hogy 2 26 32 .