A kör és részei. Kerületi szög, középponti szög, látószög. Húrnégyszögek, érintőnégyszögek.
A kör és részei
Definíció: körnek (körvonalnak) nevezzük egy adott ponttól (a kör középpontjától) egyenlő távolságra lévő pontok halmazát a síkban. Ezt a távolságot a kör sugarának nevezzük, jele: r (radius).
Definíció: a kör húrja a körvonal tetszőleges két pontját összekötő szakasz.
Definíció: a kör átmérője (jele: d, diameter) alatt a kör leghosszabb húrját értjük. d = 2r. Az átmérő átmegy a küzéppontot.
Definíció: a kör szelője egy olyan egyenes, ami pontosan két pontban metszi a körvonalat.
Definíció: a körlap a körvonallal körbezárt síkrész.
Definíció: a kör szelője két körszeletre osztja a körlapot.
Definíció: körívnek nevezzük a körvonal két pontja közötti görbét.
Definíció: körcikknek nevezzük a körlap azon részét, amit két sugár és a közöttük lévő körív határol.
Definíció: érintő(egyenes)nek nevezzük azt az egyenest, aminek pontosan egy közös pontja van a körvonallal. Ez a pont az érintési pont. Az érintő merőleges az érintési ponthoz tartozó sugárra.
Tétel: érintő- és szelőszakaszok tétele: egy külső X pontből egy e érintőt és egy szelőt húzunk a körhöz úgy, hogy az a kört az P és a Q pontban metszi. Legyen XP=p, XQ=q! Ekkor e2 = pq.
Képlet: K = 2rπ
Képlet: T = r2π
Kerületi szög, középponti szög, látószög
Definíció: a kör egy kerületi szögének nevezzük azt a 0≤α<180° szöget, aminek csúcsa a körvonalon van, és szárai a körvonalat metszik.
Definíció: a kör egy középponti szögének nevezzük azt a 0≤α≤360° szöget, aminek csúcsa a kör középontja, szárai pedig a kör két sugara.
Tétel: középponti és kerületi szögek tétele: a középponti szög nagysága kétszerese az ugyanazon ívhez tartozó kerületi szögének.
Definíció: látószög alatt azt a szöget értjük, amely alatt egy adott pontból egy adott szakasz látszik.
Tétel: Thálesz-tétel: a kör vonaláról a kör átmérője derékszögben látszik.
Tétel: Thálesz-tétel megfordítása: ha egy háromszög köré írható kör középpontja az egyik oldal felezőpontjával esik egybe, akkor a háromszög derékszögű, és ez az oldal az átfogója.
Definíció: egy szakasz látószög-körívei azon két nyílt végű körív, amelyeknek minden pontjából ugyanakkora szögben látszik a szakasz.
Tulajdonság: egy szakasz tompaszögű látószög-körívei "szilva" alakban, a szakaszra szimmetrikusan rajzolódnak ki.
Tulajdonság: egy szakasz derékszögű látószög-körívei a szakasz Thálesz-körét adják vissza.
Tulajdonság: egy szakasz hegyesszögű látószög-körívei "hóembert" rajzolnak ki a szakasz körül.
Tulajdonság: a szakasz a Thálesz-körének belsejéből tompa-, a körvonalról derék-, a körvonalon kívülről hegyesszögben látszik.
Tulajdonság: úgy aránylik a középponti szög a teljesszöghöz, mint az általa meghatározott körív hossz a kör kerületéhez, illetve az általa meghatározott körcikk a kör területéhez.
Húrnégyszögek, érintőnégyszögek
Definíció: húrnégyszögnek nevezzük azt a négyszöget, aminek minden oldala ugyanazon kör húrja, vagyis amelyik négyszög köré kör írható. Minden négyzet, téglalap és húrtrapéz húrnégyszög.
Tétel: húrnégyszög-tétel: a húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180°.
Tétel: húrnégyszög-tétel megfordítása: ha egy négyszög szemközti szögeinek összege 180°, akkor húrnégyszög.
Definíció: érintőnégyszögnek nevezzük azt a négyszöget, aminek minden oldala ugyanazon kör érintője, vagyis amelyik négyszögbe kör írható. Minden négyzet, rombusz és deltoid érintőnégyszög.
Tétel: érintőnégyszög-tétel: bármely érintőnégyszögben a két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő. a+c = b+d = s = K/2.
Tétel: érintőnégyszög-tétel megfordítása: ha egy négyszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, akkor érintőnégyszög.
Tétel: az érintőnégyszög szögfelezői a beírt kör középpontjában metszik egymást.
Tétel: ha egy négyszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, akkor érintőnégyszög.
Definíció: bicentrikus négyszögnek nevezzük azt a négyszöget, ami húr- és érintőnégyszög is egyúttal.
A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.