Halmazok, halmazműveletek

Definíció: A halmaz valamilyen szempontból hasonló dolgok egy csoportja. Például egy adott osztályba járó diákok halmaza. Egy adott halmazban ugyanaz az elem nem szerepelhet kétszer, és az elemeknek nincs sem sorrendjük, sem hierarchiájuk.

Definíció: A halmaz számossága (elemszáma) a benne lévő elemek száma.

Definíció: Az üreshalmaz olyan halmaz, aminek egyetlen eleme sincsen. Jele: ∅.

Definíció: Az A halmaz részhalmaza B-nek, ha nincs olyan eleme A-nak, ami ne lenne eleme B-nek. Jele: A ⊆ B. Ha A ⊆ B, de van még A-n kívüli eleme is B-nek, akkor A valódi részhalmaza B-nek. Jele: A ⊂ B.

Definíció: A és B halmaz diszjunkt, ha nincs közös elemük, vagyis a metszetük üres halmaz.

Tulajdonság: Egy halmaz sszámossága véges és végtelen is lehet. Véges elemszámú halmaz például az üreshalmaz, végtelen elemszámú például a természetes számok halmaza. Ez utóbbi halmaz vagy a racionális számok halmazának számossága megszámlálhatóan végtelen, de egy egyenes pontjainak halmazának számossága megszámlálhatatlanul végtelen.

Jelölés: Ha egy e elem benne van az A halmazban, azt úgy jelöljük, hogy e ∊ A.

Művelet: A és B halmaz uniója az az A ∪ B (ejtsd: Á unió B) halmaz, aminek minden eleme benne van A és B valamelyikében. Megfelel a logikai megengedő VAGY (OR) műveletnek.

Művelet: A és B halmaz metszete az az A ∩ B (ejtsd: Á metszet B) halmaz, aminek minden eleme benne van A-ban is és B-ben is. Megfelel a logikai ÉS (AND) műveletnek.

Művelet: A és B halmaz különbsége az az A \ B (ejtsd: Á-ból B) halmaz, aminek minden eleme benne van A-ban, de egyik sincs benne B-ben.

Művelet: A és B halmaz szimmetrikus különbsége az az A ∆ B halmaz, aminek minden eleme vagy A-ban, vagy B-ben van benne, de csakis az egyikben. Megfelel a logikai KIZÁRÓ VAGY (XOR, eXclusive OR) műveletnek.

Művelet: Az A halmaz komplementere az az A (ejtsd: Á komplementer) halmaz, ami minden elemet tartalmaz, ami nincs benne A-ban. Megfelel a logikai TAGADÁS (NEGÁCIÓ, NEGATION) műveletnek.

Példa: Gyakran használt számhalmazok: N: természetes számok (naturales), Z: egész számok (Zahlen), N⁺, Z⁺: pozitív egész számok, Q: racionális számok (törtszámok, quotientis), I: irracionális számok, R: valós számok (real), C: komplex számok, P: prímszámok. P ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben

• A P ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban: körvonal, a távolság a kör sugara.
• A P ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben: gömbhéj, a távolság a gömb sugara.
• A és B ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban: az AB felezőmerőlegese.
• Az F ponttól és a v egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban: parabola, aminek F a fókuszpontja, v a vezéregyenese.
• Az e egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben: henger palástja, ahol a távolság a henger sugara.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

Racionális és irracionális számok

Definíció: Racionális (vagyis tört-) számok azok a számok, amik felírhatók két egész szám hányadosaként. Jele: Q (quotientis - hányadosok).

Definíció: Irracionális számok a végtelen, nem periodikus tizedes törtek. Más szavakkal azok a számegyenesen ábrázolható számok, amik nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Jele: Q^*.

Definíció: A racionális és irracionális számok halmazának unióját a valós számok halmazának (R - real) nevezzük.

Tulajdonság: Minden racionális szám felírható a következő alakokban: közönséges tört (a/b), vegyes tört (a b/c), véges vagy végtelen szakaszos tizedes tört.

Tulajdonság: Az irracionális számoknak csak végtelen, nem szakaszos tizedes tört alakja lehetséges. Néhány ismertebb irracionális szám: π, e, √ 2 .

Műveletek a racionális és irracionális számok halmazán

Műveletek: (prioritás szerint növekvő sorrendben)

• Összeadás, kivonás
• Szorzás, osztás
• Hatványozás, gyökvonás

• Nullával osztás
• Páros gyökvonás negatív számból (csak a komplex számok halmazán értelmezhető)
• 0⁰

Közönséges törtek és tizedes törtek

Definíció: közönséges tört alatt egy racionális számnak azt az a/b alakját értjük, ami egyértelműen mutatja, hogy melyik egész számot (a, számláló) osztjuk melyik 0-tól különböző másik egész számmal (b, nevező).

Eljárás: a közönséges törteket a számláló és a nevező legnagyobb közös osztójával egyszerűsítve törekszünk felírni.

Művelet: közönséges törtek összeadásakor/kivonásakor a két törtet előbb közös nevezőre bővítjük, ami a két nevező legkisebb közös többszöröse. A számláló a két számláló összege/különbsége lesz.

Definíció: vegyes tört alatt egy racionális számnak azt az a b/c alakját értjük, ahol a a szám egészrésze, b/c pedig a törtrésze.

Definíció: tizedes tört alatt egy racionális számnak azt az alakját értjük, ahol az egészrészt tizedesvessző után követi a 10-hatványként, helyiérték szerint tovább írt törtrész. Pl. 6,14 (ejtsd: 6 egész 14 század = 6 14/100.

Halmazok számossága

Jelölés: az A halmaz számosságának jele (elemszáma) |A|.

Fajták: egy halmaz elemeinek száma véges vagy végtelen lehet.

Tulajdonság: ha az A és B halmaz egyaránt végtelen elemszámú, és A ⊂ B, akkor |B| > |A|. Vagy: |A\B| > 0 <=> |A| > |B|.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

Oszthatóság, oszthatósági szabályok és tételek

Definíció: az a egész szám osztható a b egész számmal, ha létezik olyan c pozitív egész szám, hogy a=b*c. Jele: b|a.

Eljárás: (10^m)|n pontosan akkor, ha az n szám legalább m darab nullára végződik}.

Eljárás: (2^m)|n pontosan akkor, ha 2|{n utolsó m jegyéből képzett szám}.

Eljárás: (5^m)|n pontosan akkor, ha 5|{n utolsó m jegyéből képzett szám}.

Eljárás: 3|n pontosan akkor, ha 3|{n számjegyeinek összege}. Ez a módszer nemcsak a 0-s, hanem minden maradékosztályra működik.

Eljárás: 9|n pontosan akkor, ha 3|{n számjegyeinek összege}. Ez a módszer nemcsak a 0-s, hanem minden maradékosztályra működik.

Eljárás: a 7-es oszthatóságra is van szabály, de egyszerűbb elvégezni az osztást.

Eljárás: (p*q)|n pontosan akkor (p és q relatív prímek), ha p|n és q|n.

Prímszámok

Definíció: prímszám az a pozitív egész szám, aminek pontosan két pozitív osztója van (1 és önmaga). Az első prímszámok: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 stb.

Definíció: két pozitív egész szám relatív prím, ha a legnagyobb közös osztójuk az 1.

Definíció: ikerprímek azok a p és q pozitív egész számok (p>q), amikre p=q+2. Pl. a 3 és az 5.

Tétel: minden prímszámnál van nagyobb prímszám.

Számrendszerek

Definíció: ugyanazt a számot többféle számrendszerben írhatjuk fel. A számrendszernek van egy alapja (alapszáma), a világon tipikusan a 10-es számrendszert használjuk. Az a alapú számrendszerben a tizedes tört vagy egész szám egészrészét jobbról balra olvasva a nulladik számjegy az a^0 helyiértéket jelöli, az első számjegy az a^1-t, az n. számjegy az a^n-t.

Tulajdonság: az a alapú számrendszerben a legkisebb számjegy a 0, a legnagyobb az a-1. Pl.: 5-ös számrendszerben a (0 1 2 3 4) számjegyek vannak. Pl.: 16-os számrendszerben a (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F) számjegyek vannak, ahol A=10, B=11 stb.

Példa: a 8-as számrendszerben 412-ként felírt számnak (jelölés: 412₈, ejtsd: négy-egy-kettő) így számoljuk ki az értékét: 4*8^2 + 1*8 + 2 = 4*64 + 8 + 2 = 256 + 8 + 2 = 266.

Történelem: a 10-es számrendszer Rómában terjedt el, bár ott még nem helyiértékesen használták. Gyakori volt a 12-es számrendszer, ahol a 12 előnye, hogy sok osztója van (2 3 4 6). A 12-es számrendszer nyomai ma is sok helyen visszaköszönnek (tucat, elf-zwölf, eleven-twelve stb.). A 12-es számrendszerből származik a 60-as, ami az időmérésben általános ma is. A 2-es (0 1 - igen nem), valamint a belőle származtatott 16-os számrendszert az informatikában használjuk.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

A matematikai logika elemei.

Leírás: a logika egyértelműen igaz vagy hamis állításokkal, azok igazságértékével és kapcsolatával foglalkozik.

Definíció: egy állítás logikai értéke igaz vagy hamis lehet.

Logikai műveletek.

Művelet: tagadás (negáció).

Művelet: ÉS (AND) (konjunkció). P AND Q pontosan akkor, ha P igaz és Q igaz.

Művelet: megengedő VAGY (OR) (diszjunkció). P OR Q pontosan akkor, ha P igaz vagy Q igaz.

Művelet: kizáró VAGY (XOR - eXclusive OR). P XOR Q pontosan akkor, ha (P igaz és Q hamis) VAGY (P hamis és Q igaz).

Művelet: HA ..., AKKOR ... (IF ..., THEN ...) (implikáció). P -> Q pontosan akkor, ha P hamis vagy Q igaz.

Állítás megfordítása, szükséges és elégséges feltételek, bemutatásuk tételek megfogalmazásában és bizonyításában.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

Hatványozás, a hatványfogalom kiterjesztése, a hatványozás azonosságai.

Definíció: egy a és egy n pozitív egész számra aⁿ alatt azt a szorzatot értjük, amit úgy kapunk, hogy a-t n-szer összeszorozzuk önmagával. Pl. 2³ = 2*2*2 = 8.

• 0ⁿ = 0, ha n<>0
• a⁰ = 1, ha a<>0
• a¹ = a
• a^-n = 1/(aⁿ), ha a<>0
• a^1/n = n-edik gyök a, ha n<>0

• aⁿ * a^m = a^n+m
• aⁿ * bⁿ = (ab)ⁿ
• aⁿ / bⁿ = (a/b)ⁿ

Az n-edik gyök fogalma.

Definíció: egy a szám n-edik gyöke az a b szám, amire bⁿ = a.

Tulajdonság: Negatív szám páros gyökét nem értelmezzük a valós számok halmazán.

A négyzetgyök azonosságai.

Hatványfüggvények és a négyzetgyök függvény.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

A leíró statisztika jellemzői, diagramok

Definíció: a statisztika a sokaságnak mérőszámokon keresztül történő áttekintésére, összegzésére, modellezésére használt módszerek gyűjtőneve.

Tulajdonság: minél több az adat, és minél reprezentatívabb a mintavétel, annál jobban írja le a statisztika a valóságot.

Definíció: számosság alatt a sokaság elemeinek számát nevezzük.

Definíció: a minimum a sokaság legkisebb értéke.

Definíció: a maximum a sokaság legnagyobb értéke.

Definíció: a terjedelem a maximum és a minimum különbsége.

Definíció: az átlag az elemek összegének és a számosságnak a hányadosa, vagyis az elemek számtani közepe.

Definíció: a medián a nagyság szerint sorba állított elemek közül a középső, ha páratlan a számosság, vagy a középső két elem számtani közepe, ha páros a számosság.

Definíció: a módusz a leggyakoribb elem, vagy ha több van, akkor a leggyakoribb elemek halmaza.

Definíció: a szórás az egyes értékek számtani középtől való eltérésének négyzetes átlaga. Megmutatja, hogy mely elemek számítanak normálisnak (átlag pluszmínusz szórás), melyek magasnak/alacsonynak (átlagtól 1 szóráson túl), illetve extrém magasnak/alacsonynak (átlagtól 2 szóráson túl).

Definíció: a grafikont tipikusan egy adott mutató időbeli változásának szemléltetésére használjuk.

Definíció: az oszlopdiagram az elemek abszolút értékének bemutatására való. A vízszintes tengelyen az elemeket, a függőlegesen az értéket szoktuk jelölni.

Definíció: a kördiagram az elemek arányának bemutatására való. A kördiagram módosítása a fánkdiagram, ami olyan kördiagram, aminek a közepéből kivágunk egy kisebb körlapot.

Nevezetes középértékek

Felsorolás: lásd fenn: átlag, módusz, medián.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

Számsorozatok és tulajdonságaik (korlátosság, monotonitás, konvergencia)

Definíció: számsorozaton olyan egyváltozós függvényt értünk, aminek értelmezési tartománya a (pozitív) természetes számok halmaza, értékkészlete pedig valamilyen számhalmaz. Az értelmezési tartomány elemeit indexeknek nevezzük. Az a sorozat n. elemének jelölése: a_n.

Definíció: egy sorozat alsó korlátjának azt a legnagyobb számot hívjuk, aminél a sorozat egyik eleme sem kisebb.

Definíció: egy sorozat felső korlátjának azt a legkisebb számot hívjuk, aminél a sorozat egyik eleme sem nagyobb.

Definíció: egy sorozat korlátos, ha van alsó és felső korlátja is.

Definíció: egy a sorozat monoton nő, ha minden m>n-re a a_m ≥ a_n.

Definíció: egy a sorozat szigorúan monoton nő, ha minden m>n-re a a_m > a_n.

Definíció: egy a sorozat monoton csökken, ha minden m>n-re a a_m ≤ a_n.

Definíció: egy a sorozat szigorúan monoton csökken, ha minden m>n-re a a_m < a_n.

Definíció: egy a sorozat konvergens (összetartó), és az A értékhez konvergál, ha A tetszőlegesen kicsi környezetéhez létezik olyan n index, amelyiktől kezdve a sorozat minden további eleme benne van ebben a környezetben. Ezt az A értéket a sorozat határértékének nevezzük, jele: lim a_n.

Definíció: ha egy sorozat nem konvergens, akkor divergens (széttartó). Ebben az esetben a határértéke vagy ∞, vagy -∞.

Műveletek konvergens sorozatokkal

Definíció: a és b sorozat összegén azt a c sorozatot értjük, amire minden n indexre c_n = a_n+b_n.

Tulajdonság: konvergens sorozatok összege is konvergens. A határérték a két határérték összege lesz.

Definíció: a és b sorozat különbségén azt a c sorozatot értjük, amire minden n indexre c_n = a_n-b_n.

Tulajdonság: konvergens sorozatok különbsége nem feltétlen konvergens. Pl. a_n=n² és b_n=n.

Definíció: az a sorozat k-szorosán b sorozatot értjük, amire minden n indexre b_n = k*a_n.

Tulajdonság: konvergens sorozat k-szorosa is konvergens. A határérték k-szoros lesz.

Definíció: a és b sorozat szorzatán azt a c sorozatot értjük, amire minden n indexre c_n = a_n*b_n.

Tulajdonság: konvergens sorozatok szorzata is konvergens. A határérték a két határérték szorzata lesz.

Definíció: a és b sorozat hányadosán azt a c sorozatot értjük, amire minden n indexre c_n = a_n/b_n. (b elemei 0-tól különbözőek.)

Tulajdonság: konvergens sorozatok hányadosa nem feltétlen konvergens. Pl. a_n=1/n és b_n=1/n².

A számtani sorozat, az első n tag összege

Definíció: a számtani sorozat olyan számsorozat, ahol minden elemet úgy kapunk, hogy az előző eleméhez hozzáadjuk ugyanazt a d számot. Ezt a d számot a sorozat különbségének (differenciájának) nevezzük.

Tulajdonság: a számtani sorozat bármely eleme számtani közepe a tőle a két oldalon ugyanolyan távolságra lévő két elemnek.

Képlet: az a számtani sorozatban a_n=a₁+(n-1)d.

Tulajdonság: a számtani sorozat bármely eleme számtani közepe a tőle a két oldalon ugyanolyan távolságra lévő két elemnek.

Képlet: a számtani sorozatban az első n tag összege S_n = n * (a₁+a_n) / 2 = n * [2a₁ + (n-1)*d] / 2.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

Függvények lokális és globális tulajdonságai

Definíció: a függvény hozzárendelési szabálya az a képlet, ami a bemeneti adatok mindegyikéhez hozzárendel legfeljebb egy értéket. Ez alapján a függvény egy egyértelmű hozzárendelés. Ugyanakkor egy adott függvényérték több bemenet alapján is előállhat.

Definíció: a függvény értelmezési tartománya az a legbővebb értelmes számhalmaz, amire a függvény hozzárendelési szabálya értelmezhető. Jele: D.

Definíció: a függvény értékkészlete a függvény által felvett értékeket tartalmazó számhalmaz. Jele: R.

Definíció: egy függvény folytonos, ha minden pontjában megegyezik a bal- és jobboldali határérték.

Definíció: ha egy függvény nem folytonos, akkor szakadása van. Ilyen pl. az 1/x függvény, aminek az x=0 pontban szakadása van. Itt a bal oldali határérték a -∞, a jobb oldali határérték a ∞.

Definíció: a függvény globális maximuma az értékkészlet legnagyobb eleme.

Definíció: a függvény globális minimuma az értékkészlet legkisebb eleme.

Definíció: a függvény minimumát és maximumát összefoglaló néven szélsőértéknek nevezzük.

Definíció: a függvény lokális maximuma az a pont, ami előtt a függvény növekvő, utána pedig csökkenő. A legnagyobb lokális maximum egyúttal a globális maximum.

Definíció: a függvény lokális minimuma az a pont, ami előtt a függvény csökkenő, utána pedig növekvő. A legkisebb lokális minimum egyúttal a globális minimum.

Definíció: a függvény egy pontjának érintője az az egyenes, ami átmegy a ponton, és a pont egy környezetében végig a görbe ugyanazon oldalán halad.

Definíció: az f függvény deriváltja az az f' függvény, ami az f minden pontjában megmondja az érintő meredekségét.

Tulajdonság: lehetséges szélsőértéke van a függvénynek ott, ahol a derivált értéke nulla (f'(x)=0). Biztosan szélsőértéke van ott, ahol a lehetséges szélsőérték egyik oldalán pozitív a derivált, a másikon pedig negatív.

Definíció: páros függvény az a függvény, aminek a görbéje szimmetrikus az y tengelyre, vagyis f(x)=f(-x). Például f(x)=x², g(x)=x⁴, h(x)=x⁶+5, i(x)=cos x.

Definíció: páratlan függvény az a függvény, aminek a görbéje szimmetrikus az origóra, vagyis f(-x)=-f(x). Például f(x)=x, g(x)=x³, h(x)=x⁵-1, i(x)=sin x.

Definíció: (alulról nézve) konvex az a függvénygörbe, ahol az érintő egyik pontban sincs a görbe alatt (vagyis ahol a görbe alatt "nem lehet elbújni".

Definíció: (alulról nézve) konkáv az a függvénygörbe, ahol az érintő egyik pontban sincs a görbe felett (vagyis ahol a görbe alatt "el lehet bújni".

Definíció: az inflexiós pont a függvénynek az a pontja, aminek az egyik oldalán konvex, a másikon pedig konkáv a függvénygörbe. Meghatározás: ahol a második derivált értéke nulla (f''(x)=0).

A differenciálszámítás és alkalmazásai

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

Derékszögű háromszögekre vonatkozó tételek

Tétel: Pitagorasz-tétel: ha a derékszögű háromszög befogóit a-val és b-vel, átfogóját pedig c-vel jelöljük, akkor c² = a²+b².

Tétel: Pitagorasz-tétel megfordítása: ha egy háromszögben a leghosszabb oldal hosszának négyzete egyenlő a két másik oldal hosszainak négyzetösszegével, akkor a háromszög derékszögű, és a leghosszabb oldala az átfogója.

Tétel: Thálesz-tétel: a kör vonaláról a kör átmérője derékszögben látszik.

Tétel: Thálesz-tétel megfordítása: ha egy háromszög köré írható kör középpontja az egyik oldal felezőpontjával esik egybe, akkor a háromszög derékszögű, és ez az oldal az átfogója.

Tétel: magasságtétel: derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe az átfogó két szeletének. Formálisan: m_c² = c₁ * c₂.

Tétel: befogótétel: derékszögű háromszögben az egyik befogó mértani közepe az átfogón lévő merőleges vetületének és az átfogónak. Formálisan: a² = c₁ * c.

A hegyesszögek szögfüggvényei

Definíció: derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza: a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosa. Jele: sin α. Spanyolul: sen α.

Definíció: derékszögű háromszög hegyesszögének koszinusza: a szög melletti befogó és az átfogó hányadosa. Jele: cos α.

Definíció: derékszögű háromszög hegyesszögének tangense: a szöggel szemközti és a szög melletti befogó hányadosa. Jele: tg α. Angolul: tan α. tg α = sin α / cos α.

Definíció: derékszögű háromszög hegyesszögének kotangense: a szög melletti és a szöggel szemközti befogó hányadosa. Jele: ctg α. Angolul: cot α. ctg α = cos α / sin α = 1 / tg α.

Nevezetes szögek szögfüggvényértékei:

A szögfüggvények általánosítása

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai és körei

Definíció: a háromszög A csúcshoz tartozó magasságvonalán azt az egyenest értjük, ami átmegy az A ponton, és merőleges az A-val szemközti a oldal egyenesére. A háromszög minden csúcsához (oldalához) egy-egy magasságvonal tartozik. Az a oldalhoz tartozó magasságvonal jele: m_a.

Definíció: a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög magasságpontja.

Tulajdonság: a hegyesszögű háromszög magasságpontja a háromszög belsejében van, a derékszögű háromszögben megegyezik a derékszögnél lévő csúccsal, míg tompaszögű háromszögban a háromszögön kívülre esik.

Definíció: a háromszög A csúcshoz tartozó szögfelezője az a félegyenes, ami a BAC szöget felezi, és a háromszög belseje felé indul. A háromszög minden csúcsához egy-egy szögfelező tartozik.

Definíció: a háromszög szögfelezői egy pontban, a háromszög belsejében metszik egymást. Ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja, mivel mindhárom oldaltól egyenlő távolságra van. Ez a távolság a háromszögbe írható kör sugara, jele: r.

Definíció: a háromszögbe írható kör alatt azt a kört értjük, ami a háromszög mindhárom oldalát érinti.

Definíció: a háromszög a oldalához tartozó oldalfelező merőlegese alatt azt az egyenest értjük, ami merőleges a-ra, és áthalad az oldalszakasz felezőpontján. A háromszög minden oldalához egy-egy oldalfelező merőleges tartozik.

Definíció: a háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja, mivel mindhárom csúcstól egyenlő távolságra van. Ez a távolság a háromszög köré írható kör sugara, jele: R.

Definíció: a háromszög köré írható kör alatt azt a pontot értjük, ami áthalad a háromszög mindhárom csúcsán.

Definíció: a háromszög A csúcsához (a oldalához) tartozó súlyvonalán azt egyenest (szakaszt) értjük, ami összeköti az A csúcsot az a oldal felezőpontjával. A háromszög minden csúcsához (oldalához) egy-egy súlyvonal tartozik. A súlyvonal a háromszöget két egyenlő területű részre osztja.

Definíció: a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög súlypontja. A súlyponton átmenő bármely egyenes két egyenlő területű részre osztja a háromszöget. Ha a súlypont alatt alátámasztjuk a háromszöget, az egyensúlyban lesz.

Definíció: a háromszög a oldalához tartozó középvonalán azt egyenest értjük, ami párhuzamos a-val, és átmegy a másik két oldal felezőpontján. A háromszög minden oldalához egy-egy középvonal tartozik.

Definíció: a háromszög középvonalai négy egybevágó háromszögre osztják a háromszöget.

Definíció: a háromszög Feuerbach-köre az a kör, amit a háromszög köré írt körnek a magassápontra történő λ=1/2-es kicsinyítéssel kapunk. Ez a kör átmegy a háromszög 3 oldalfelezőpontján, a 3 magasságvonal talppontján és a magasságpontot a csúcsokkal összekötő 3 szakasz felezőpontján.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

Összefüggések az általános háromszög oldalai között, szögei között, oldalai és szögei között

Definíció: háromszög-egyenlőtlenség alatt azt a szabályt értjük, hogy a háromszög bármelyik két oldalának együttes hossza nagyobb a harmadik oldal hosszánál. Formálisan: ha a ≤ b ≤ c, akkor a+b > c.

Tulajdonság: ha egy háromszögben a² + b² > c², akkor a háromszög c csúcsával szemben hegyesszög van.

Tulajdonság: ha egy háromszögben a² + b² = c², akkor a háromszög c csúcsával szemben derékszög van.

Tulajdonság: ha egy háromszögben a² + b² < c², akkor a háromszög c csúcsával szemben tompaszög van.

Tulajdonság: egy háromszög belső szögeinek összege 180°.

Tulajdonság: egy háromszög külső szögeinek összege 360°.

Tulajdonság: egy háromszögnek legalább két hegyesszöge és legfeljebb egy derék- vagy tompaszöge lehet.

Tulajdonság: ha egy háromszög két szöge egyenlő, akkor a szögekkel szemközti oldalai is egyenlők.

Tulajdonság: ha egy háromszög két oldala egyenlő, akkor az oldalakkal szemközti szögei is egyenlők.

Tulajdonság: egy háromszögben a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög, kisebb oldallal szemben kisebb szög van.

Tulajdonság: egy háromszögben a nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal, kisebb szöggel szemben kisebb oldal van.

Tétel: szinusztétel: egy háromszög bármely két oldala úgy aránylik egymáshoz, mint az ezen oldalakkal szemközti szögek szinusza. Formálisan: a/b = sin α/sin β, és ugyanígy a többi oldalpárra is.

Tétel: koszinusztétel: egy háromszögben a szokásos jelölésekkel c² = a²+b²-2ab*cos γ, és ugyanígy értelemszerűen a többi oldalra/szögre is.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

Egybevágóság és hasonlóság.

Definíció: két alakzat egybevágó, ha egybevágósági transzformációkkal egymásba vihetők.

• eltolás
• forgatás
• középpontos tükrözés (=180°-os forgatás)

Definíció: két alakzat hasonló, ha hasonlósági transzformációkkal egymásba vihetők.

• minden egybevágósági transzformáció
• nagyítás/kicsinyítés

A hasonlóság alkalmazásai síkgeometriai tételek bizonyításában.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

A kör és részei

Definíció: körnek (körvonalnak) nevezzük egy adott ponttól (a kör középpontjától) egyenlő távolságra lévő pontok halmazát a síkban. Ezt a távolságot a kör sugarának nevezzük, jele: r (radius).

Definíció: a kör húrja a körvonal tetszőleges két pontját összekötő szakasz.

Definíció: a kör átmérője (jele: d, diameter) alatt a kör leghosszabb húrját értjük. d = 2r. Az átmérő átmegy a küzéppontot.

Definíció: a kör szelője egy olyan egyenes, ami pontosan két pontban metszi a körvonalat.

Definíció: a körlap a körvonallal körbezárt síkrész.

Definíció: a kör szelője két körszeletre osztja a körlapot.

Definíció: körívnek nevezzük a körvonal két pontja közötti görbét.

Definíció: körcikknek nevezzük a körlap azon részét, amit két sugár és a közöttük lévő körív határol.

Definíció: érintő(egyenes)nek nevezzük azt az egyenest, aminek pontosan egy közös pontja van a körvonallal. Ez a pont az érintési pont. Az érintő merőleges az érintési ponthoz tartozó sugárra.

Tétel: érintő- és szelőszakaszok tétele: egy külső X pontből egy e érintőt és egy szelőt húzunk a körhöz úgy, hogy az a kört az P és a Q pontban metszi. Legyen XP=p, XQ=q! Ekkor e² = pq.

Képlet: K = 2rπ

Képlet: T = r²π

Kerületi szög, középponti szög, látószög

Definíció: a kör egy kerületi szögének nevezzük azt a 0≤α<180° szöget, aminek csúcsa a körvonalon van, és szárai a körvonalat metszik.

Definíció: a kör egy középponti szögének nevezzük azt a 0≤α≤360° szöget, aminek csúcsa a kör középontja, szárai pedig a kör két sugara.

Tétel: középponti és kerületi szögek tétele: a középponti szög nagysága kétszerese az ugyanazon ívhez tartozó kerületi szögének.

Definíció: látószög alatt azt a szöget értjük, amely alatt egy adott pontból egy adott szakasz látszik.

Tétel: Thálesz-tétel: a kör vonaláról a kör átmérője derékszögben látszik.

Tétel: Thálesz-tétel megfordítása: ha egy háromszög köré írható kör középpontja az egyik oldal felezőpontjával esik egybe, akkor a háromszög derékszögű, és ez az oldal az átfogója.

Definíció: egy szakasz látószög-körívei azon két nyílt végű körív, amelyeknek minden pontjából ugyanakkora szögben látszik a szakasz.

Tulajdonság: egy szakasz tompaszögű látószög-körívei "szilva" alakban, a szakaszra szimmetrikusan rajzolódnak ki.

Tulajdonság: egy szakasz derékszögű látószög-körívei a szakasz Thálesz-körét adják vissza.

Tulajdonság: egy szakasz hegyesszögű látószög-körívei "hóembert" rajzolnak ki a szakasz körül.

Tulajdonság: a szakasz a Thálesz-körének belsejéből tompa-, a körvonalról derék-, a körvonalon kívülről hegyesszögben látszik.

Tulajdonság: úgy aránylik a középponti szög a teljesszöghöz, mint az általa meghatározott körív hossz a kör kerületéhez, illetve az általa meghatározott körcikk a kör területéhez.

Húrnégyszögek, érintőnégyszögek

Definíció: húrnégyszögnek nevezzük azt a négyszöget, aminek minden oldala ugyanazon kör húrja, vagyis amelyik négyszög köré kör írható. Minden négyzet, téglalap és húrtrapéz húrnégyszög.

Tétel: húrnégyszög-tétel: a húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180°.

Tétel: húrnégyszög-tétel megfordítása: ha egy négyszög szemközti szögeinek összege 180°, akkor húrnégyszög.

Definíció: érintőnégyszögnek nevezzük azt a négyszöget, aminek minden oldala ugyanazon kör érintője, vagyis amelyik négyszögbe kör írható. Minden négyzet, rombusz és deltoid érintőnégyszög.

Tétel: érintőnégyszög-tétel: bármely érintőnégyszögben a két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő. a+c = b+d = s = K/2.

Tétel: érintőnégyszög-tétel megfordítása: ha egy négyszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, akkor érintőnégyszög.

Tétel: az érintőnégyszög szögfelezői a beírt kör középpontjában metszik egymást.

Tétel: ha egy négyszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, akkor érintőnégyszög.

Definíció: bicentrikus négyszögnek nevezzük azt a négyszöget, ami húr- és érintőnégyszög is egyúttal.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

Vektorok, vektorműveletek

Definíció: vektor = irányított szakasz. A vektort tehát nagysága és iránya jellemzi. Helyzete nincsen, vagyis két ugyanolyan nagyságú és irányú vektort egyenlőnek tekintünk. A vektort elsősorban aláhúzott kisbetűvel jelöljük, de a félkövér vagy felette jobbra mutató nyíllal rajzolt kisbetű is szokásos. Az A pontból a B pontba mutató vektort (és az összes ezzel egyező nagyságú és irányú vektort) az "AB" és fölé rajzolt, jobbra mutató nyíllal is jelölhetjük.

Definíció: a nullvektor olyan vektor, aminek a hossza nulla, iránya pedig nem meghatározható / tetszőleges / párhuzamos bármelyik vektorral.

Definíció: két vektort úgy adunk össze (a+b), hogy az egyik vektor végpontjába felmérjük a másik vektort. Az összegvektor az első kezdőpontjából a másik vektor végpontjába mutat. A vektorok összeadása felcserélhető (kommutatív) és csoportosítható (asszociatív) művelet.

Definíció: ha egy vektort egy a>0 számmal szorzunk, akkor az eredményvektor iránya megegyező, hossza az eredeti a-szorosa lesz. Negatív számmal szorozva a vektort az irány megfordul. Nullával szorozva egy vektort nullvektort kapunk.

Definíció: két vektor különbsége: a-b = a+(-b).

Vektorfelbontási tétel

Vektorok koordinátái

Skaláris szorzat

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.

A tételt Vántus András (vantus.hu, matematica.hu) kecskeméti magántanár (20/424-89-36) dolgozta ki, és ezen bekezdés feltüntetésével szabadon terjeszthető.