Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 6020

Oldja meg a [4 6] alaphalmazon az alábbi egyenleteket, illetve egyenlőtlenséget! a) 35 = x b) 11032 += xx c) 01coscos2 2 + xx

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1554

Legyen az U alaphalmaz a legalább 4 pontú egyszerű gráfok halmaza. Az F halmaz az U elemei közül pontosan azokat tartalmazza, amelyek fagráfok, a G halmaz pontosan azo- kat, amelyek összefüggő gráfok, a H halmaz pedig pontosan azokat, amelyek 6 pontú gráfok. a) Az alábbi ábrán satírozással jelölje meg, és halmazműveletekkel is adja meg az U-nak azt a részhalmazát, amelyik üres halmaz! b) A megadott Venn-diagram minden egyes további részébe rajzoljon pontosan egy lehetséges gráfot! Egy telephely K, L, M, N, O, P, Q épületei közül az éjszakai első ellenőrzés során ötöt ellenőriz a biztonsági őr. c) Hányféleképpen tervezheti meg az útvonalát, ha a K és L épületeket mindenképpen ellenőrzi? (Két útvonal különböző, ha a két út során más épületeket, vagy ugyan- azokat az épületeket, de más sorrendben ellenőriz a biztonsági őr.) Megrajzoltuk az ABCDE konvex ötszög oldalait és átlóit, majd a megrajzolt szakaszok mindegyikét vagy kékre, vagy zöldre színeztük. A színezés befejezése után észrevettük, hogy nincs olyan háromszög, amelynek csúcsai az A, B, C, D, E pontok közül valók, és mindhárom oldala azonos színű. d) Igazolja (például indirekt módszerrel), hogy nincs olyan csúcsa az ötszögnek, amelyből legalább három azonos színű szakasz indul ki!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8971

Legyen az alaphalmaz a háromjegyű pozitív egész számok halmaza. Az A halmaz elemei azok a háromjegyű számok, amelyekben van 1-es, a B halmaz elemei azok, amelyekben van 2-es, a C halmaz elemei pedig azok, amelyekben van 3-as számjegy. a) Hány eleme van az A (B C) halmaznak? Egy szerepjátékhoz használt dobókocka három lapján 3-as, két lapján 2-es, egy lapján 1-es szám van. A feldobott kocka mindegyik lapjára egyforma valószínűséggel esik. b) Két ilyen dobókockával egyszerre dobva mennyi a valószínűsége annak, hogy a do- bott számok összege 4 lesz? Andi és Béla a következő játékot játsszák ezzel a dobókockával. Valamelyikük dob egyet a kockával. Ha a dobás eredménye 3, akkor Andi fizet Bélának n forintot (n > 80) ha a dobás eredménye 1, akkor Béla fizet (n - 80) forintot Andinak ha pedig a dobás eredmé- nye 2, akkor is Béla fizet Andinak 2(n - 80) forintot. c) Mennyit fizet Béla Andinak az 1-es dobása esetén, ha ez a játék igazságos, azaz mindkét játékos nyereményének várható értéke 0?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9793

Legyen a H alaphalmaz a pozitív egészekből álló számpárok halmaza, az A, B és C pedig a H alábbi részhalmazai: A = {(a b) | a és b relatív prímek} B = {(a b) | a osztója b-nek} C = {(a b) | a és b közül legalább az egyik prímszám}. (Ha a b, akkor az (a b) és a (b a) számpárokat különbözőnek tekintjük.) a) Az alábbi Venn-diagram két részébe beírtunk egy-egy számpárt. Írjon a diagram további hat üres részébe egy-egy megfelelő számpárt! Tekintsük a következő két állítást (a, b, c pozitív egészek)! I. Ha c osztója ab-nek, akkor c osztója a-nak vagy c osztója b-nek. II. Ha a osztója c-nek és b osztója c-nek, akkor ab osztója c-nek. b) Határozza meg a két állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszait indokolja! c) Fogalmazza meg az I. állítás megfordítását, és határozza meg a megfordítás logikai értékét! Ha a megfordítás igaz, akkor bizonyítsa be, ha pedig hamis, akkor mutasson ellenpéldát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10832

a) Hány olyan hétjegyű szám van a kettes számrendszerben, amelyben legfeljebb két darab 0 számjegy található? Legyen H az egyjegyű pozitív egész számok halmaza. b) Hány olyan 4 elemű részhalmaza van H-nak, amelynek az 1 vagy a 2 eleme? c) A és B legyen a fenti H alaphalmaz két részhalmaza. Adja meg az alábbi (igaz) állítás megfordítását, és adja meg a megfordítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja! „Ha A  B , akkor AB  .”

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10911

Egy szabályos dobókockával hatszor dobtunk. A dobott számok monoton növekvő sorrendben: 1, 2, 2, 3, 3, 3. a) Határozza meg a dobott számok átlagát és szórását! b) Hány olyan különböző dobássorozat van, amely egy darab 1-esből, két darab 2-esből és három darab 3-asból áll? Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk. c) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a két dobott szám szorzata 2-vel osztható lesz, de 4-gyel nem! Egy kék és egy zöld dobókockával dobunk, a dobás kimenetele egy számpár. Jelölje (k, z) a dobásnak azt a kimenetelét, amikor a kék kockával dobott szám k, a zöld kockával dobott szám pedig z. Legyen a H alaphalmaz a dobás kimeneteleként megkapható összes lehetséges (k, z) számpár halmaza. Az A, B és C részhalmazokat a következő- képpen definiáljuk: A  {(k, z)│a k + z összeg prím} B  {(k, z)│a k ꞏ z szorzat prím} C  {(k, z)│k  z} d) Satírozással jelölje a Venn-diagramon a H-nak azt a részhalmazát, amelyik üres halmaz! A Venn-diagram minden egyes további tartományába írjon egy-egy megfelelő számpárt! Válaszát itt nem kell indokolnia.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10944

Legyen a H alaphalmaz az egyváltozós valós függvények halmaza, M, K és A pedig a H alábbi részhalmazai: M  {az értelmezési tartományukon szigorúan monoton növekedő függvények}; K  {az értelmezési tartományukon konvex függvények}; A  {alulról korlátos függvények}. a) Helyezze el az alábbi hozzárendelésekkel megadott függvények betűjelét az ábra megfelelő részébe! f: R  R, x x  sin g: R\ {0}  R, 1 x x  h: R  R, x  2x i: R+{0}  R, x x  b) Jelölje az ábrán satírozással a (K  A) \ M halmazt, és hozzárendelési szabályával adjon meg egy olyan j függvényt, amely ebbe a halmazba tartozik! c) Határozza meg az R  R, x x bx c  2   függvény b és c paramétereinek értékét, ha tudjuk, hogy a függvénynek x  2-ben minimumhelye van, és a minimum értéke –1. d) Határozza meg azokat a p  [0; 2] értékeket, amelyekre 0 1 sin 2 p  x dx  .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11496

a) Melyik az a legnagyobb természetes szám, amelyre az alábbi négy tulajdonságból pontosan három teljesül? (1) Húszjegyű. (2) 20-szal osztható. (3) Számjegyeinek összege 20. (4) Számjegyeinek szorzata 20. Legyen a H alaphalmaz a húszjegyű pozitív egész számok halmaza, az A halmaz pedig a 7-es számjegyet tartalmazó húszjegyű pozitív egész számok halmaza. b) Melyik a nagyobb: A vagy A ? Az n jegyű pozitív egészek közül egyet véletlenszerűen kiválasztva 0,99-nél nagyobb annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám tartalmaz 7-es számjegyet. c) Határozza meg n lehetséges értékeit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11499

a) Satírozza be az alábbi ábrán a B \ (A  C) halmazt! b) Adja meg halmazműveletek segítségével az alábbi ábrán szürke színnel jelzett részhalmazt! Legyen a H alaphalmaz a függvények halmaza, Z, K és P pedig a H alábbi részhalmazai: Z  {zérushellyel rendelkező függvények}; K  {kölcsönösen egyértelmű függvények}; P  {páratlan függvények}. c) Helyezze el az alábbi hozzárendelésekkel megadott függvények betűjelét az ábra megfelelő részébe! f : R  R, x x  g: R  R, x x  2 2 h: R+  R, x x  lg i: R  R, x x  sin Egy négypontú gráf csúcsait megfeleltetjük a fenti f, g, h és i függvényeknek. Két csúcsot pontosan akkor kötünk össze éllel, ha a két megfelelő függvény értékkészletének van kö- zös eleme. d) Rajzolja fel az így kapott gráfot! Válaszát itt nem kell indokolnia.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11522