Az ABC háromszög oldalegyeneseinek egyenlete: .4 2 1 : ,2010: ,0: = =+ = xyCA yxBC yAB a) Számítsa ki a háromszög csúcspontjainak koordinátáit! b) Számítsa ki a háromszög B csúcsánál lévő belső szöget!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1115

Az ABC háromszög oldalai AB = 42, BC = 40 és CA = 26. Írjunk téglalapot a háromszögbe úgy, hogy a téglalap egyik oldala illeszkedjen a háromszög AB oldalára, másik két csúcsa pedig a háromszög CA, illetve BC oldalára essen. Tekintsük az így beírható téglalapok közül a legnagyobb területűt! Mekkorák ennek a téglalapnak az oldalai?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1123

Egy háromszög két csúcsa A(8 2), B(-1 5), a C csúcs pedig illeszkedik az y tengelyre. A háromszög köré írt kör egyenlete: 0124622 =+ yxyx . a) Adja meg a háromszög oldalfelező merőlegesei metszéspontjának koordinátáit! b) Adja meg a háromszög súlypontjának koordinátáit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1130

A PQRS négyszög csúcsai: P(3 -1), Q(1 3), R(-6 2) és S(-5 -5). Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen jelet a táblázat megfelelő mezőibe! Válaszait indokolja, támassza alá számításokkal! a) A állítás: A PQRS négyszögnek nincs derékszöge. b) B állítás: A PQRS négyszög húrnégyszög. c) C állítás: A PQRS négyszögnek nincs szimmetriacentruma.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1145

Az ABCDABCD téglatestben úgy jelöltük a csúcsokat, hogy az ABCD alaplappal egybevágó lapon az A csúcsot az A-val, a B csúcsot a B-vel, a C csúcsot a C-vel, a D csúcsot a D-vel kösse össze él. Tudjuk, hogy a DAD szög 45°-os, a BAB szög 60°-os. a) Mekkora a BAD szög koszinusza? b) Mekkora az ABAD tetraéder térfogata, ha a téglatest legrövidebb éle 10? c) Mekkora az AA D és az ABD síkok hajlásszöge?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1153

Egy egyenlő szárú háromszög alapjának végpontjai A(3 5) és B(7 1). A háromszög harmadik csúcsa illeszkedik az y tengelyre. a) Számítsa ki a háromszög harmadik csúcsának koordinátáit! b) Írja fel a háromszög köré írt kör egyenletét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1160

Egy szobor márvány talapzatát egy 12 dm élű kocka alakú kőből faragják. Minden csúcsnál a csúcshoz legközelebbi élnegyedelő pontokat tartalmazó sík mentén lecsiszolják a kockát. a) A kész talapzatnak hány éle hány csúcsa hány lapja van? b) A kész talapzatnak mekkora a felszíne? c) Egy ékszerész vállalta, hogy elkészít 20 db egyforma tömegű ajándéktárgyat: a szobortalapzat kicsinyített mását. Az egyes ajándéktárgyak az alábbi féldrágakövek valamelyikéből készültek: achát, hematit, zöld jade és gránát. A kész ajándéktárgyakat a megrendelő átvételkor egyben lemérte. A 20 tárgy együttes tömege megfelelt a megrendelésnek. Otthon egyenként is megmérte a tárgyakat, és kiderült, hogy a féldrágakövekből készített négyféle ajándéktárgy közül egyik sem a megrendelt tömegű. Az ugyanabból az anyagból készülteket egymással azonos tömegűnek mérte. A három achát tárgy mindegyike 1%-kal kisebb a hat darab hematit tárgy mindegyike 0,5%-kal kisebb, a hét zöld jade tárgy mindegyike 1,5%-kal nagyobb a megrendelésben szerepelt értéknél. A gránát tárgyak tömege hány százalékkal tért el a megrendeléstől?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1179

Az ABC derékszögű háromszög BC befogójának hossza 18 cm, a CA befogójának hossza 6 cm. a) Mekkorák a háromszög hegyesszögei? A BC befogó egy P belső pontját összekötjük az A csúccsal. Tudjuk még, hogy PB = PA. b) Milyen hosszú a PB szakasz? Állítsunk merőleges egyenest az ABC háromszög síkjára a C pontban! A merőleges egyenes D pontjára teljesül, hogy CD hossza 15 cm. c) Mekkora az ABCD tetraéder térfogata?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1191

a) Ábrázolja a derékszögű koordináta-rendszerben az y = 0,5 x + 2 és az y = 0,5 x + 4 egyeneseket! b) Az x tengely, az y tengely és a két ábrázolt egyenes közrefog egy konvex négy- szöget. Mekkora ennek a négyszögnek a területe? c) Az x tengely, az y tengely és a két ábrázolt egyenes hat metszéspontja közül négy egy konkáv négyszög négy csúcsa. Mekkora ennek a konkáv négyszögnek a kerülete?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1206

Az ABCDEFGH téglatest élei: AB = 10 AD = 8 AE = 6. Legyenek az A csúcsból induló élvektorok rendre: =AB a =AD b, =AE c. Az A csúcsból e három élvektor, továbbá három lapátlóvektor és egy testátlóvektor indul ki. Adja össze ezt a hét vektort, az összegvektort jelölje .AP a) Fejezze ki AP vektort az a b és c élvektorokkal! b) Milyen hosszú az AP ? c) Mekkora szöget zár be AP az AE vektorral? d) Mennyi az APAS értéke, ha S a HFC háromszög súlypontja?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1208

Egy családnak olyan téglalap alakú telke van, melynek két szomszédos oldala 68 m, illetve 30 m hosszú. A telek egyik sarkánál úgy rögzítettek egy kerti locsoló berendezést, hogy a telek rövidebb oldalától 4 m-re, a vele szomszédos oldaltól 3 m-re legyen. A locsoló berendezés körbe forgó locsolófeje azt a részt öntözi, amely a rögzítés helyétől legalább 0,5 m-re, de legfeljebb 4 m-re van. A telek mekkora területű részét öntözi a locsoló berendezés, és ez hány százaléka a telek területének?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4343

Az ABC háromszögben 2=AB , 1=AC , a BC oldal hossza pedig megegyezik az A csúcsból induló súlyvonal hosszával. a) Mekkora a BC oldal hossza? A hossz pontos értékét adja meg! b) Mekkora a háromszög területe? A terület pontos értékét adja meg!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4360

a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete 102 =+ yx , egyik csúcsa az origó. Hány ilyen tulajdonságú háromszög van? Adja meg a hiányzó csúcsok koordinátáit! b) Jelölje e azokat az egyeneseket, amelyeknek egyenlete byx =+2 , ahol b valós paraméter. Mekkora lehet b értéke, ha tudjuk, hogy van közös pontja az így megadott e egyenesnek és az origó középpontú, 4 egység sugarú körnek?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1252

a) Igazolja, hogy az A(0 1), B(4 2), C(3 6) és D(-5 4) pontokkal megadott négyszög trapéz! b) Kati megrajzolt egy olyan egyszerű teljes gráfot, amelynek 253 éle van, és csúcsai között szerepelnek a trapéz A B C D csúcsai is. Hány új gráfcsúcsot kellett ehhez felvennie? Legfeljebb hány éle törölhető ki ennek a teljes gráfnak, hogy még összefüggő maradjon?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1296

Az ABCDEFGH téglatest A csúcsból induló élei: AB=12 AD=6 AE=8. Jelölje a HG él felezőpontját P. a) Számítsa ki az ABCDP gúla felszínét! b) Mekkora szöget zár be az ABCDP gúla ABP lapjának síkja az ABCD lap síkjával?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1312

Megrajzoltuk az ABCDE szabályos ötszöget, és berajzoltuk minden átlóját. Az átlók metszéspontjait az ábra szerint betűztük meg: P, Q, R, S, T. a) Hány olyan háromszög látható az ábrán, amelynek mindhárom csúcsa a megjelölt 10 pont közül való, és mindhárom oldalegyenese az ABCDE ötszög oldalegyenesei és átlóegyenesei közül kerül ki? Hány lényegesen különböző háromszög van ezek között, ha az egymáshoz hasonló háromszögeket nem tekintjük lényegesen különbözőknek? b) Tudjuk, hogy az ABCQ négyszög területe 120 2 cm . Mekkora az ABCDE ötszög területe? Válaszát egész értékre kerekítve adja meg! c) Tekintsük azt a tíz csúcsú gráfot, amelyet a megadott ábra szemléltet. Erről a gráfról fogalmaztunk meg két állítást. Állapítsa meg mindkét állításról, hogy igaz vagy hamis! Adjon rövid magyarázatot válaszára! 1. állítás: Ennek a gráfnak 20 éle van. 2. állítás: Ebben a gráfban van olyan részgráf, amely nyolc élű kör.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1315

Az A1C0C1 derékszögű háromszögben az A1 csúcsnál 30°-os szög van, az A1C0 befogó hossza 1, az A1C1 átfogó felezőpontja A2 . Az A2C1 szakasz fölé az A1C0C1 három- szöghöz hasonló A2C1C2 derékszögű három- szöget rajzoljuk az ábra szerint. Az A2C2 átfogó felezőpontja A3 . Az A3C2 szakasz fölé az A2C1C2 három- szöghöz hasonló A3C2 C3 derékszögű három- szöget rajzoljuk. Ez az eljárás tovább folytatható. a) Számítsa ki az így nyerhető végtelen sok derékszögű háromszög területének összegét (az összeg első tagja az A1C0C1 háromszög területe)! b) Igazolja, hogy a C0C1C2 ...Cn töröttvonal hossza minden pozitív egész n-re kisebb, mint 1,4.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1329

Adott a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az 034622 =+++ yxyx egyenletű kör. Ebbe a körbe szabályos háromszöget írunk, amelynek egyik csúcsa A(1 -2). a) Számítsa ki a szabályos háromszög másik két csúcsának koordinátáit! Pontos értékekkel számoljon! b) Véletlenszerűen kiválasztjuk az adott kör egy belső pontját. Mekkora a valószí- nűsége annak, hogy a kiválasztott pont a tekintett szabályos háromszögnek is belső pontja? Válaszát két tizedes jegyre kerekítve adja meg!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1330

Egy ABCDE négyoldalú szabályos gúla alaplapja az ABCD négyzet. A gúlát elmetsszük az EAC síkkal. A síkmetszet területe 64 cm2 . Ha a gúlát az E csúcsától mért 4 cm távolságban, az alaplappal párhuzamos síkkal metsszük el, akkor 32 cm2 területű síkmetszetet kapunk. a) Mekkora a gúla magassága, és mekkora az alaplapjának területe? b) Számítsa ki a gúla alaplapjának és oldallapjának hajlásszögét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1343

Egy játéküzemben fa elemekből álló építőkészletet gyártanak. Ha x darab készletet gyártanak naponta, akkor a teljes gyártási költség ( ) 30012 5 5,1 ++= x x xk euró. Egy készletet 18 euróért tudnak értékesíteni. a) Naponta hány készletet gyártson az üzem, hogy a haszon a lehető legnagyobb legyen? Mennyi ez a maximális haszon? b) Az építőkészlet egyik darabját úgy készítik, hogy egy 3 cm élhosszúságú kockának mind a nyolc csúcsát levágják egy-egy sík mentén úgy, hogy a fűrész a csúcsba futó mindhárom élt a csúcstól 1 cm távolságban vágja el. Az így kapott test térfogata hány százaléka az eredeti kocka térfogatának? A választ egész számra kerekítve adja meg! (A fűrészeléskor keletkező anyagveszteség elhanyagolható, számításaiban nem kell figyelembe vennie!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1348

a) Két szabályos dobókockát egyszerre feldobunk. Számítsa ki a következő két esemény valószínűségét: A: a dobott pontok összege prím B: a dobott pontok összege osztható 3-mal. b) Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből véletlenszerűen kiválasztunk három külön- bözőt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott számjegyek minde- gyikének egyszeri felhasználásával 4-gyel osztható háromjegyű számot tudunk képezni? c) Az ABCD négyzet csúcsai: ( )0 0A , 0 2 B , 2 2 C , 2 0 D . Véletlen- szerűen kiválasztjuk a négyzet egy belső pontját. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott pont a koordinátatengelyek és az ( ) xxff cos, 2 0: = R függvény grafikonja által határolt tartomány egyik pontja?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1360

a) A derékszögű koordináta-rendszerben adott egy téglalap, amelynek csúcsai: ( ),0 0A ( )0 4B , ( )1 4C és ( )1 0D . Véletlenszerűen kiválasztjuk a téglalap egy belső P ( x y ) pontját. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 2 1 3 1 + xy ? b) Marci a farsangi rendezvényre kibocsátott 200 darab tombolajegyből 4-et vásárolt. A tombolán 10 nyereménytárgyat sorsolnak ki. Minden tombolajeggyel legfeljebb egy tárgyat lehet nyerni. b1) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Marci pontosan egy tárgyat nyer a tombolán? b2) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Marci nyer a tombolán? Az eredményeket - a közbülsőket is - négy tizedesjegyre kerekítve számolja ki!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1389

A derékszögű koordináta-rendszerben az ABC háromszög csúcsai: ( )1 2A , ( )4 7 B , ( )pC 11 . Határozza meg a p paraméter pontos értékét, ha a háromszög B csúcsánál levő belső szöge 60°-os.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1407

a) A következő két állításról döntse el, hogy igaz vagy hamis. Válaszait indokolja! (1) Van olyan ötpontú egyszerű gráf, amelynek 11 éle van. (2) Ha egy ötpontú egyszerű gráf minden csúcsa legalább harmadfokú, akkor biztosan van negyedfokú csúcsa is. b) Az A, B, C, D és E pontok egy ötpontú teljes gráf csúcsai. A gráf élei közül véletlenszerűen beszínezünk hatot. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az A, B, C, D, E pontokból és a színezett élekből álló gráf nem lesz összefüggő?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1408

Az ABCD húrtrapéz köré írt körének egyenlete 100)2()3( 22 =+ yx . A húrtrapéz szimmetriatengelyének egyenlete 2x - y = 4. A trapéz AB alapjának egy belső pontja P(-5 1), BC szárának hossza pedig 210 egység. Határozza meg a trapéz csúcsainak koordinátáit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1419

Egy 1 méter oldalú négyzetbe egy második négyzetet rajzoltunk úgy, hogy a belső négyzet minden csúcsa illeszkedjen a külső négyzet egy-egy oldalára. A belső és a külső négyzet oldalainak aránya 5 : 7. a) Milyen arányban osztja két részre a belső négyzet csúcsa a külső négyzet oldalát? Az arány pontos értékét adja meg! A belső négyzetbe egy újabb, harmadik négyzetet rajzolunk úgy, hogy a harmadik és a második négyzet oldalainak aránya is 5 : 7. Ezt az eljárást aztán gondolatban végtelen sokszor megismételjük. b) Mekkora lesz a kapott négyzetek kerületeinek az összege, ha a kiindulási négyzet kerülete is tagja a (végtelen sok tagú) összegnek?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1420

Az ábrán látható téglatest A csúcsából induló három élének hossza: AB=20 cm AD=16 cm AE=12 cm. a) Legyen P az AB él felezőpontja, Q pedig az EH él felezőpontja. Számítsa ki a PQ távolságot! Kiválasztunk a téglatest élegyenesei közül minden lehetséges módon kettőt. b) Hány különböző egyenespár választható? (Két egyenespár akkor különböző, ha legalább az egyik egyenesükben különböznek.) c) Ezek között hány metsző, hány párhuzamos és hány kitérő egyenespár van? d) Az AE élegyenestől milyen távolságra vannak a hozzá képest kitérő élegyenesek?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1433

Egy ABCD négyzet A csúcsa a koordinátarendszer y tengelyére, szomszédos B csúcsa pedig a koordinátarendszer x tengelyére illeszkedik. a) Bizonyítsa be, hogy a négyzet K középpontjának koordinátái vagy egyenlők, vagy egymás ellentettjei! b) Egy ilyen négyzet középpontja a (7 7) pont. A négyzet oldala 10 egység hosszú. Számítsa ki a négyzet koordinátatengelyekre illeszkedő két csúcsának koordi- nátáit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1467

a) Legyen G egy nyolcpontú egyszerű gráf, amelynek összesen 9 éle van. Igazolja, hogy G csúcsai között biztosan van olyan, amelynek a fokszáma legalább 3. b) Az A, B, C, D, E, F, G, H pontok egy szabályos nyolcszög csúcsai. Megrajzoljuk a nyolcszög oldalait és átlóit. A megrajzolt szakaszok közül véletlenszerűen kivá- lasztunk négyet. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy mind a négy kivá- lasztott szakasz az A csúcsból indul ki! c) Nyolc sakkozó részére egyéni bajnokságot szerveznek. Hányféleképpen készíthető el az első forduló párosítása, ha ebben a fordulóban mindenki egy mérkőzést játszik? (Két párosítást különbözőnek tekintünk, ha az egyik tartalmaz olyan mérkőzést, amelyet a másik nem.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1555

Egy színházban a jegyek az I., a II. vagy a III. árkategóriába tartoznak. Az egyik esti előadásra összesen 200 jegyet adtak el. Az eladott jegyek között a III. árkategóriájúak száma a másik két árkategóriába tartozó jegyek együttes számának kétharmada, az I., illetve II. árkategóriájú jegyek számának aránya pedig 9:11 volt. a) Hány jegyet adtak el az egyes árkategóriákban? Egy várrom területén szabadtéri színházat alakítanak ki. A tervrajz szerint a téglalap alakú színpadot az egyik bástya félkör alakban elhelyezkedő falmaradvá- nyai közé helyeznék el. A bástya belső átmérője 12 méter. (Az ábrán a tervrajz egy részlete látható: O a félkör középpontja, a téglalap csúcsába vezető sugár és az átmérő közötti szög pedig 2 <<0 .) b) Hogyan kell megválasztani az szöget, hogy a színpad területe a lehető legnagyobb legyen? Mekkora ez a legnagyobb terület?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2610

a) Az ABCD négyzet körülírt körén felvettünk egy olyan P pontot, amelyik nem csúcsa a négyzetnek. Bizonyítsa be, hogy 2222 DPBPCPAP . Egy cég az általa forgalmazott poharakat négyesével cso- magolja úgy, hogy a poharakhoz még egy tálcát is ad aján- dékba. A 20 cm (belső) átmérőjű, felül nyitott forgáshen- ger alakú tálcára négy egyforma (szintén forgáshenger alakú) poharat tesznek úgy, hogy azok szorosan illeszked- nek egymáshoz és a tálca oldalfalához is. b) Igazolja, hogy a poharak alapkörének sugara nagyobb 4,1 cm-nél! A pohár fala 2,5 mm vastag, belső magassága 11 cm. c) Igaz-e, hogy a pohárba belefér 5 dl üdítő?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4305

Az interneten érdekes hírként jelent meg 2015-ben, hogy a matematikusok újabb, egybe- vágó ötszögekből álló hézagmentes síklefedést (parkettázást) fedeztek fel. (A két ábrán a parkettázás egy részlete, illetve a parketta egyik ötszögének néhány adata látható: EA = AB = CD = 1, BC = 2, EAB = 90º, ABC = 150º, BCD = 60º.) a) Igazolja, hogy az ábrán megadott ötszög B csúcsából húzott két átló 75°-os szöget zár be egymással! b) Igazolja (például addíciós tételek segítségével), hogy 4 26 75cos . c) Igazolja, hogy az ötszög DE oldala hosszának pontos értéke 32 . d) Igazolja, hogy 2 26 32 .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4322

Egy téglalap alakú városi park tervezésekor a kezdeti egyszerű vázlatokat egy rajzoló- program segítségével készíti el a tervező. A parkot derékszögű koordináta-rendszerben ábrázolja úgy, hogy a koordináta-rendszer tengelyein a hosszúságegység a valóságban 10 méternek felel meg. A park négy csúcsát az A(0 0), B(30 0), C(30 48), D(0 48) koordinátájú pontok adják meg. Az első tervek között a négy csúcson átmenő körút is szerepel. a) Adja meg ennek a körnek az egyenletét! A vázlatba a tervező egy olyan kört is berajzolt, amely egy díszteret határol majd. A kör egyenletét a rajzolóprogram 0819483622 yxyx alakban adta meg. b) Számítsa ki, hány százaléka a dísztér területe a park területének! A tervező egy olyan egyenest is megrajzolt, amely a park C csúcsában lévő bejáraton és a P(18 24) ponton halad át. Ezen az egyenesen egy sétaút halad majd. c) Határozza meg a sétaút egyenesének egyenletét, és számítsa ki a parkbeli szakaszá- nak valódi hosszát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 6259

Az ábrán egy 3×3-as kirakós játék (puzzle) sematikus képe látható. A kirakós játékot egy gráffal szemléltethetjük úgy, hogy a gráf csú- csai (A1, A2, ... , C3) a puzzle-elemeket jelölik, a gráf két csúcsa között pedig pontosan akkor vezet él, ha a két csúcsnak megfelelő puzzle-elemek közvetlenül (egy oldalban) kapcsolódnak egymás- hoz a teljesen kirakott képben. a) Rajzolja fel a kirakós játék gráfját (a csúcsok azonosításával együtt), és határozza meg a gráfban a fokszámok összegét! b) Igazolja, hogy a megrajzolt gráfban nincs olyan (gráfelméleti) kör, amely páratlan sok élből áll! c) A teljesen kirakott képen jelöljön meg a puzzle-elemek közül 7 darabot úgy, hogy a kirakósjáték általuk alkotott részlete (a részletnek megfelelő gráf) már ne legyen összefüggő! d) Hányféleképpen lehet a puzzle-elemek közül hármat úgy kiválasztani, hogy ezek a teljesen kirakott képben kapcsolódjanak egymáshoz (azaz mindhárom képrészlet közvetlenül kapcsolódjék legalább egy másikhoz a kiválasztottak közül)? (Az elemek kiválasztásának sorrendjére nem vagyunk tekintettel.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7702

a) Döntse el, hogy igaz-e a következő kijelentés! Válaszát indokolja! Van olyan G1 , illetve G2 fagráf, amelyre igaz, hogy a G2 csúcsainak száma kétsze- rese a G1 csúcsai számának, és a G2 éleinek száma is kétszerese a G1 élei számának. (A fagráfnak van legalább egy csúcsa.) Az A, B, C, D, E, F kereskedőcégek mindegyike mind az öt másik céggel kötött egy-egy üzletet az előző hónapban (bármelyik két cég között pontosan egy üzletkötés jött létre). Az ellenőrző hatóság véletlenszerűen kiválaszt a hat cég előző havi (egymás közötti) üz- letkötései közül négyet, és azokat ellenőrzi. b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy az A vagy a B cég üzletkötései közül is ellen- őriznek legalább egyet? Az egyik cég azzal bízott meg egy reklámügynökséget, hogy tervezzen egy nagy méretű, függőlegesen leomló hirdetővásznat a budapesti Lánchíd fő tartóláncának egy részére. A híd két támpillérének PV távolsága kb. 200 méter. A fő tartólánc alakja jó közelítéssel egy olyan (függőleges síkú) parabolának az íve, amelynek a tengelypontja a PV felező- pontja (U), a tengelye pedig a PV felezőmerőlegese. A lánc tartópillérnél becsült legna- gyobb magassága PQ 16 méter, a vászon tervezett szélessége PS 50 méter. A tervek szerint a QR íven felfüggesztett hirdetővászon az ábrán sötétített PQRS területet fedi majd be (RS merőleges PS-re). c) Hány m2 területű vászon beszerzésére lesz szükség, ha a rögzítések miatt 8% vesz- teséggel számol a tervező?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7705

Több település közötti legkisebb költségű vezetékhálózat tervezésekor először egy teljes gráfot készítettek. Ebben a gráfban minden települést a gráf egy csúcsával, minden ve- zetékes kapcsolatot a gráf egy-egy élével jelöltek, majd a gráf minden élére ráírták, hogy mennyibe kerülne az adott kapcsolat kiépítése. Ezután egyesével kitörölték a költséges éleket úgy, hogy a törlés után megmaradó gráf összefüggő maradjon. A teljes gráf élei kétharmadának törlése után végül egy (a legkisebb költségű hálózatot megadó) fagráfot kaptak. a) Hány település szerepelt a tervben? Az őszi kispályás labdarúgó bajnokságban 10 település egy-egy csapata vett részt. Min- den csapat egy mérkőzést játszott mindegyik másik csapattal minden mérkőzés győztese 3, vesztese 0 pontot kapott, döntetlen esetén mindkét csapatnak 1-1 pont járt. A bajnokság végén a 10 csapatnak összesen 130 pontja volt. b) Hány mérkőzés végződött döntetlenre?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8952

Legyen az U alaphalmaz a legalább 4 pontú egyszerű gráfok halmaza. Az F halmaz az U elemei közül pontosan azokat tartalmazza, amelyek fagráfok, a G halmaz pontosan azo- kat, amelyek összefüggő gráfok, a H halmaz pedig pontosan azokat, amelyek 6 pontú gráfok. a) Az alábbi ábrán satírozással jelölje meg, és halmazműveletekkel is adja meg az U-nak azt a részhalmazát, amelyik üres halmaz! b) A megadott Venn-diagram minden egyes további részébe rajzoljon pontosan egy lehetséges gráfot! Egy telephely K, L, M, N, O, P, Q épületei közül az éjszakai első ellenőrzés során ötöt ellenőriz a biztonsági őr. c) Hányféleképpen tervezheti meg az útvonalát, ha a K és L épületeket mindenképpen ellenőrzi? (Két útvonal különböző, ha a két út során más épületeket, vagy ugyan- azokat az épületeket, de más sorrendben ellenőriz a biztonsági őr.) Megrajzoltuk az ABCDE konvex ötszög oldalait és átlóit, majd a megrajzolt szakaszok mindegyikét vagy kékre, vagy zöldre színeztük. A színezés befejezése után észrevettük, hogy nincs olyan háromszög, amelynek csúcsai az A, B, C, D, E pontok közül valók, és mindhárom oldala azonos színű. d) Igazolja (például indirekt módszerrel), hogy nincs olyan csúcsa az ötszögnek, amelyből legalább három azonos színű szakasz indul ki!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8971

A mellékelt ábrán egy kereszt alakú lemez látható, amely 5 db 10 cm oldalú négyzetből áll. A lemezből egy 10 cm alapélű, sza- bályos négyoldalú gúla hálóját szeretnénk kivágni úgy, hogy a kö- zépső négyzet legyen a gúla alaplapja. a) Igazolja, hogy a lehetséges hálók kivágása során keletkező hulladék legalább 200 cm2 , de kevesebb 300 cm2 -nél! Tekintsük az ábrán látható nyolcpontú gráfot. b) A gráfban véletlenszerűen kiválasztunk két csúcsot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két csúcsot él köti össze a gráfban? c) A gráf 9 élét kékre, 3 élét pedig zöldre színezzük. Igazolja, hogy bármelyik ilyen színezésnél lesz a gráfban egyszínű (gráfelméleti) kör!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8983

Egy szabályos tízszög legrövidebb átlója 6 cm hosszú. a) Határozza meg a tízszög oldalának hosszát! Legyen G egy tízpontú egyszerű gráf, melynek összesen 6 éle van. b) Igaz-e, hogy G csúcsai közt biztosan van legalább két olyan, amelynek a fokszáma legalább 2? Válaszát indokolja! Egy n pontú teljes gráf egyik élét pirosra színeztük (n 3). Ezután a többi él közül vélet- lenszerűen kiválasztunk egyet. Legyen az A esemény az, hogy a kiválasztott élnek és a pirosra színezett élnek van közös csúcsa, a B esemény pedig az, hogy nincs közös csú- csuk. c) Ha az A és a B esemény egyenlő valószínűségű, akkor hány pontja van a gráfnak?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9001

Adott négy, a valós számok halmazán értelmezett függvény: f(x) = (x + 4)(2 - x) g(x) = x + 4 h(x) = 2 4x i(x) = 4x a) Határozza meg az f és g függvények grafikonja által közrezárt korlátos síkidom te- rületét! Egy négypontú gráf csúcsait megfeleltetjük e négy függvénynek. Két csúcsot pontosan akkor kötünk össze éllel, ha a két megfelelő függvénynek van közös zérushelye. b) Rajzolja fel az így kapott gráfot! A valós számok halmazán értelmezett k függvény zérushelyei -5 és 3, az m függvény zérushelyei 3 és -3, az n függvény zérushelyei pedig 5 és -5. A p elsőfokú függvény hozzárendelési szabálya p(x) = x + c, ahol c egy valós szám. c) Hányféleképpen választható meg a c konstans értéke úgy, hogy a k, m, n és p függ- vényekre a b) feladatban megadott szabály szerint elkészített négypontú gráf fagráf legyen?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9790

a) Két pozitív egész szám relatív prím, legkisebb közös többszörösük 35 700. Határozza meg az ilyen tulajdonságú számpárok számát! (Az (a, b) és a (b, a) számpárokat nem tekintjük különbözőknek.) b) Legyen H = {1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}. Hány olyan részhalmaza van H-nak, amelyben az elemek szorzata osztható 9-cel? (Egyelemű halmaz esetén az elemek szorzatának az egyetlen elem értékét tekintjük.) c) Egy papírlapon adott öt pont. A pontok mellé egy-egy pozitív egész számot írunk. Az adott pontok legyenek egy olyan ötpontú egyszerű gráf csúcsai, amelynek két csúcsa pontosan akkor van éllel összekötve, ha a csúcsok mellé írt számok közül az egyik többszöröse a másiknak. Az alábbi három ábra mindegyikén 5-5 pont látható. Írjon mindhárom ábrán az 5 pont mellé különböző pozitív egész számokat, majd rajzolja meg a fenti szabály szerint a gráf éleit úgy, hogy az első esetben egy teljes gráfot, a második esetben egy fagráfot, a harmadik esetben pedig egy üres gráfot kapjon (az üres gráfnak egyetlen éle sincsen)!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10281

a) Az f függvény hozzárendelési szabálya ( ) 3 x f x = (x R). Helyezze el az alábbi halmazábra megfelelő részeibe az f (-2), f (0,5) és f (5) függvényértékeket! Egy ötpontú egyszerű gráf A, B, C, D, E pontjaihoz rendre a 3-2 , 3 -7 , 3 -12 , 1 2 és 1 2 1 számokat írtuk. A gráfban két pont akkor és csak akkor van éllel összekötve, ha a két ponthoz írt számok összege racionális szám. b) Hány éle van ennek az ötpontú gráfnak? A koordinátatengelyek és a ( ) 3 x g x = (x 0) függvény grafikonja által határolt tartományba olyan egymáshoz csatlakozó téglalapokat írunk, amelyek egyik oldala az x-tengelyen van és egységnyi hosszúságú, egyik csúcsa pe- dig a g függvény grafikonjára illeszkedik. Az első beírt téglalap egyik csúcsa az origó, ezzel szem- közti csúcsa pedig az (1 g(1)) pont. A további téglalapok egy-egy csúcsa rendre (2 g(2)), (3 g(3)), és így tovább, az ábra szerint (az ábra nem méretarányos). Legyen n az a legnagyobb pozitív egész szám, amelyre g(n) - g(n + 1) > 10 - 6 teljesül. c) Számítsa ki az első n téglalap területének összegét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10462

Egy téglatest egyik éle 4 dm, egy másik éle 2 dm hosszú. A téglatest térfogata 72 dm3 . a) Határozza meg a téglatest felszínét! Egy téglatest térfogata 72 dm3 . A téglatest egyik éle kétszer olyan hosszú, mint egy másik éle. b) Határozza meg az ilyen tulajdonságú téglatestek közül a minimális felszínű téglatest éleinek hosszát! c) Hányféleképpen választhatunk ki egy téglatest csúcsai közül hármat úgy, hogy a kiválasztott három csúcs által meghatározott sík ne tartalmazza a téglatest egyetlen további csúcsát sem?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10463

Az ABCDE konvex ötszögben AB AE 20 cm és BC CD DE. A BCDE négyszög egy húrtrapéz, amelynek a B-nél fekvő belső szöge 40°-os. Az A csúcs és az EB átló távolsága 10 cm. a) Mekkorák az ötszög (belső) szögei? b) Mekkora az ötszög területe? c) Hányféleképpen járható be az ábrán látható ABCDE ötpontú gráf, ha mindegyik élén pontosan egyszer kell végighaladnunk? (A bejárás kezdőpontja a gráf egyik csúcsa; egy csúcsba érkezve csak olyan élen haladhatunk tovább, amely szintén az adott csúcsból indul.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10899

a) Satírozza be az alábbi ábrán a B \ (A  C) halmazt! b) Adja meg halmazműveletek segítségével az alábbi ábrán szürke színnel jelzett részhalmazt! Legyen a H alaphalmaz a függvények halmaza, Z, K és P pedig a H alábbi részhalmazai: Z  {zérushellyel rendelkező függvények}; K  {kölcsönösen egyértelmű függvények}; P  {páratlan függvények}. c) Helyezze el az alábbi hozzárendelésekkel megadott függvények betűjelét az ábra megfelelő részébe! f : R  R, x x  g: R  R, x x  2 2 h: R+  R, x x  lg i: R  R, x x  sin Egy négypontú gráf csúcsait megfeleltetjük a fenti f, g, h és i függvényeknek. Két csúcsot pontosan akkor kötünk össze éllel, ha a két megfelelő függvény értékkészletének van kö- zös eleme. d) Rajzolja fel az így kapott gráfot! Válaszát itt nem kell indokolnia.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11522