Kartonpapírból kivágtunk egy 1,5 dm magasságú ABC szabályos háromszöglapot. A háromszöglapon párhuzamost húztunk a háromszög mindegyik oldalával, mindegyiktől ugyanakkora, 0,5 deciméternél kisebb x távolságra. Ezek az egyenesek az 111 CBA szabályos háromszög oldalegyenesei. a) Írja fel az 111 CBA háromszög területét x függvényében! b) Szeretnénk egy 111 CBA alapú, x magasságú, felül nyitott egyenes hasáb alakú íróasztali tolltartót létrehozni a lapból, ezért levágtuk a fölösleget, majd az 111 CBA háromszög élei mentén felhajtottuk a hasáb oldallapjait. Mekkora x esetén lesz a keletkezett hasáb térfogata maximális?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4334

Adottak az f: R R, ( ) 22102 += xxxf és a g: R R, ( ) 6+= xxg függvények. a) Oldja meg az ( ) ( )xgxf = egyenletet! b) Írja fel az ( )xfy = és az ( )xgy = egyenletű alakzatok közös pontjaiban az ( )xfy = egyenletű görbéhez húzható érintők egyenletét! c) Ábrázolja az f és a g függvény grafikonját! Számítsa ki az ( )xfy = , ( )xgy = egyenletű grafikonok és az 6=x egyenletű egyenes által közrefogott, az y tengelyhez közelebbi síkidom területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1165

a) Ábrázolja a [0 6] intervallumon értelmezett 1182 + xxx a hozzárendelési szabállyal megadott függvényt! b) Adja meg az 1182 += xxy egyenlettel megadott alakzat P(5 -4) pontjában húzott érintőjének egyenletét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1193

A csonkakúp alakú tárgyak térfogatát régebben a gyakorlat számára elegendően pontos közelítő számítással határozták meg. Eszerint a csonkakúp térfogata közelítőleg egy olyan henger térfogatával egyezik meg, amelynek átmérője akkora, mint a csonkakúp alsó és felső átmérőjének számtani közepe, magassága pedig akkora, mint a csonkakúp magassága. a) Egy csonkakúp alakú fatörzs hossza (vagyis a csonkakúp magassága) 2 m, alsó átmérője 12 cm, felső átmérője 8 cm. A közelítő számítással kapott térfogat hány százalékkal tér el a pontos térfogattól? (Ezt nevezzük a közelítő számítás relatív hibájának.) b) Igazolja, hogy a csonkakúp térfogatára - a fentiekben leírt útmutatás alapján kapott - közelítő érték sohasem nagyobb, mint a csonkakúp térfogatának pontos értéke! Jelölje x a csonkakúp két alapköre sugarának arányát, és legyen 1>x . Bizonyítható, hogy a fentiekben leírt, közelítő számítás relatív hibáját százalékban mérve a következő függvény adja meg: ] [ ( ) ( ) 1 1 25 1: 2 2 ++ =+ xx x xff R c) Igazolja, hogy f -nek nincs szélsőértéke!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4348

a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az xkxxxf 9)( 23 ++= képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl.) Számítsa ki, hogy k mely értéke esetén lesz 1=x lokális szélsőérték-helye a függvénynek! Állapítsa meg, hogy az így kapott k esetén 1=x a függvénynek lokális maximumhelye, vagy lokális minimumhelye! Igazolja, hogy a k ezen értéke esetén a függvénynek van másik lokális szélsőérték-helye is! b) Határozza meg a valós számok halmazán a 23 9)( xxxg = képlettel értelmezett g függvény inflexiós pontját!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1225

A könyvkiadó szerkesztője egy könyv nyomtatási formáját tervezi. Minden lap alsó, felső és külső szélén kettő centiméteres margót szeretne hagyni, a belső szélen a kötés miatt négy centiméterest. A teljes lap területe 600 cm2 . a) Mekkorák legyenek a lap méretei, ha a szerkesztő a lehető legnagyobb nyomtatási területet szeretné elérni a lapokon? b) A nyomtatott oldalak száma 120, és a nyomtatott oldalak számozása 3-mal kezdődik. Ha véletlenszerűen kiválasztunk egy nyomtatott oldalt, mekkora valószínűséggel lesz az oldalszámban 2-es számjegy?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1242

Egy forgáskúp alapkörének átmérője 10 cm, alkotója 13 cm. Írjon ebbe egy olyan, a kúppal közös szimmetriatengelyű forgáshengert, amelynek alaplapja a kúp alaplapjára illeszkedik, és térfogata maximális! Mekkora ennek a hengernek a sugara?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1272

Jancsi vázát készít. Egy 10 cm sugarú, belül üreges gömbből levágott m magasságú (m > 10) gömbszelet határoló köréhez egy szintén m magasságú hengerpalástot ragaszt. A henger sugara megegyezik a gömbszeletet határoló kör sugarával. Mekkorának válassza Jancsi a gömbszelet m magasságát, hogy a vázába a lehető leg- több víz férjen? (A váza anyaga vékony, ezért a vastagságától eltekintünk, s hogy ne boruljon fel, egy megfelelő formájú üreges fatalpra fogják állítani.) Tudjuk, hogy ha a gömbszelet magassága m, a határoló kör sugara pedig r, akkor a térfogata: )3( 6 22 mrmV += .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4380

Legyen ( ) a a x a x a x xf ++= 234 23 , ahol a pozitív valós szám és x R. a) Igazolja, hogy ( ) a dxxf 0 = aa + 3 . b) Mely pozitív valós a számokra teljesül, hogy ( ) 0 0 a dxxf ? c) Az x mely pozitív valós értéke esetén lesz a ( ) xxxg += 3 függvénynek lokális (helyi) maximuma?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1285

Egy kozmetikumokat gyártó vállalkozás nagy tételben gyárt egyfajta krémet. A termelés teljes havi mennyisége (x kilogramm) 100 és 700 kg közé esik, amelyet egy megállapo- dás alapján a gyártás hónapjában el is adnak egy nagykereskedőnek. A megállapodás azt is tartalmazza, hogy egy kilogramm krém eladási ára: (36-0,03x) euró. A krémgyártással összefüggő havi kiadás (költség) is függ a havonta eladott mennyiségtől. A krémgyártással összefüggő összes havi kiadást (költséget) a 0001312,300001,0 3 + xx összefüggés adja meg, szintén euróban. a) Számítsa ki, hogy hány kilogramm krém eladása esetén lesz az eladásból szár- mazó havi bevétel a legnagyobb! Mekkora a legnagyobb havi bevétel? b) Adja meg a krémgyártással elérhető legnagyobb havi nyereséget! Hány kilogramm krém értékesítése esetén valósul ez meg? (nyereség=bevétel-kiadás)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1316

A nyomda egy plakátot 14 400 példányban állít elő. A költségeket csak a nyomtatáshoz felhasznált nyomólemezek (klisék) darabszámának változtatásával tudják befolyásolni. Egy nyomólemez 2500 Ft-ba kerül, és a nyomólemezek mindegyikével óránként 100 plakát készül el. A nyomólemezek árán felül, a lemezek számától függetlenül, minden nyomtatásra fordított munkaóra további 40 000 Ft költséget jelent a nyomdának. A ráfordított idő és az erre az időre jutó költség egyenesen arányos. a) Mennyi a nyomólemezek árának és a nyomtatásra fordított munkaórák miatt fellépő költségnek az összege, ha a 14 400 plakát kinyomtatásához 16 nyomóle- mezt használnak? b) A 14 400 plakát kinyomtatását a nyomda a legkisebb költséggel akarja meg- oldani. Hány nyomólemezt kell ekkor használnia? Mennyi ebben az esetben a nyomólemezekre és a ráfordított munkaidőre jutó költségek összege?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1331

Legyen p valós paraméter. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett f függvényt, amelynek hozzárendelési szabálya ( ) 6)3(3 223 ++= xpxpxxf . a) Számítsa ki a 2 0 )( dxxf határozott integrál értékét, ha p = 3. b) Határozza meg a p értékét úgy, hogy az x = 1 zérushelye legyen az f függvény- nek! c) Határozza meg a p értékét úgy, hogy az f függvény deriváltja az x = 1 helyen pozitív legyen!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1373

Az y = ax + b egyenletű egyenes illeszkedik a (2 6) pontra. Tudjuk, hogy a < 0. Jelölje az x tengely és az egyenes metszéspontját P, az y tengely és az egyenes metszéspontját pedig Q. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyre az OPQ háromszög terüle- te a legkisebb, és számítsa ki ezt a területet (O a koordináta-rendszer origóját jelöli)!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1376

Az ( ) cbxaxxff ++= 2 ,: RR másodfokú függvény grafikonjának tengelypontja a ( )2 4T pont, és a ( )0 2P pont is illeszkedik a grafikonra. a) Számítsa ki az a, b, c együtthatók értékét! b) Írja fel a grafikon 3 abszcisszájú pontjába húzható érintő egyenletét! c) Számítsa ki az f grafikonja és az x tengely által határolt tartomány területet!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1390

Egy üzemben 4000 cm3 -es, négyzet alapú, egyenes hasáb alakú, felül nyitott sütőedé- nyek gyártását tervezik. Az edények külső felületét tűzálló zománcfestékkel vonják be. (A belső felülethez más anyagot használnak.) a) Számítsa ki, mekkora felületre kellene tűzálló zománcfesték egy olyan edény esetén, amelynek oldallapjai 6,4 cm magasak! b) Az üzemben végül úgy határozták meg az edények méretét, hogy a gyártásukhoz a lehető legkevesebb zománcfestékre legyen szükség. Számítsa ki a gyártott edények alapélének hosszát! c) Minőségellenőrzési statisztikák alapján ismert: 0,02 annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott edény selejtes. Egy áruházláncnak szállított 50 darabos tételben mekkora valószínűséggel lesz pontosan 2 darab selejtes?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1406

Egy üzemben olyan forgáshenger alakú konzervdoboz gyártását szeretnék elkezdeni, amelynek térfogata 1000 cm3 . A doboz aljának és tetejének anyagköltsége 0,2 2 cm Ft , míg oldalának anyagköltsége 0,1 2 cm Ft . a) Mekkorák legyenek a konzervdoboz méretei (az alapkör sugara és a doboz magas- sága), ha a doboz anyagköltségét minimalizálni akarják? Válaszát cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! Számítsa ki a minimális anyagköltséget is egész forintra kerekítve! A megtöltött konzervdobozokat tizenkettesével csomagolták kartondobozokba. Egy ellenőrzés alkalmával 10 ilyen kartondoboz tartalmát megvizsgálták. Minden karton- doboz esetén feljegyezték, hogy a benne található 12 konzerv között hány olyat találtak, amelyben a töltősúly nem érte el az előírt minimális értéket. Az ellenőrök a 10 karton- dobozban rendre 0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 3, 0 ilyen konzervet találtak, s ezeket a konzerve- ket selejtesnek minősítették. b) Határozza meg a kartondobozonkénti selejtes konzervek számának átlagát és az átlagtól mért átlagos abszolút eltérését!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1421

a) Deriváltfüggvényének segítségével elemezze az f: ]-2 3[ R xxxxf 65,1)( 23 = függvényt a következő szempontok szerint: növekedés és fogyás, lokális szélsőérté- kek helye és értéke! b) Adja meg azt a g: ]-2 3[ R függvényt, amelyre igaz, hogy fg = (tehát az f függvény a g deriváltfüggvénye), és ezen kívül 0)2( =g is teljesül!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1463

Kovács úr a tetőterébe egy téglatest alakú beépített szekrényt készíttet. Két vázlatot raj- zolt a terveiről az asztalosnak, és ezeken feltüntette a tetőtér megfelelő adatait is. Az el- ső vázlat térhatású, a második pedig elölnézetben ábrázolja a szekrényt. 1. vázlat 2. vázlat A tetőtér adottságai miatt a szekrény mélységének pontosan 60 cm-nek kell lennie. a) Mekkora legyen a szekrény vízszintes és függőleges mérete (azaz a szélessége és a magassága), ha a lehető legnagyobb térfogatú szekrényt szeretné elkészíttetni? (A magasság, a szélesség és a mélység a szekrény külső méretei, Kovács úr ezek- kel számítja ki a térfogatot.) A szekrény elkészült. Az akasztós részébe Kovács úr vasárnap este 7 inget tesz be, a hét minden napjára egyet-egyet. Az ingek között van 2 fehér, 2 világoskék és 3 sárga. Reg- gelente nagyon siet, ezért Kovács úr csak benyúl a szekrénybe, és anélkül, hogy oda- nézne, véletlenszerűen kivesz egy inget. b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a hét első három napján vagy három külön- böző színű vagy három egyforma színű inget választ? (Ha valamelyik nap viselt egy inget, azt utána már nem teszi vissza a szekrénybe.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1468

a) Adott az O középpontú, 45)1()2( 22 =++ yx egyenletű kör. Az y = 2 egyenletű e egyenes és a kör első síknegyedbeli metszéspontját jelöljük M-mel. Tükrözzük az e egyenest az OM egyenesre. Írja fel az e egyenes tükörképének egyenletét! b) Adott az 522 ++= xxy egyenletű parabola. Az y = 2 egyenletű egyenes és a parabola első síknegyedbeli metszéspontját jelöljük P-vel. Számítsa ki a parabola P pontbeli érintőjének a meredekségét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1480

a) Határozza meg az cbxaxxxff +++= 23 )(,: RR függvényben az a, b és c valós paraméterek értékét, ha a függvényről tudjuk a következőket: (1) )1()1( = ff + 4 (2) f(3) = 10 (f az f deriváltfüggvénye) (3) = 2 0 8)( dxxf . b) Mutassa meg, hogy az 33 23 + xxx polinom szorzattá alakítható, és ennek segítségével határozza meg a 33)(,: 23 += xxxxgg RR függvény zérus- helyeit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1481

Adott a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az 32 3 xxy = egyenletű görbe. a) Igazolja, hogy ha [3 0]x , akkor 0>y . b) Írja fel a görbe 3 abszcisszájú pontjában húzható érintőjének egyenletét! (abszcissza: első koordináta) c) Számítsa ki annak a síkidomnak a területét, amelyet a görbe első síknegyedbe eső íve és az x tengely fog közre!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1493

Egy üzemben egyforma, nagyméretű fém- dobozok gyártását tervezik. A téglatest ala- kú doboz hálózatát egy 2 méter × 1 méteres téglalapból vágják ki az ábrán látható mó- don. A kivágott idom felhajtott lapjait az élek mentén összeforrasztják. (A forrasztási eljárás nem jár anyagveszteséggel.) a) Hogyan válasszák meg a doboz méreteit, hogy a térfogata maximális legyen? Válaszát centiméterben, egészre kerekítve adja meg! A dobozokat egy öt karakterből álló kóddal jelölik meg. Minden kódban két számjegy és három nagybetű szerepel úgy, hogy a két számjegy nincs egymás mellett. Mindkét számjegy eleme a {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9} halmaznak, a betűket pedig a 26 betűs (angol) ábécéből választják ki (például 7WA3A egy lehetséges kód). b) Hány különböző kód lehetséges?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1496

Adott az f és g függvény: 12)( : += xxff RR 2)( : 2 = xxgg RR . a) Számítsa ki a 2f + g függvény zérushelyeit! b) Számítsa ki az f és g függvények grafikonja által közbezárt területet! c) Számítással igazolja, hogy a )( )( )( [5,0 ]: xf xg xhh = R függvény szigorúan monoton növekedő!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1509

Egy 40 cm × 25 cm-es kartonlapból ki- vágunk két egybevágó téglalapot, az áb- rán ezek vonalkázva láthatók. A meg- maradt kartonlapból ezután (a berajzolt élek mentén) egy olyan téglatestet haj- togatunk, melynek magassága a kivágott téglalapok rövidebb oldalával egyenlő. a) Mekkora lesz a kapott téglatest felszíne, ha a kivágott téglalapok rövidebb oldala 2 cm-es? b) Hogyan válasszuk meg a kivágott téglalapok rövidebb oldalának hosszát, ha azt szeretnénk, hogy az elkészített téglatest térfogata maximális legyen? Mekkora a maximális térfogat?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1524

A derékszögű koordináta-rendszerben adott az xxy 325,0 2 += , illetve az xxy 44,101,0 3 = egyenletű görbéknek az az íve, amelyre 0 x 12. (Ez a két ív az áb- rán is látható.) Tudjuk, hogy a (0 0) és a (12 0) pont a két ív közös pontja. a) Mindkét ív esetében adja meg az ív x tengelytől legtávolabbi pontjának első koordinátáját! b) Mekkora a két ív által közrezárt síkidom területe? c) Értelmezzük a ]0 12[ intervallumon az alábbi hoz- zárendeléssel megadott f és g függvényeket: xx xx xf 44,101,0 325,0 )( 3 2 + = és 12 25 )( + = x xg . Igazolja, hogy )()( xgxf = , és mutassa meg, hogy a g függvény szigorúan monoton növekvő!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1527

A repülőgépek üzemanyag-fogyasztását számos tényező befolyásolja. Egy leegyszerűsí- tett matematikai modell szerint (a vizsgálatba bevont repülőgépek esetében) az egy óra repülés alatt felhasznált üzemanyag tömegét az )0009501800( 20 1 )( 2 += xxxf ösz- szefüggés adja meg. Ebben az összefüggésben x a repülési átlagsebesség km/h-ban (x > 0), f(x) pedig a felhasznált üzemanyag tömege kg-ban. a) A modell alapján hány km/h átlagsebesség esetén lesz minimális az egy óra repü- lés alatt felhasznált üzemanyag tömege? Mekkora ez a tömeg? Egy repülőgép Londonból New Yorkba repül. A repülési távolság 5580 km. b) Igazolja, hogy v km/h átlagsebesség esetén a repülőgép üzemanyag-felhasználása ezen a távolságon (a modell szerint) v v 000050265 200502279 + kg lesz! (v > 0) A vizsgálatba bevont, Londontól New Yorkig közlekedő repülőgépek v átlagsebességé- re teljesül, hogy 800 km/h v 1100 km/h. c) A megadott tartományban melyik átlagsebesség esetén a legnagyobb, és melyik esetén a legkisebb az egy útra jutó üzemanyag-felhasználás?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1558

Egy város kézilabdacsapatának vezetői a bajnoki mérkőzések jegybevételét szeretnék növelni. A korábbi évek adatai azt mutatják, hogy 1500 Ft-os jegyár esetén átlagosan 1000-en vásárolnak jegyet. Az adatokból az is kiderül, hogy ahányszor 5 Ft-tal csökken- tik a jegy árát, átlagosan annyiszor 10 fővel többen váltanak jegyet az adott mérkőzésre ha a jegyárat növelik, akkor pedig ahányszor 5 Ft-tal nő a jegy ára, átlagosan annyiszor 10 fővel csökken a jegyet vásárló nézők száma. (A jegy ára forintban kifejezve 0-ra vagy 5-re végződhet.) a) Mutassa meg, hogy ha a jelenlegi jegyár 1500 forint, akkor a fenti modell szerint a jegyárak bármilyen összegű növelése esetén csökkenni fog az összbevétel! b) A modell szerint mekkora lehet a jegyárakból származó legnagyobb bevétel egy mérkőzésen, és mennyit kell fizetni ebben az esetben egy jegyért?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1568

Egy színházban a jegyek az I., a II. vagy a III. árkategóriába tartoznak. Az egyik esti előadásra összesen 200 jegyet adtak el. Az eladott jegyek között a III. árkategóriájúak száma a másik két árkategóriába tartozó jegyek együttes számának kétharmada, az I., illetve II. árkategóriájú jegyek számának aránya pedig 9:11 volt. a) Hány jegyet adtak el az egyes árkategóriákban? Egy várrom területén szabadtéri színházat alakítanak ki. A tervrajz szerint a téglalap alakú színpadot az egyik bástya félkör alakban elhelyezkedő falmaradvá- nyai közé helyeznék el. A bástya belső átmérője 12 méter. (Az ábrán a tervrajz egy részlete látható: O a félkör középpontja, a téglalap csúcsába vezető sugár és az átmérő közötti szög pedig 2 <<0 .) b) Hogyan kell megválasztani az szöget, hogy a színpad területe a lehető legnagyobb legyen? Mekkora ez a legnagyobb terület?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2610

Egy fémlemezből készült, forgáshenger alakú hordóban 200 liter víz fér el. a) Mekkora területű fémlemez kell a 80 cm magas, felül nyitott hordó elkészítéséhez, ha a gyártása során 12%-nyi hulladék keletkezik? Egy kisvállalkozásnál több különböző méretben is gyártanak 200 literes, forgáshenger alakú lemezhordókat. b) Mekkora annak a 200 liter térfogatú, felül nyitott forgáshengernek a sugara és magassága, amelynek a legkisebb a felszíne?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4308

Több részletben összesen 350 tonna árut szeretnénk vasúton elszállíttatni. Az egyik szál- lítócég árajánlatában a szállítási díj két összetevőből áll. Egyrészt a szállított áru tömegé- nek négyzetével arányos díjat kell fizetnünk, másrészt az áru tömegétől független állandó alapdíjat is felszámítanak: ha egyszerre t tonna áru elszállítását rendeljük meg, akkor ezért 205 10 2 t eurót kell fizetnünk. a) Igazolja, hogy ha két részletben (két alkalommal) szállíttatnánk el a 350 tonna árut, akkor a vasúti költség abban az esetben lenne a legkisebb, ha az árut két egyenlő tömegű részre osztanánk! A vasúti szállítás költségének csökkentése érdekében a 350 tonna tömegű árut n egyenlő részre osztjuk, és azt tervezzük, hogy minden egyes alkalommal egy-egy részt szállítta- tunk el a vasúttal. (n N+ ) b) Igazolja, hogy a szállítócég ajánlata szerint az n alkalommal történő vasúti szállítás költsége összesen n n 205 25012 euró lenne! A vasúti szállítás költségén kívül figyelembe kell vennünk azt is, hogy ha a 350 tonna árut n egyenlő tömegű részre akarjuk szétosztatni, akkor a munka elvégzéséért nekünk 400)1( n eurót kell fizetnünk. (n N+ ) c) Hány egyenlő tömegű részletre bontva lenne a legolcsóbb a 350 tonna áru elfuva- roztatása?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4326