Egy centiméterben mérve egész szám élhosszúságú kockát feldaraboltunk 99 kisebb kockára úgy, hogy közülük 98 darab egybevágó, 1 cm élű kocka. Számítsa ki az eredeti kocka térfogatát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1138

Állítsuk a pozitív egész számokat növekvő sorrendbe, majd bontsuk rendre 1-gyel növekvő elemszámú csoportokra, a felbontást az alábbi módon kezdve: (1), (2 3), (4 5 6), (7 8 9 10), ... a) A 100-adik csoportnak melyik szám az első eleme? b) Az 1851 hányadik csoport hányadik eleme?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4330

Egy gimnázium alapítványának kuratóriuma úgy döntött, hogy elindít egy lottójátékot, amelynek bevételéből bizonyos részt a nyereményekre, bizonyos részt jótékonysági célokra fordít. Ebben a játékban heti rendszerességgel az első 40 pozitív egész számból húznak ki véletlenszerűen négyet. András a következő módon választja ki azokat a számokat, amelyeket megjátszik ezen a lottón: az első két szám kiválasztása után harmadiknak az első két szám összegét, negyediknek pedig az első három szám összegét választja. a) Legfeljebb mekkorának választhatja András a legkisebb számot? b) Ha András a legkisebb számot a lehető legnagyobbnak választja meg, akkor melyik számok szerepelhetnek a helyesen kitöltött szelvényen? c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy Andrásnak telitalálata lesz, ha az egyik héten a fenti szabálynak megfelelő minden egyes számnégyest pontosan egyszer megjátszik?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1168

Egy húrnégyszög három szögéről tudjuk, hogy mértékük aránya 7 : 6 : 8. a) Mekkorák a húrnégyszög szögei? Matematika órán, miután minden diák megoldotta a feladatot, három tanuló a következőket állította: Zsófi: A húrnégyszög minden szöge egész szám. Peti: A húrnégyszögnek van derékszöge. Kata: A húrnégyszög egyik szöge 110°-nál is nagyobb. b) A három tanuló állítása közül melyik igaz a feltételnek megfelelő húrnégyszögre?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1181

Melyek azok az N kétjegyű pozitív egész számok, amelyekre a következő négy állítás közül pontosan kettő igaz és kettő hamis: ƒ Az N osztható 7-tel. ƒ Az N a 29 többszöröse. ƒ Az N +11 négyzetszám. ƒ Az N 13 négyzetszám.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1213

Legyen n pozitív egész. Adottak az alábbi sorozatok: { }na , ahol ( ) nn na 22 += { }nb , ahol 1023 = nnbn { }nc , ahol 2 2 cos 2 sin + = nnc n . Vizsgálja meg mindhárom sorozatot korlátosság és monotonitás szempontjából! Válaszoljon mindhárom esetben, hogy a sorozat korlátos vagy nem, illetve monoton vagy nem! (Válaszait indokolja!) Korlátos sorozat esetében adjon meg egy alsó és egy felső korlátot!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1227

Az )( na mértani és a )( nb számtani sorozatnak is 1 az első tagja, és mindkét sorozat hatodik tagja )1( . a) Sorolja fel mindkét sorozat első öt tagját! b) Milyen pozitív egész n-re lesz a két sorozat első n tagjának összege ugyanakkora?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4375

A Kovács családban 4 embernek kezdődik a keresztneve B betűvel. Négyen teniszez- nek, és négyen kerékpároznak rendszeresen. A család tagjairól még a következőket tudjuk: csak Bea és Barbara jár teniszezni is és kerékpározni is egyedül Balázs nem űzi egyik sportágat sem Zoli próbálja testvérét, Borit a teniszezőktől hozzájuk, a kerékpározókhoz csábítani - sikertelenül. a) A fentiek alapján legalább hány tagja van a Kovács családnak? Egyik nap Barbara, Bea, Bori és Balázs barátaikkal vonaton utaztak, és hogy jobban teljen az idő, játszottak. A játék kezdetekor a társaság minden tagjának egy-egy olyan háromjegyű pozitív számra kellett gondolnia, amelynek minden számjegye 4-nél nagyobb és 7-nél kisebb. Amikor sorra megmondták a gondolt számot, kiderült, hogy nincs a mondott számok között azonos. b) Legfeljebb hány tagú lehetett a társaság? Egy másik alkalommal Barbara, Bea, Bori, Balázs és 4 barátjuk (Attila, András, Ali és Anna) moziba ment. Mind a 8 jegy egy sorba, egymás mellé szólt. c) A 8 ember hány különböző ülésrendben foglalhat helyet, ha az azonos betűvel kezdődő keresztnevűek közül semelyik kettő nem kerül egymás mellé? d) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a c) pont szerinti ülésrend alakul ki, ha minden ülésrend egyenlően valószínű?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4376

Adott az f és a g függvény. f: Df = R Z 2 kk ( ) xxxx 2sinctgtg +a . a) Igazolja, hogy az így definiált f függvény konstans! g: [ ]7 7=gD xxx 62 a . b) Számítsa ki a g függvény zérushelyeit! c) Adja meg a g függvény értékkészletét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1280

a) Oldja meg a pozitív valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert! ( ) ( ) = = 3 1 log log 2 2 3 2 yx xy b) Határozza meg az összes olyan pozitív egész k számot, amelyre a 729log 3k kifejezés értéke pozitív egész szám!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1295

a) Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget? ( ) ( ) 811 33 >+ xx b) Az alábbi f és g függvényt is a [ ]6 3 intervallumon értelmezzük. 3)( += xxf és 5,25,0)( += xxg . Ábrázolja közös koordinátarendszerben az f és a g függvényt a [ ]6 3 intervallumon! Igazolja számolással, hogy a két grafikon metszéspontjának mindkét koordinátája egész szám! c) Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! 5,235,0 ++ x

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1310

a) Hány olyan tízjegyű pozitív egész szám van, amelynek minden számjegye a {0 8} halmaz eleme ? b) Írja fel a 45-nek azt a legkisebb pozitív többszörösét, amely csak a 0 és a 8-as számjegyeket tartalmazza! (A feladat megoldása során fokozottan vegye figyelembe a 3. oldalon található 5. és 6. pontban előírtakat!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1311

Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű szám képezhető?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1325

Az A1C0C1 derékszögű háromszögben az A1 csúcsnál 30°-os szög van, az A1C0 befogó hossza 1, az A1C1 átfogó felezőpontja A2 . Az A2C1 szakasz fölé az A1C0C1 három- szöghöz hasonló A2C1C2 derékszögű három- szöget rajzoljuk az ábra szerint. Az A2C2 átfogó felezőpontja A3 . Az A3C2 szakasz fölé az A2C1C2 három- szöghöz hasonló A3C2 C3 derékszögű három- szöget rajzoljuk. Ez az eljárás tovább folytatható. a) Számítsa ki az így nyerhető végtelen sok derékszögű háromszög területének összegét (az összeg első tagja az A1C0C1 háromszög területe)! b) Igazolja, hogy a C0C1C2 ...Cn töröttvonal hossza minden pozitív egész n-re kisebb, mint 1,4.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1329

Egy fából készült négyzetes oszlop minden élének hossza centiméterben mérve 2-nél nagyobb egész szám. A négyzetes oszlop minden lapját befestettük pirosra, majd a lapokkal párhuzamosan 1 cm élű kis kockára vágtuk. A kis kockák közül 28 lett olyan, amelynek pontosan két lapja piros. Mekkora lehetett a négyzetes oszlop térfogata?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1332

Jelölje A az 0 3 4 + x x egyenlőtlenség egész megoldásainak a halmazát, B pedig az 43 <+x egyenlőtlenség egész megoldásainak a halmazát. Elemei felsorolásával adja meg az A B, az A B és az A B halmazt!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1415

a) Hány olyan szám van, amely a hármas számrendszerben háromjegyű és alakú? (a és b nem feltétlenül jelölnek különböző számjegyeket) Írja fel ezeket a számokat a hármas és a tízes számrendszerben! Ezek között hány olyan van, amelynek a tízes számrendszerbeli alakja kétjegyű páros szám? b) Hány olyan, legalább kételemű részhalmaza van a {2 3 4 5 6} halmaznak, amelyben az elemek szorzata osztható 3-mal?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1432

a) Egy mértani sorozat első tagja 32, a hányadosa pedig 128 1 . Igazolja, hogy akármennyi egymást követő tagját adjuk össze a sorozatnak az első taggal kezdve, az összeg nem haladhatja meg a 32,5 értéket! b) Az { }na olyan mértani sorozat, amelynek 128 1 az első tagja, a hányadosa pedig 32. Milyen pozitív n egész számra teljesül az n naaaa 3 321 2048... = egyenlőség?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1434

Egy iskola alapítványi bálján a korábban szokásos tombolahúzás helyett egy egyszerű lottóhúzást szerveznek. A szelvényt vásárolóknak az első tíz pozitív egész szám közül kell ötöt megjelölniük. Húzáskor öt számot sorsolnak ki (az egyszer már kihúzott számokat nem teszik vissza). Egy lottószelvény 200 Ft-ba kerül. Egy telitalálatos szelvénnyel 5000 Ft értékű, egy négytalálatos szelvénnyel 1000 Ft értékű, az alapítvány által vásárolt könyvutalványt lehet nyerni. Négynél kevesebb találatot elérő szelvénnyel nem lehet nyerni semmit. a) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a legkisebb kihúzott szám a 3. b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a számokat növekvő sorrendben húzzák ki? Az a) és b) kérdésekre adott válaszait három tizedesjegyre kerekítve adja meg! c) Számolással igazolja, hogy (három tizedesjegyre kerekítve) a telitalálat valószí- nűsége 0,004, a négyes találat valószínűsége pedig 0,099. d) Ha a húzás előtt 240 szelvényt adtak el, akkor mekkora az alapítvány lottó- húzásból származó hasznának várható értéke?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1449

Jelölje H a 32,5 x egyenlőtlenség pozitív egész megoldásainak halmazát. Jelölje továbbá B azon pozitív egész b számok halmazát, amelyekre a 6 2logb kifejezés értéke is pozitív egész szám. Elemeinek felsorolásával adja meg a H, a B, a BH és a HB halmazt!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1461

a) Egy hételemű, pozitív egész számokból álló adatsokaság hat eleme: 10 2 5 2 4 2. A hetedik adatot nem ismerjük. Tudjuk viszont, hogy a hét adat átlaga, módusza és mediánja (nem feltétlenül ebben a sorrendben) egy szigorúan monoton növekvő számtani sorozat három egymást követő tagja. Határozza meg a hetedik adat lehetséges értékeit! b) A 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből hány olyan négyjegyű páros szám képezhető, melynek minden számjegye különböző?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1478

a) Igazolja a következő állítást: ha egy négyszög szögei valamilyen sorrendben egy számtani sorozat egymást követő tagjai, akkor a négyszög húrnégyszög vagy trapéz! b) Fogalmazza meg az előző állítás megfordítását, és döntse el a megfordított állítás- ról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! Egy geometriai építőkészletben csak olyan pálcikák vannak, amelyek hossza centimé- terben mérve egész szám, és mindenféle lehetséges hosszúság előfordul 1 cm-től 12 cm-ig. (Mindegyik fajta pálcikából elegendően sok van a készletben.) c) Hány különböző módon választhatunk ki 4 pálcikát a készletből úgy, hogy belőlük egy 24 cm kerületű érintőnégyszöget lehessen építeni? (Két kiválasztást különbözőnek tekintünk, ha az egyik kiválasztás 4 pálcikája nem állítható párba a másik kiválasztás 4 pálcikájával úgy, hogy mind a 4 párban egyenlő hosszú legyen a két pálcika. Tudjuk továbbá, hogy ha a, b, c, d pozitív számok, és a + c = b + d, akkor az a, b, c, d hosszúságú szakaszokból szerkeszthe- tő négyszög.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1512

a) Határozza meg, hány olyan 1000-nél kisebb pozitív egész szám van, amelynek számjegyei között nem szerepel a 0, de szerepel legalább egyszer az 1. Egy pozitív egész számokból álló adatsokaság módusza 32, átlaga 22, a legkisebb adat a 10. Az m medián eleme a sokaságnak és gyakorisága 1. Ha az m-et (m + 10)-re cserélnénk, akkor az így kapott új sokaság átlaga 24 lenne. Ha az eredeti sokaságban az m számot (m - 5)-re cserélnénk, akkor az így kapott sokaság me- diánja m - 4 lenne. b) Igazolja, hogy az adatsokaságnak öt eleme van! c) Határozza meg az eredeti adatsokaság elemeit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1571

a) Adja meg az 011221455 22 yxyx egyenletű kör középpontját és sugarát! Adott a k kör, amelynek középpontja a K(-5 7) pont, és a sugara 10 egység. Ezen a körön belül adott az A(4 14) pont. b) Írja fel annak az A ponton áthaladó e egyenesnek az egyenletét, amely merőleges a KA szakaszra! c) Határozza meg a k kör e egyenesre illeszkedő húrjának hosszát! A koordináta-rendszer P(x y) pontját rácspontnak nevezzük, ha x és y egész számok. d) Hány rácsponton megy át a k körvonal?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2607

a) Egy számtani sorozat első tagja 4, differenciája 5. Egy mértani sorozat első tagja 3, hányadosa 2. Az 1000-nél kisebb pozitív egészek közül egyet véletlenszerűen kiválasztunk. Mek- kora a valószínűsége, hogy olyan számot választottunk, amely tagja valamelyik so- rozatnak? Válaszát q p alakban adja meg úgy, hogy p és q pozitív egészek és relatív prímek legyenek! b) Három teljes gráf pontjainak száma egy növekvő számtani sorozat három egymást követő tagja. Igazolja, hogy a három gráf éleinek száma ekkor nem lehet egy szám- tani sorozat három egymást követő tagja! (Teljes gráf: olyan egyszerű gráf, melynek bármely két pontja között van él.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2611

a) Határozza meg a c számjegy lehetséges értékeit, ha tudjuk, hogy 281c nem osztható 6-tal, 693c nem osztható 36-tal, 53cc pedig nem osztható 15-tel! ( pqrs azt a négy- jegyű számot jelöli, melynek első számjegye p, további számjegyei pedig rendre q, r és s.) b) Igazolja, hogy nincs olyan n pozitív egész szám, amelyre 164 nn osztható 8-cal! c) Igazolja (teljes indukcióval vagy más módszerrel), hogy 164 nn minden n pozi- tív egész szám esetén osztható 9-cel!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4307

a) Hány olyan különböző hegyesszögű háromszög van, melynek szögei fokban mérve különböző egész számok, és a szögek egy növekvő számtani sorozat egymást követő tagjai? (Két háromszöget különbözőnek tekintünk, ha nem hasonlók egymáshoz.) b) Igazolja, hogy nincs olyan szabályos n-szög, amelynek a belső szögei n fokosak! c) Egy szabályos n-szögről tudjuk, hogy a belső szögei fokban mérve egész számok. Hányféle lehet az n értéke?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4324

a) Ha a|b igaz, akkor a|b2 is teljesül (a és b pozitív egész számok). Fogalmazza meg a fenti (igaz) állítás megfordítását, és állapítsa meg a megfordítás logikai értékét is! Válaszát indokolja! (a|b azt jelenti, hogy az a egész szám osztója a b egész számnak.) b) Hány olyan n pozitív egész szám van, amelyhez létezik olyan p (pozitív) prímszám, amelyre az pnn 2 különbség is egy (pozitív) prímszámmal egyenlő? Egy lapra 10 pontot rajzoltunk, majd ezeket megszámoztuk 1-től 10-ig. Ezután minden egyes pontot egy-egy vonallal összekötünk a lapon szereplő összes olyan ponttal, amelyhez írt szám a kiválasztott ponthoz írt számnak osztója. (Például azt a pontot, amelyhez a 6-ot írtuk, összekötöttük mind a négy ponttal, amelyhez a 6 valamelyik osz- tóját írtuk.) c) Igazolja, hogy az így kapott 10 csúcsú gráf nem egyszerű gráf! d) Igazolja, hogy a gráf éleinek száma páratlan!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 6264

A pozitív páratlan számokat háromszög alakban rendezzük el a következők szerint: az első oszlopba írjuk az első páratlan szá- mot, a második oszlopba a következő kettőt, a harmadik osz- lopba a következő hármat, és így tovább. Például az ötödik osz- lop negyedik helyén a 27 áll (lásd az ábrát is). a) Hányadik oszlop hányadik helyén áll a 99 ? b) Határozza meg a 2017. oszlopban álló első számot! c) Igazolja, hogy az n-edik oszlopban álló számok összege 3 n (n Z+ ). 29 2719 251711 231595 2113731

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 6267

a) Mely egész számokra teljesül a [0 2] intervallumban a 2 1 cos x egyenlőtlenség? b) Hány olyan egész szám van, amelyre teljesül a 201515202 xx egyenlőt- lenség? c) Adott a valós számok halmazán értelmezett 1 2 1 )( 4 x xf függvény. Hány rács- pontot tartalmaz az f függvény grafikonja és a koordinátatengelyek által az első sík- negyedben közbezárt síkidom? (A síkidom határolóvonalait is a síkidomhoz tarto- zónak tekintjük.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7748

a) Az A, B és C nemüres halmazokról tudjuk a következőket: az A minden eleme a B-nek is eleme, továbbá C-nek van olyan eleme, amelyik A-nak is eleme. Az alábbi öt állítás mindegyikéről döntse el, hogy igaz vagy hamis! (Válaszait nem kell indokolnia.) (1) Van olyan eleme A-nak, amelyik C-nek is eleme. (2) Nincs olyan eleme C-nek, amelyik B-nek is eleme. (3) Ha valami eleme B-nek, akkor eleme A-nak is. (4) Ha valami nem eleme B-nek, akkor az eleme C-nek. (5) Ha valami nem eleme B-nek, akkor az nem eleme A-nak sem. Egy 34 fős osztály matematikatanára az egyik óra elején egy rövid, öt kijelentést tartal- mazó tesztet írat. A tanulóknak meg kell határozniuk a kijelentések logikai értékét (igaz vagy hamis). A feladatok sorszámuk szerint fokozatosan nehezedők, ennek megfelelő a pontozás is: az n-edik feladat esetén a helyes válasz n pontot ér, a hibás válaszért pedig n pont levonás jár (n {1 2 3 4 5}). Tudjuk, hogy mind a 34 tanuló mind az öt teszt- kérdésre válaszolt. b) Bizonyítsa be, hogy van két olyan tanuló, aki ugyanúgy töltötte ki a tesztlapot! c) Mutassa meg, hogy a teszttel elért összpontszám csak páratlan egész szám lehet! Jól sikerült tesztet írt Adél, Béla és Csilla, az osztály három tanulója. Tesztjeikkel össze- sen 39 pontot értek el. d) Hányféleképpen lehet három, 15-nél nem nagyobb páratlan egész szám összegeként a 39-et felírni, ha az összeadandók sorrendjét is figyelembe vesszük?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7749

Kinga a következő tanítási napra hat házi feladatot kapott, három kötelezőt és három szor- galmit. Egy-egy kötelező házi feladatot kapott matematikából, angolból és magyarból, ezeket biztosan elkészíti. Szorgalmi házi feladatot biológiából, németből és történelemből kapott, ezeket nem feltétlenül csinálja meg: lehet, hogy mind a hármat elkészíti, lehet, hogy csak kettőt vagy egyet, de az is lehet, hogy egyet sem készít el. a) Összesen hányféle különböző sorrendben készítheti el Kinga a házi feladatait? (Két esetet különbözőnek tekintünk, ha vagy nem ugyanazokat a házi feladatokat, vagy ugyanazokat a házi feladatokat, de más sorrendben oldja meg.) Kinga matematika-házifeladata ez volt: 500 különböző pozitív egész szám átlaga 1000. Legfeljebb mekkora lehet a számok közül a legnagyobb? b) Adja meg Kinga matematika-házifeladatának megoldását! Kinga, Linda, Misi és Nándi elvállalta, hogy az alacsonyabb évfolyamok tanulói közül hét diákot rendszeresen korrepetálni fog. Az egyénenként vállalt tanulók számát egy meg- beszélésen döntik el. c) Hány különböző módon állapodhatnak meg abban, hogy melyikük hány tanulót kor- repetáljon, ha mindegyikük vállal legalább egy tanulót? (Két megállapodást különbözőnek tekintünk, ha legalább egyikük nem ugyanannyi tanulót korrepetál a két megállapodás szerint.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8925

Az ABCDEFGH négyzetes oszlop AE, BF, CG, DH élei merőlegesek az ABCD alaplapra. Az A csúcsból kiinduló három él hossza AB AD 8 egység, AE 15 egység. a) Számítsa ki az EF és AH vektorok skaláris szorzatát! A négyzetes oszlop köré egy P csúcspontú forgáskúpot illesztünk úgy, hogy az A, B, C, D csúcsok a kúp alaplapjára, az E, F, G, H csúcsok pedig a kúp palástjára illeszkedjenek. (A kúp és a négyze- tes oszlop tengelye egybeesik.) A kúp magassága 45 egység. b) Számítsa ki a kúp felszínét! c) Hány olyan derékszögű háromszög van, amelynek egyik befogója 15 egység hosszú, és a másik két oldala is egész szám hosszúságú? (Az egybevágó háromszögeket nem tekintjük különbözőknek.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8928

a) Egy mértani sorozat negyedik tagja 12, a kilencedik tagja 384. Számítsa ki a sorozat első hat tagjának az átlagát, és az átlagtól mért átlagos abszolút eltérését! b) Hány olyan pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek szorzata és összege is 12?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8937

a) Hány olyan 1000-nél kisebb p pozitív egész szám van, amelyre a p és a 42 relatív prímek? Az alábbi táblázatban egy végtelen szorzótábla részletét látjuk. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ... ... A fehér, illetve szürke színű L alakú sávokban lévő számok összege: L1 = 1, L2 = 2 + 4 + 2 = 8, L3 = 3 + 6 + 9 + 6 + 3 = 27, ... b) Igazolja, hogy 3 nL n= . c) Igazolja, hogy az első n pozitív köbszám összege 2 3 3 3 3 ( 1) 1 2 3 ... 2 n n n K n + = + + + + = .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8944

Oldja meg az alábbi két egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! a) 1 cos 2 x b) 4 20 5 x < c) Hány olyan egész szám van, amelyik gyöke az alábbi egyenlőtlenségnek? 0,5log (2 100) 8

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8967

A p, q, r pozitív számok összege 180. Tudjuk továbbá, hogy p : q = 7 : 8 és r : p = 5 : 3. a) Határozza meg ezeket a számokat! A H halmaz az első 90 pozitív egész szám halmaza. H-ból véletlenszerűen kiválasztunk két különböző számot. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a két kiválasztott szám egy derékszögű háromszög (fokban mért) valamelyik két szöge!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8968

a) Igazolja, hogy nincs olyan 2-nél nagyobb n egész szám, melyre 1 n , 2 n és 3 n (ebben a sorrendben) egy mértani sorozat egymást követő tagjai! b) Határozza meg azokat az 5-nél nagyobb n egész számokat, melyekre 4 n , 5 n és 6 n (ebben a sorrendben) egy számtani sorozat egymást követő tagjai!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8972

a) Hány olyan 90-nél nem nagyobb pozitív egész szám van, amely a 2, a 3 és az 5 közül pontosan az egyikkel osztható? Az ötöslottó-játékban az első 90 pozitív egész számból kell öt különbözőt megjelölni. A sorsoláson öt (különböző) nyerőszámot húznak ki. (Sem a megjelölés, sem a kihúzás sorrendje nem számít.) Kati a 7, 9, 14, 64, 68 számokat jelölte meg. A sorsoláson az első három kihúzott nyerő- szám a 7, a 9 és a 14 volt. Kati úgy gondolja, hogy most nagy esélye van legalább négy találatot elérni. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a hátralevő két nyerőszám közül Kati legalább az egyiket eltalálja! Az egyik játékhéten összesen 3 222 831 lottószelvényt küldtek játékba a játékosok. Az alábbi táblázat mutatja a nyertes szelvények számát és nyereményét (2-nél kevesebb találattal nem lehet nyerni). Találatok száma Nyertes szelvények száma Nyeremény (Ft/nyertes szelvény) 5 0 0 4 17 3 113 255 3 1617 34 915 2 62 757 1970 c) Számítsa ki, hogy mennyi volt a játékosok egy lottószelvényre jutó átlagos veszte- sége ezen a héten, ha a játékba küldött szelvények egységára 250 Ft!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8986

a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! 2 2 7 0, 25x x x = + b) Hány olyan egész szám van, amelyik megoldása az alábbi egyenlőtlenségnek? 2 2log ( 200) 20

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8997

Az ókori egyiptomiak az egyenlő szárú háromszög területét (közelítő módszerrel) úgy számolták ki, hogy az alap és a szár szorzatának a felét vették.1 a) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 18 cm hosszú. Mekkora lehet a szára, ha az ókori egyiptomiak módszere e háromszög valódi területét 25%-nál kisebb hibával adja meg? Az ókori Egyiptom matematikájában a számok négyzetének is jelentős szerep jutott. b) Hány olyan 1000-nél kisebb pozitív egész szám van, amellyel az 1 2 3 4 5 6 szá- mot megszorozva négyzetszámot kapunk?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10250

a) Két pozitív egész szám relatív prím, legkisebb közös többszörösük 35 700. Határozza meg az ilyen tulajdonságú számpárok számát! (Az (a, b) és a (b, a) számpárokat nem tekintjük különbözőknek.) b) Legyen H = {1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}. Hány olyan részhalmaza van H-nak, amelyben az elemek szorzata osztható 9-cel? (Egyelemű halmaz esetén az elemek szorzatának az egyetlen elem értékét tekintjük.) c) Egy papírlapon adott öt pont. A pontok mellé egy-egy pozitív egész számot írunk. Az adott pontok legyenek egy olyan ötpontú egyszerű gráf csúcsai, amelynek két csúcsa pontosan akkor van éllel összekötve, ha a csúcsok mellé írt számok közül az egyik többszöröse a másiknak. Az alábbi három ábra mindegyikén 5-5 pont látható. Írjon mindhárom ábrán az 5 pont mellé különböző pozitív egész számokat, majd rajzolja meg a fenti szabály szerint a gráf éleit úgy, hogy az első esetben egy teljes gráfot, a második esetben egy fagráfot, a harmadik esetben pedig egy üres gráfot kapjon (az üres gráfnak egyetlen éle sincsen)!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10281

a) Az f függvény hozzárendelési szabálya ( ) 3 x f x = (x R). Helyezze el az alábbi halmazábra megfelelő részeibe az f (-2), f (0,5) és f (5) függvényértékeket! Egy ötpontú egyszerű gráf A, B, C, D, E pontjaihoz rendre a 3-2 , 3 -7 , 3 -12 , 1 2 és 1 2 1 számokat írtuk. A gráfban két pont akkor és csak akkor van éllel összekötve, ha a két ponthoz írt számok összege racionális szám. b) Hány éle van ennek az ötpontú gráfnak? A koordinátatengelyek és a ( ) 3 x g x = (x 0) függvény grafikonja által határolt tartományba olyan egymáshoz csatlakozó téglalapokat írunk, amelyek egyik oldala az x-tengelyen van és egységnyi hosszúságú, egyik csúcsa pe- dig a g függvény grafikonjára illeszkedik. Az első beírt téglalap egyik csúcsa az origó, ezzel szem- közti csúcsa pedig az (1 g(1)) pont. A további téglalapok egy-egy csúcsa rendre (2 g(2)), (3 g(3)), és így tovább, az ábra szerint (az ábra nem méretarányos). Legyen n az a legnagyobb pozitív egész szám, amelyre g(n) - g(n + 1) > 10 - 6 teljesül. c) Számítsa ki az első n téglalap területének összegét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10462

Legyen a H alaphalmaz a pozitív egészekből álló számpárok halmaza, az A, B és C pedig a H alábbi részhalmazai: A = {(a b) | a és b relatív prímek} B = {(a b) | a osztója b-nek} C = {(a b) | a és b közül legalább az egyik prímszám}. (Ha a b, akkor az (a b) és a (b a) számpárokat különbözőnek tekintjük.) a) Az alábbi Venn-diagram két részébe beírtunk egy-egy számpárt. Írjon a diagram további hat üres részébe egy-egy megfelelő számpárt! Tekintsük a következő két állítást (a, b, c pozitív egészek)! I. Ha c osztója ab-nek, akkor c osztója a-nak vagy c osztója b-nek. II. Ha a osztója c-nek és b osztója c-nek, akkor ab osztója c-nek. b) Határozza meg a két állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszait indokolja! c) Fogalmazza meg az I. állítás megfordítását, és határozza meg a megfordítás logikai értékét! Ha a megfordítás igaz, akkor bizonyítsa be, ha pedig hamis, akkor mutasson ellenpéldát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10832

A 2, 4, 6, 8, 10 számok felhasználásával az összes lehetséges módon képezzük azokat a kéttényezős szorzatokat, amelyekben az első tényező kisebb, mint a második. Az így kapott szorzatokat összeadjuk. a) Számítsa ki ezt az összeget! Legyen k tetszőleges 1-nél nagyobb pozitív egész szám. Jelölje Sk azt az összeget, amelyet a következő eljárással kapunk: az 1, 2, 3, … , k számok (az első k db pozitív egész szám) felhasználásával az összes lehetséges módon képezzük azokat a kéttényezős szorzatokat, amelyekben az első tényező kisebb, mint a második, majd a kapott szorzatokat összeadjuk. b) Igazolja, hogy 2 1 ( 1) k k 2 k k S S     . c) Igazolja (teljes indukcióval vagy más módszerrel), hogy tetszőleges 1-nél nagyobb n egész szám esetén ( 1) ( 1)(3 2) n 24 n n n n S     .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10903

a) Hány olyan hétjegyű szám van a kettes számrendszerben, amelyben legfeljebb két darab 0 számjegy található? Legyen H az egyjegyű pozitív egész számok halmaza. b) Hány olyan 4 elemű részhalmaza van H-nak, amelynek az 1 vagy a 2 eleme? c) A és B legyen a fenti H alaphalmaz két részhalmaza. Adja meg az alábbi (igaz) állítás megfordítását, és adja meg a megfordítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja! „Ha A  B , akkor AB  .”

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10911

A k1 kör egyenlete a derékszögű koordináta-rendszerben x x y y 2 2     4 12 13. a) Határozza meg a k1 kör sugarát és középpontjának koordinátáit! A k1 körbe írható ABCD húrtrapéz csúcsai A(4; 13), B(–5; 4), C(4; –1) és D(9; 4). b) Határozza meg a húrtrapéz magasságát és szögeit! A k2 kör egyenlete a derékszögű koordináta-rendszerben x y 2 2   53 . c) Hány olyan pont található a k2 körvonalon, amelynek mindkét koordinátája egész szám?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10917

Egy háromszög oldalainak hossza p q 2 2  , p q 2 2  , illetve 2pq, ahol p és q olyan pozitív egész számok, melyekre p > q teljesül. a) Igazolja, hogy a három oldalhossz közül p2 2  q a legnagyobb! b) Igazolja, hogy a háromszög derékszögű! c) Igazolja, hogy a háromszög területe p3 3 q q p  ! d) Jelölje a háromszögbe írt kör sugarának hosszát r. Igazolja, hogy r értéke egész szám!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10932

a) Melyik az a legnagyobb természetes szám, amelyre az alábbi négy tulajdonságból pontosan három teljesül? (1) Húszjegyű. (2) 20-szal osztható. (3) Számjegyeinek összege 20. (4) Számjegyeinek szorzata 20. Legyen a H alaphalmaz a húszjegyű pozitív egész számok halmaza, az A halmaz pedig a 7-es számjegyet tartalmazó húszjegyű pozitív egész számok halmaza. b) Melyik a nagyobb: A vagy A ? Az n jegyű pozitív egészek közül egyet véletlenszerűen kiválasztva 0,99-nél nagyobb annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám tartalmaz 7-es számjegyet. c) Határozza meg n lehetséges értékeit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11499