Adott a 56)( 2 ++= tttK polinom. Jelölje H a koordinátasík azon ( )yxP pontjainak halmazát, amelyekre ( ) ( ) 0+ yKxK . a) A H halmaz pontjai közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott pont az C(-3 -3) ponttól 2 egységnél nem nagyobb távolságra van? Az f függvényt a következőképpen definiáljuk: ( ) 56,: 2 ++= xxxff RR . b) Számítsa ki az f függvény grafikonja és az x tengely által közbezárt síkidom területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4363

Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! ( ) 02log3 1,0 2 <+ xxx

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1268

Legyen ( ) a a x a x a x xf ++= 234 23 , ahol a pozitív valós szám és x R. a) Igazolja, hogy ( ) a dxxf 0 = aa + 3 . b) Mely pozitív valós a számokra teljesül, hogy ( ) 0 0 a dxxf ? c) Az x mely pozitív valós értéke esetén lesz a ( ) xxxg += 3 függvénynek lokális (helyi) maximuma?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1285

a) Oldja meg a pozitív valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert! ( ) ( ) = = 3 1 log log 2 2 3 2 yx xy b) Határozza meg az összes olyan pozitív egész k számot, amelyre a 729log 3k kifejezés értéke pozitív egész szám!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1295

a) Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget? ( ) ( ) 811 33 >+ xx b) Az alábbi f és g függvényt is a [ ]6 3 intervallumon értelmezzük. 3)( += xxf és 5,25,0)( += xxg . Ábrázolja közös koordinátarendszerben az f és a g függvényt a [ ]6 3 intervallumon! Igazolja számolással, hogy a két grafikon metszéspontjának mindkét koordinátája egész szám! c) Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! 5,235,0 ++ x

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1310

Legyen { }xxxA = 51R és ( ) >= 242log 2 1 xxB R . Adja meg az BA , BA , AB halmazokat!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1326

Pali és Zoli közösen egy 60 m × 30 m-es, téglalap alakú telket vásárolt. A telket egymás között két olyan egybevágó derékszögű trapézra osztották fel, amelynek a rövidebb alapja 20 m. Jelölje EF a közös határvonalszakaszt! a) Számítsa ki a közös EF határvonal hosszát! (Az eredményt méterben, egy tizedes jegyre kerekítve adja meg!) A közös határvonalon Palinak kellett volna kerítést építtetni, de nem volt erre a célra pénze. Ezért Zolinak a következő ajánlatot tette: átad neki a telkéből egy háromszög alakú részt, ha Zoli csináltatja meg a telküket elválasztó kerítést. Zoli szerette volna telkének 20 m-es határát maximum 8 méterrel megnövelni, így elfogadta az ajánlatot, és az új közös határvonalnak az EG szakaszt jelölte meg. A telek négyzetméterének ára 30 000 Ft, a kerítés megépíttetésének költsége 15 000 Ft/m. Az egyéb felmerülő költségeket egyenlő arányban osztották meg. b) Legalább hány m hosszú legyen a FG szakasz, hogy Zoli járjon jobban? (Az eredményt egy tizedesre kerekítve adja meg!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1347

Legyen p valós paraméter. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett f függvényt, amelynek hozzárendelési szabálya ( ) 6)3(3 223 ++= xpxpxxf . a) Számítsa ki a 2 0 )( dxxf határozott integrál értékét, ha p = 3. b) Határozza meg a p értékét úgy, hogy az x = 1 zérushelye legyen az f függvény- nek! c) Határozza meg a p értékét úgy, hogy az f függvény deriváltja az x = 1 helyen pozitív legyen!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1373

a) Adott az 1253 7 1 7 1 7 1 7 1 = nna K , + Nn sorozat. Melyik az a legnagyobb n természetes szám, amelyre 50 49 >na ? b) Adott a 1253 7 1 7 1 7 1 7 1 ++++= nnb K , + Nn sorozat. Számítsa ki a n n b lim határértéket!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1388

a) A derékszögű koordináta-rendszerben adott egy téglalap, amelynek csúcsai: ( ),0 0A ( )0 4B , ( )1 4C és ( )1 0D . Véletlenszerűen kiválasztjuk a téglalap egy belső P ( x y ) pontját. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 2 1 3 1 + xy ? b) Marci a farsangi rendezvényre kibocsátott 200 darab tombolajegyből 4-et vásárolt. A tombolán 10 nyereménytárgyat sorsolnak ki. Minden tombolajeggyel legfeljebb egy tárgyat lehet nyerni. b1) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Marci pontosan egy tárgyat nyer a tombolán? b2) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Marci nyer a tombolán? Az eredményeket - a közbülsőket is - négy tizedesjegyre kerekítve számolja ki!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1389

Jelölje A az 0 3 4 + x x egyenlőtlenség egész megoldásainak a halmazát, B pedig az 43 <+x egyenlőtlenség egész megoldásainak a halmazát. Elemei felsorolásával adja meg az A B, az A B és az A B halmazt!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1415

Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a) 0)12(log 5 1

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1430

Egy mobiltelefon-szolgáltató társaság több évi statisztikája azt mutatja, hogy a szabá- lyosan elküldött SMS-ek (szöveges telefonüzenetek) közül átlagosan minden hatvanadik nem jut el a címzettjéhez. A következőkben ezen szolgáltató által továbbított SMS-ekről lesz szó. a) Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, illetve melyik hamis! Tegyen a megfelelő mezőbe egy ×-et! ( A válaszokhoz indoklás nem kell.) Állítás IGAZ HAMIS 1. Ha egy hónap alatt 45 SMS-t küldünk, akkor biztos, hogy mindegyik megérkezik a címzettjéhez. 2. Ha minden SMS-t kétszer küldünk el, akkor legalább az egyik üzenet biztosan megérkezik mindegyik párból. 3. Lehetséges, hogy a tegnap elküldött 5 SMS-ből csak egy jutott el a címzetthez. 4. Ha tíz nap alatt 120 SMS-t küldünk, akkor lehet, hogy mindegyik megérkezik a címzettjéhez. 5. Ha két nap alatt 180 SMS-t küldtünk, akkor közülük három biztosan nem érkezett meg. A továbbiakban feltételezzük, hogy a sikeresen elküldött SMS-ek száma binomiális eloszlást követ. b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy három elküldött SMS-ből pontosan egy nem érkezik meg? Ha számításaihoz kerekített értékeket használ, akkor 4 tizedes jegyre kerekített alakjukkal számoljon! c) Legalább hány SMS elküldése esetén mondhatjuk, hogy legalább 98% a valószínűsége annak, hogy közülük legalább egy nem érkezett meg? Ha számításaihoz kerekített értékeket használ, akkor 4 tizedes jegyre kerekített alakjukkal számoljon!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1436

Aranyékszerek készítésekor az aranyat mindig ötvözik valamilyen másik fémmel. A ka- rát az aranyötvözet finomsági fokát jelöli. Egy aranyötvözet 1 karátos, ha az ötvözet teljes tömegének 24 1 része arany, a k karátos aranyötvözet tömegének pedig 24 k része arany. Kata örökölt a nagymamájától egy 17 grammos, 18 karátos aranyláncot. Ebből két darab 14 karátos karikagyűrűt szeretne csináltatni. a) Legfeljebb hány gramm lehet a két gyűrű együttes tömege, ha aranytartalmuk összesen sem több, mint az aranylánc aranytartalma? b) Kata végül két olyan gyűrűt készíttetett, amelyek együttes tömege 16 gramm. (A megmaradó 14 karátos aranyötvözetet törtaranyként visszakapta.) Az elké- szült két karikagyűrű tekinthető két lyukas hengernek, amelyek szélessége (a lyukas hengerek magassága) megegyezik. Az egyik gyűrű belső átmérője 17 mm, és mindenhol 1,5 mm vastag, a másik gyűrű belső átmérője 19,8 mm, vastagsága pedig mindenhol 1,6 mm. Hány mm a gyűrűk szélessége, ha a készítésükhöz használt 14 karátos arany- ötvözet sűrűsége 3 cm g 15 ? Válaszait egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1448

Jelölje H a 32,5 x egyenlőtlenség pozitív egész megoldásainak halmazát. Jelölje továbbá B azon pozitív egész b számok halmazát, amelyekre a 6 2logb kifejezés értéke is pozitív egész szám. Elemeinek felsorolásával adja meg a H, a B, a BH és a HB halmazt!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1461

Adott a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az 32 3 xxy = egyenletű görbe. a) Igazolja, hogy ha [3 0]x , akkor 0>y . b) Írja fel a görbe 3 abszcisszájú pontjában húzható érintőjének egyenletét! (abszcissza: első koordináta) c) Számítsa ki annak a síkidomnak a területét, amelyet a görbe első síknegyedbe eső íve és az x tengely fog közre!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1493

Egy pénzintézet a tőle felvett H forint összegű hitel visszafizetésekor havi p%-os kamat- tal számol (p > 0), ezért az adós havi törlesztőrészletét a 1 )1( = n n n q qq Ht képlettel szá- mítja ki (minden hónapban ekkora összeget kell visszafizetni). A képletben 100 1 p q += , az n pedig azt jelenti, hogy összesen hány hónapig fizetjük a törlesztőrészleteket (ez a hitel futamideje). a) Fogyasztási cikkek vásárlására 1,6 millió forint hitelt vettünk fel a pénzintézettől a havi kamat 2%. Összesen hány forintot fizetünk vissza, ha 72 hónap alatt tör- lesztjük a felvett hitelt? Válaszát ezer forintra kerekítve adja meg! b) Legkevesebb hány hónapos futamidőre vehetünk fel egy 2 millió forintos hitelt, ha legfeljebb 60 ezer forintot tudunk havonta törleszteni, és a havi kamat 2%-os? c) Számítsa ki a n n t lim határértéket, ha q = 1,02 és H = 2 000 000.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1511

a) Egy kocka és egy gömb felszíne egyenlő. Bizonyítsa be, hogy a gömb térfogata nagyobb, mint a kockáé! Két fémkocka összeolvasztásával egy nagyobb kockát készítünk. Az egyik beolvasztott kocka egy élének hossza p, a másiké pedig q (p > 0, q > 0). (Feltesszük, hogy az össze- olvasztással kapott kocka térfogata egyenlő a két összeolvasztott kocka térfogatának összegével.) b) Igazolja, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíne 3 233 )(6 qp + . c) Bizonyítsa be, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíne kisebb, mint a két összeolvasztott kocka felszínének összege!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1513

Jelölje a 0 4x2 −19x + 22 < egyenlőtlenség valós megoldásainak halmazát A, a sin 2x < 0 egyenlőtlenség valós megoldásainak halmazát pedig B. Igazolja, hogy A ⊂ B !

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1523

Dani sportlövészedzésre jár, ahol koronglövészetet tanul. Az első félév végén kiderült, hogy még elég bizonytalanul céloz: húsz lövésből átlagosan ötször találja el a repülő agyagkorongot. (Tekintsük ezt úgy, hogy minden lövésnél 20 5 az esélye annak, hogy Dani találatot ér el.) a) Mekkora annak az esélye az első félév végén, hogy nyolc egymás után leadott lövésből legalább háromszor célba talál? Válaszát három tizedesjegyre kerekítve adja meg! b) Az első félév végén legalább hány egymás után leadott lövés kell ahhoz, hogy Dani legalább 95%-os eséllyel legalább egyszer eltalálja a repülő korongot? A rendszeres edzéseknek köszönhetően Dani eredményessége javult. A második félév végén már 0,72 volt annak a valószínűsége, hogy három egymás után leadott lövésből pontosan egy vagy pontosan két találatot ér el. c) Számítsa ki, hogy a második félév végén mekkora valószínűséggel ér el találatot egy lövésből Dani!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1542

Oldja meg a [4 6] alaphalmazon az alábbi egyenleteket, illetve egyenlőtlenséget! a) 35 = x b) 11032 += xx c) 01coscos2 2 + xx

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1554

Adott az f, a g és a h függvény: 12)(,: = x xff RR 23)(,: += xxgg RR 2 12)(,: xxhh = RR . a) Legyen a k összetett függvény belső függvénye az f és külső függvénye a h (vagyis k(x) = h(f(x)) minden x valós szám esetén). Igazolja, hogy xx xk 4211)( 1 += + . b) Oldja meg az f(g(x)) < g(f(x)) egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! c) Mekkora a h és az 4x (x R) függvények görbéi által közbezárt (korlátos) terület?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1556

A repülőgépek üzemanyag-fogyasztását számos tényező befolyásolja. Egy leegyszerűsí- tett matematikai modell szerint (a vizsgálatba bevont repülőgépek esetében) az egy óra repülés alatt felhasznált üzemanyag tömegét az )0009501800( 20 1 )( 2 += xxxf ösz- szefüggés adja meg. Ebben az összefüggésben x a repülési átlagsebesség km/h-ban (x > 0), f(x) pedig a felhasznált üzemanyag tömege kg-ban. a) A modell alapján hány km/h átlagsebesség esetén lesz minimális az egy óra repü- lés alatt felhasznált üzemanyag tömege? Mekkora ez a tömeg? Egy repülőgép Londonból New Yorkba repül. A repülési távolság 5580 km. b) Igazolja, hogy v km/h átlagsebesség esetén a repülőgép üzemanyag-felhasználása ezen a távolságon (a modell szerint) v v 000050265 200502279 + kg lesz! (v > 0) A vizsgálatba bevont, Londontól New Yorkig közlekedő repülőgépek v átlagsebességé- re teljesül, hogy 800 km/h v 1100 km/h. c) A megadott tartományban melyik átlagsebesség esetén a legnagyobb, és melyik esetén a legkisebb az egy útra jutó üzemanyag-felhasználás?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1558

Adott a valós számok halmazán értelmezett f és g függvény: 2)( 2 xxf és 2 1010)( xxxg . a) Oldja meg a valós számok halmazán az f(x) + g(x) 8 egyenlőtlenséget! b) Igazolja, hogy a [2 8] intervallumon az f és a g függvény is csak pozitív értékeket vesz fel! c) Határozza meg azt a t valós számot a [2 8] intervallumban, amelyre teljesül, hogy az f függvény görbéje alatti terület a [2 t] intervallumon megegyezik a g függvény görbéje alatti területtel a [t 8] intervallumon. (Egy [a b] intervallumon folytonos függvény görbéje alatti terület ezen az interval- lumon megegyezik az x tengely, az x = a, az x = b egyenletű egyenesek és a függ- vény grafikonja által meghatározott síkidom területével.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2609

Egy baktériumtenyészet szaporodását laboratóriumi körülmények között vizsgálják. Az első órában 4 mikrocellát fertőznek meg baktériumokkal. A második órában a baktériu- mok szaporodni kezdenek, így további 3 cella fertőződik meg. A megfigyelés szerint ez- után szabályszerűvé válik a baktériumok szaporodása: minden órában annyi új fertőzött cella keletkezik, ahány korábban összesen volt. (A harmadik órában 4 + 3 = 7 új fertőzött mikrocella keletkezik, a negyedik órában 14, és így tovább.) a) Ha a baktériumok szaporodásához továbbra is biztosítanák a megfelelő körülménye- ket, akkor az összes fertőzött mikrocella száma hányadik órában haladná meg a tíz- milliót? A biológiaórán egy kezdetben tízmilliós baktériumhalmaznak a környezethez való alkal- mazkodását modellezik a tanulók. Egy szabályos dobókockával dobnak, és ha a dobás eredménye 1, 2 vagy 3, akkor egymillió baktérium elpusztul. Ha a dobás eredménye 4 vagy 5, akkor nem történik semmi. Ha a dobás eredménye 6, akkor újabb egymillió baktérium keletkezik. A dobást többször egymás után megismétlik. b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy hét dobás után a baktériumok száma leg- feljebb ötmillió lesz!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4309

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket! a) lg x < 2 b) 2 54 xx c) 25,05,0 3 x

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4318

Adott a g függvény: 23 )( 23 xx xg (x R). a) Adjon meg egy olyan (nem nulla hosszúságú) intervallumot, amelyen a g mindegyik helyettesítési értéke negatív! b) Határozza meg a c lehetséges értékeit úgy, hogy c dxxg 0 0)( teljesüljön! c) Határozza meg az f :] - 4 -1[ R, 2012 23 )( 23 x xx xf függvény minimum- helyét és a minimális függvényértéket!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 6262

a) Határozza meg y x értékét, ha 10 9 24 32 yx yx (y 0, y -2x). b) Legyen 2 ( ) 11 30f x x x . Igazolja, hogy ha f (x) 0, akkor ( 1) 4 ( ) 6 f x x f x x . c) Oldja meg az 4 1 6 x x egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7699

Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenségeket! a) 5052 xx b) 1)81(log)(log 9 2 3 xx

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7746

a) Mely egész számokra teljesül a [0 2] intervallumban a 2 1 cos x egyenlőtlenség? b) Hány olyan egész szám van, amelyre teljesül a 201515202 xx egyenlőt- lenség? c) Adott a valós számok halmazán értelmezett 1 2 1 )( 4 x xf függvény. Hány rács- pontot tartalmaz az f függvény grafikonja és a koordinátatengelyek által az első sík- negyedben közbezárt síkidom? (A síkidom határolóvonalait is a síkidomhoz tarto- zónak tekintjük.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7748

Oldja meg az alábbi két egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! a) 1 cos 2 x b) 4 20 5 x < c) Hány olyan egész szám van, amelyik gyöke az alábbi egyenlőtlenségnek? 0,5log (2 100) 8

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8967

a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! 2 2 7 0, 25x x x = + b) Hány olyan egész szám van, amelyik megoldása az alábbi egyenlőtlenségnek? 2 2log ( 200) 20

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8997