a) Peti levelet írt négy barátjának, Andrásnak, Bélának, Csabának és Daninak, és mindenkinek 1-1 fényképet is akart küldeni a nyaralásról. A négy fénykép különböző volt, és Peti mindegyikük hátlapjára ráírta, kinek szánja. A fényképeket végül figyelmetlenül rakta borítékba, bár mindenki kapott a levelében egy fényképet is. a1) Hányféleképpen fordulhat elő, hogy csak Andris kapja azt a fényképet, amelyen a saját neve szerepel? a2) Melyik esemény bekövetkezésének nagyobb a valószínűsége: senki sem kapja azt a fényképet, amelyet Peti neki szánt vagy pontosan egyikük kap olyan fényképet, amelyen a saját neve szerepel? b) Egy szabályos érme egyik oldalán a 6-os, a másikon pedig a 4-es számjegy látható. Az érmét négyszer egymás után feldobjuk, és a dobott számokat összeadjuk. Milyen értékeket kaphatunk összeg gyanánt? Az egyes összegek dobásának mekkora a valószínűsége?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1287

Felmérések szerint az internetes kapcsolattal rendelkezők 17%-a vásárol az interneten, 33%-a tölt le szoftvert az internetről. A statisztika szerint az internetezők 14%-a mindkét szolgáltatást igénybe veszi. Mennyi a valószínűsége az alábbi eseményeknek? a) Egy véletlenszerűen kiválasztott internetes kapcsolattal rendelkező személy nem vásárol az interneten. b) Egy véletlenszerűen kiválasztott internetes kapcsolattal rendelkező személy vásárol az interneten, vagy szoftvert tölt le. (Megengedve, hogy esetleg mindkét szolgáltatást igénybe veszi.) c) Egy véletlenszerűen kiválasztott internetes kapcsolattal rendelkező személy nem vásárol az interneten és szoftvert sem tölt le az internetről. d) Három véletlenszerűen kiválasztott internetes kapcsolattal rendelkező személy közül egyik sem vásárol az interneten. (A kiválasztást visszatevéses módszerrel végzik el.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1298

a) Két szabályos dobókockát egyszerre feldobunk. Számítsa ki a következő két esemény valószínűségét: A: a dobott pontok összege prím B: a dobott pontok összege osztható 3-mal. b) Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből véletlenszerűen kiválasztunk három külön- bözőt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott számjegyek minde- gyikének egyszeri felhasználásával 4-gyel osztható háromjegyű számot tudunk képezni? c) Az ABCD négyzet csúcsai: ( )0 0A , 0 2 B , 2 2 C , 2 0 D . Véletlen- szerűen kiválasztjuk a négyzet egy belső pontját. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott pont a koordinátatengelyek és az ( ) xxff cos, 2 0: = R függvény grafikonja által határolt tartomány egyik pontja?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1360

Egy pár kesztyű árát először p százalékkal csökkentették, majd a csökkentett ár p + 4,5 százalékával tovább mérsékelték. A kétszeri árcsökkentés után a kesztyű 18,6%-kal olcsóbb lett, mint az árcsökkentések előtt volt. a) Határozza meg a két árcsökkentés százalékos értékét! Egy fiókban három pár kesztyű van összekeveredve: az egyik pár fekete, a másik szürke, a harmadik piros. (A három pár kesztyű csak a színében különböző.) A fiókból egyesével elkezdjük kihúzni a kesztyűket úgy, hogy húzás előtt nem nézzük meg a kesztyű színét, és a kihúzott kesztyűket nem tesszük vissza a fiókba. Addig foly- tatjuk a húzást, amíg lesz két azonos színű kesztyűnk. b) Határozza meg annak a hat eseménynek a valószínűségét, hogy ehhez 1, 2, 3, 4, 5, illetve 6 kesztyű kihúzására lesz szükség, majd számítsa ki a húzások számának vár- ható értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4311

A Téglácska csokiszelet gyártója akciót indít: ha a szerencsés vásárló a csokiszelet cso- magolásának belső oldalán a Nyert feliratot találja, akkor ezzel egy újabb szelet csokit nyert. A gyártó úgy reklámozza a termékét, hogy minden ötödik csoki nyer. (Ez úgy tekinthető, hogy minden egyes csoki 0,2 valószínűséggel nyer.) a) Juli öt szelet csokoládét vásárol. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az öt szelet csoki között legalább egy nyerő csoki lesz? Pali is öt szelet csokoládét vásárolt, és végül hét szelet csokival tért haza a boltból, mert nyert még kettőt. b) Vizsgálja meg, hogy az alábbi két esemény közül melyiknek nagyobb a valószínű- sége! I. Ha valaki megvásárol öt szelet csokit, akkor azok között két nyerő csoki lesz, de a két nyereménycsoki egyike sem nyer. II. Ha valaki megvásárol öt szelet csokit, akkor azok között egy nyerő csoki lesz, a nyereménycsoki nyer egy hetedik szelet csokit, de az már nem nyer. Egy másik akcióban a csokiszelet térfogatát 20%-kal megnövelték, de továbbra is válto- zatlan áron adták. A csokiszelet téglatest alakú, az eredeti és a megnövelt szelet (mate- matikai értelemben) hasonló. Az akciós szelet 1 cm-rel hosszabb az eredeti csokiszeletnél. c) Határozza meg az eredeti csokiszelet hosszúságát! Válaszát egész cm-re kerekítve adja meg!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 6265

A római katonák az úgynevezett taxillus-szal játszottak kockajá- tékot. (A taxillus a kecske vagy a juh térdkalácsából faragott csontocska ld. a képen.) Dobás után egy taxillus négy különböző oldalára eshetett. Jelölje ezt a négy különböző helyzetet A, B, C és D. Az egyes dobáski- menetelek nem voltak egyformán valószínűek: az A, illetve a B helyzet egyaránt 4 10 , a C, illetve a D helyzet pedig egyaránt 1 10 valószínűséggel következett be. A rómaiak általában négy taxillust dobtak fel egyszerre. A Venus-dobás volt az egyik legértékesebb, ekkor a négy csontocska mindegyike más-más oldalára esett.1 a) Mennyi a Venus-dobás valószínűsége? b) Az alábbi két esemény közül melyiknek nagyobb a valószínűsége? I. Négy feldobott taxillus között lesz olyan, amelyik C helyzetben érkezik le. II. Négy feldobott taxillus között pontosan egy érkezik le az A helyzetben. Thalész, a hét görög bölcs egyike, egy nevezetes, neki tu- lajdonított mérés során egy folyóban lévő sziget AB hosz- szát a folyóparton maradva határozta meg. Először felvett egy e egyenest a parton. Ezen az e egyene- sen megkereste azt a C, illetve D pontot, amelyekben a CA, illetve a DB irány merőleges az e egyenesre. Ezután a CD szakasz F felezőpontját is megjelölte egy jelzőkaróval. Ezt követően az AC egyenesen haladva megjelölte azt a G pon- tot, amelyre B, F és G egy egyenesre illeszkedik és hason- lóan az AF és BD egyenesek H metszéspontját is megje- lölte. Thalész azt állította, hogy a sziget hossza a GH távolsággal egyezik meg. c) Igazolja Thalész állításának helyességét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8927

Egy bűvész két egyforma dobótetraédert használ az egyik mutatványához. A dobótet- raéder alakja olyan szabályos háromoldalú gúla, amelynek alapéle 6 cm hosszú, az oldal- élei pedig 30°-os szöget zárnak be az alaplap síkjával. a) Határozza meg a tetraéder térfogatát! A tetraéderrel 1-est, 2-est, 3-ast vagy 4-est lehet dobni (a dobás eredményének az alsó lapon lévő számot tekintjük). Az 1-es, a 2-es, illetve a 3-as dobásának valószínűsége egyenlő. A 4-es dobásának valószínűsége ötször akkora, mint az 1-es dobásé. b) Ha a bűvész a két dobótetraédert egyszerre dobja fel, akkor mennyi annak a valószí- nűsége, hogy a dobott számok összege 6 lesz?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8939

Öt különböző számjegyet leírunk egy papírlapra. Két számjegyet pontosan akkor kötünk össze egy vonallal (éllel), ha a különbségük páros szám (de egyik számjegyet sem kötjük össze önmagával). Így egy ötpontú gráfot kapunk. a) Határozza meg az alábbi két állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja! I. Lehetséges, hogy fagráfot kapunk. II. Lehetséges, hogy nem összefüggő gráfot kapunk. Az Óceán Légitársaságnak a megalakulása óta alapelve, hogy a szigetvilágban működő hálózatának bármely két célállomása között működtet repülőjáratot. (Az ábra azt a több évvel ez- előtti időszakot szemlélteti, amikor még csak négy célállomás és hat repülőjárat volt.) A hálózatot folyamatosan bővítik: az utóbbi két év alatt a cél- állomások száma másfélszeresére nőtt, ugyanezen idő alatt a repülőjáratok száma pedig 60-nal lett több. b) Hány célállomásra közlekednek jelenleg? A légitársaság vezetőségi értekezletén megállapították, hogy az 1-es számú járatukon leg- feljebb 168 utasnak van hely, de minden alkalommal sokkal többen szeretnének jegyet váltani. Több év tapasztalatai szerint 0,032 annak a valószínűsége, hogy erre a járatra valaki megveszi a jegyet, de aztán valamilyen ok miatt mégsem jelenik meg a járat indu- lásánál. Emiatt a vezetőség úgy dönt, hogy erre a 168 fős járatra ezentúl 170 jegyet adnak el. Az érvényes szabályozás szerint a több jegy eladása miatt a járatról esetleg lemaradó utasoknak a légitársaság fejenként 600 euró kártérítést köteles fizetni. c) Ha a vezetőség megállapításai helyesek, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy az 1-es számú járat egy indulásánál legfeljebb 168 utas jelenik meg, és mennyi a társaság által fizetendő kártérítés várható értéke a járat egy útját tekintve?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8942

A szókereső mobiltelefonos játékban a megtalált szó hossza (vagyis a szót alkotó betűk száma) határozza meg a játékosnak adott pontszámot. Egybetűs szóért nem jár pont, két- betűs szóért 1 pont jár. Ha n 3, akkor az n betűből álló szó megtalálásáért 2 5 10 2 n n + pontot kap a játékos.1 a) Van-e olyan szó, amelyért 26 pontot kap a játékos? Válaszát indokolja! b) Igazolja, hogy a játékszabály szerint a hosszabb szóért több pont jár, és hogy csak egész pontszámot kaphat a játékos! c) Igazolja, hogy ha m tetszőleges természetes szám, akkor a játékos kaphat ( 1) 2 2 m m + + pontot! (A leírt játékszabály nem korlátozza a szavak hosszát, ezért feltehetjük, hogy tetszőleges hosszúságú szó létezik.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8943

Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk. Az első dobás eredményét egy számtani sorozat első tagjának, a második dobás eredményét a sorozat differenciájának tekintjük. a) Az így kapható sorozatok között hány olyan van, amelyben az első 10 tag összege kisebb 100-nál? (Két sorozatot különbözőnek tekintünk, ha az első tagjuk vagy a differenciájuk eltér egymástól.) Tekintsük az összes olyan négyjegyű pozitív egész számot, amelynek egyik számjegye sem 0. b) Hány olyan van ezek között, amelynek a négy számjegye (valamilyen sorrendben) egy számtani sorozat négy egymást követő tagja? Janka egy szabályos dobókockával négyszer dobott. Észrevette, hogy ha az ötödik dobá- sának értéke 3 lenne, akkor az öt dobás átlaga is 3 lenne. Ha az ötödik dobásának értéke 4 lenne, akkor az öt dobás mediánja is 4 lenne. Ha az ötödik dobásának értéke 5 lenne, akkor az öt dobás (egyetlen) módusza is 5 lenne. c) Mi lehetett Janka első négy dobása? (A dobások sorrendjétől eltekintünk.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8955

Egy dobozban 4 piros és 3 zöld golyó van. A dobozba beteszünk még s darab sárga golyót. A golyók közül visszatevéssel kihúzunk kettőt. a) Határozza meg s értékét, ha 0,09 annak a valószínűsége, hogy mindkét kihúzott go- lyó zöld! Egy dobozban 4 piros, 3 zöld és k darab kék golyó van (k 1). A golyók közül visszatevés nélkül kihúzunk hármat. b) Igazolja, hogy annak a valószínűsége, hogy három különböző színű golyót húzunk, 72 ( 7)( 6)( 5) k k k k+ + + . c) Határozza meg k értékét, ha annak a valószínűsége, hogy három különböző színű golyót húzunk, megegyezik annak a valószínűségével, hogy mindhárom kihúzott golyó kék!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8957

A p, q, r pozitív számok összege 180. Tudjuk továbbá, hogy p : q = 7 : 8 és r : p = 5 : 3. a) Határozza meg ezeket a számokat! A H halmaz az első 90 pozitív egész szám halmaza. H-ból véletlenszerűen kiválasztunk két különböző számot. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a két kiválasztott szám egy derékszögű háromszög (fokban mért) valamelyik két szöge!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8968

Egy kétszemélyes társasjátékot olyan négyzet alakú táblán játszanak, amelyet fehér és szürke mezőkre osztottak fel az ábra szerint. Ha a táblát egy olyan koordináta-rendszerbe helyez- zük, amelyben a négyzet csúcsainak koordinátái (1 1), (-1 1), (-1 -1), illetve (1 -1), akkor ebben a koordináta-rendszerben az a jelű ív egyenlete: 3 (1 )y x= , 0 x 1. A tábla középpontosan és ten- gelyesen is szimmetrikus. a) Írja fel a másik három (az ábrán b, c, illetve d jelű) ív egyenletét is! A társasjáték gyártója a 2 dm oldalú tábla fehér színű részének bevonásához egy speciális anyagot használ. Ebből 1 kg mennyiség 12 m2 terület bevonásához elegendő. b) Számítsa ki, hogy 4000 darab tábla elkészítéséhez hány kg speciális anyag szük- séges! A kétszemélyes társasjátékban minden játszma csak valamelyik játékos győzelmével vég- ződhet, döntetlen nincs. Minden játszmában 1 pontot kap a győztes, a vesztes pedig 0 pontot. Anna és Bori nagyon szereti ezt a társasjátékot, sok játszmát lejátszottak már. Ha egymás ellen játszanak, akkor Anna 0,4 valószínűséggel, Bori pedig 0,6 valószínűséggel nyer meg egy játszmát. Egyik alkalommal megállapodnak, hogy addig játszanak újabb játsz- mákat, amíg valamelyikük először éri el a 10 pontot (és így megnyeri a játékot). c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Bori legfeljebb 12 játszma után megnyeri a játékot? (Kezdéskor mindkettőjüknek 0 pontja van.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8973

a) Hány olyan 90-nél nem nagyobb pozitív egész szám van, amely a 2, a 3 és az 5 közül pontosan az egyikkel osztható? Az ötöslottó-játékban az első 90 pozitív egész számból kell öt különbözőt megjelölni. A sorsoláson öt (különböző) nyerőszámot húznak ki. (Sem a megjelölés, sem a kihúzás sorrendje nem számít.) Kati a 7, 9, 14, 64, 68 számokat jelölte meg. A sorsoláson az első három kihúzott nyerő- szám a 7, a 9 és a 14 volt. Kati úgy gondolja, hogy most nagy esélye van legalább négy találatot elérni. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a hátralevő két nyerőszám közül Kati legalább az egyiket eltalálja! Az egyik játékhéten összesen 3 222 831 lottószelvényt küldtek játékba a játékosok. Az alábbi táblázat mutatja a nyertes szelvények számát és nyereményét (2-nél kevesebb találattal nem lehet nyerni). Találatok száma Nyertes szelvények száma Nyeremény (Ft/nyertes szelvény) 5 0 0 4 17 3 113 255 3 1617 34 915 2 62 757 1970 c) Számítsa ki, hogy mennyi volt a játékosok egy lottószelvényre jutó átlagos veszte- sége ezen a héten, ha a játékba küldött szelvények egységára 250 Ft!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8986

Egy szabályos tízszög legrövidebb átlója 6 cm hosszú. a) Határozza meg a tízszög oldalának hosszát! Legyen G egy tízpontú egyszerű gráf, melynek összesen 6 éle van. b) Igaz-e, hogy G csúcsai közt biztosan van legalább két olyan, amelynek a fokszáma legalább 2? Válaszát indokolja! Egy n pontú teljes gráf egyik élét pirosra színeztük (n 3). Ezután a többi él közül vélet- lenszerűen kiválasztunk egyet. Legyen az A esemény az, hogy a kiválasztott élnek és a pirosra színezett élnek van közös csúcsa, a B esemény pedig az, hogy nincs közös csú- csuk. c) Ha az A és a B esemény egyenlő valószínűségű, akkor hány pontja van a gráfnak?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9001

Van néhány dobozunk és valahány érménk. Ha minden dobozba egy érmét teszünk, akkor m darab érme kimarad. Ha minden dobozba pontosan m db érmét akarunk tenni, akkor m dobozba nem jut érme (m 1). a) Hány érménk lehet, ha a dobozok száma 6? Egy dobozban több ezer érme van, amelyek 3%-a hibás. Az érmék közül véletlenszerűen kiválasztunk 80-at. (Az érmék nagy száma és az alacsony hibaszázalék miatt a kiválasztás visszatevéses mintavétellel is modellezhető.) b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy legfeljebb 2 hibás érme lesz a kiválasztott ér- mék között?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9788

Legyen az alaphalmaz a háromjegyű pozitív egész számok halmaza. Az A halmaz elemei azok a háromjegyű számok, amelyekben van 1-es, a B halmaz elemei azok, amelyekben van 2-es, a C halmaz elemei pedig azok, amelyekben van 3-as számjegy. a) Hány eleme van az A (B C) halmaznak? Egy szerepjátékhoz használt dobókocka három lapján 3-as, két lapján 2-es, egy lapján 1-es szám van. A feldobott kocka mindegyik lapjára egyforma valószínűséggel esik. b) Két ilyen dobókockával egyszerre dobva mennyi a valószínűsége annak, hogy a do- bott számok összege 4 lesz? Andi és Béla a következő játékot játsszák ezzel a dobókockával. Valamelyikük dob egyet a kockával. Ha a dobás eredménye 3, akkor Andi fizet Bélának n forintot (n > 80) ha a dobás eredménye 1, akkor Béla fizet (n - 80) forintot Andinak ha pedig a dobás eredmé- nye 2, akkor is Béla fizet Andinak 2(n - 80) forintot. c) Mennyit fizet Béla Andinak az 1-es dobása esetén, ha ez a játék igazságos, azaz mindkét játékos nyereményének várható értéke 0?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9793

Egy egyetemi előadáson 32-en ülnek a kisteremben. Ha négy lány távozna, akkor a jelen- lévők több mint 60%-a fiú lenne. Ha azonban a 32 főhöz további hat lány csatlakozna, akkor a jelenlévők több mint fele lenne lány. a) Hány fiú és hány lány lehet jelen az előadáson? Az egyetem több ezer hallgatójának 60%-a fiú, 40%-a lány. (Ezt tekinthetjük úgy, hogy 0,6 annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen választott hallgató fiú, és 0,4 annak a valószínűsége, hogy lány.) b) Ha az egyetem büféjében egy asztalhoz véletlenszerűen ül le négy hallgató, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy több fiú van közöttük, mint lány? Ha három lányhallgató találkozik véletlenszerűen, akkor 0,008 annak a valószínűsége, hogy mindegyikük rendszeresen sportol. c) A lányok hányadrésze sportol rendszeresen?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10145

a) Egy szabályos dobókockával hatszor dobtunk. A dobott számok egyetlen módusza, a mediánja és az átlaga - ebben a sorrendben - egy szigorúan monoton növekvő számtani sorozat három szomszédos tagja. Adjon meg egy megfelelő dobássorozatot, és igazolja, hogy a megadott dobássorozat a feltételeknek megfelel! Igaz-e, hogy a megadott hat szám szórása is tagja ugyanennek a számtani sorozatnak? b) Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a másodiknak dobott szám éppen a másik két dobott szám átlaga?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10148

a) Hány olyan pozitív háromjegyű szám van a tízes számrendszerben, amely a 8 és a 9 számok közül legalább az egyikkel osztható? b) A 8-as számrendszerben háromjegyű pozitív egész számok közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott szám a 9-es számrendszerben is háromjegyű?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10247

Egy biliárdgolyó készletben található 9 golyó tömegére a következő mérési eredményeket kapták (grammban): 163, 163, 163, 163, 163, 164, 165, 166, 166. Egy ilyen készletet akkor hitelesítenek a minőségellenőrzésen, ha az alábbi feltételek mindegyikének megfelel: minden golyó tömege legalább 160 gramm és legfeljebb 170 gramm a golyók tömegének terjedelme legfeljebb 3 gramm a golyók tömegének szórása legfeljebb 1 gramm. a) Hitelesíthető-e ez a készlet? Egy dobozban 3 piros és 7 kék golyó található. b) Kihúzunk a dobozból egymás után két golyót úgy, hogy az elsőként kihúzott golyót a húzás után nem tesszük vissza. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a kihúzott két golyó között lesz piros! c) Kihúzunk a 10 golyó közül egymás után három golyót úgy, hogy a kihúzott golyót a következő húzás előtt mindig visszatesszük. Legyen az A esemény az, hogy a kihúzott három golyó közül pontosan kettő piros, a B esemény pedig az, hogy a kihúzott golyók között van piros. Határozza meg a P(A | B) valószínűséget!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10263

a) Egy szabályos dobókockával 7-szer dobunk, és a dobott számokat összeadjuk. Hány olyan különböző dobássorozat van, amelyben a hét dobott szám összege 9? (A do- bott számok sorrendje is számít.) b) Egy szabályos dobókockával 8-szor dobtunk. Az első hét dobás 2, 1, 3, 5, 4, 3, 5 volt. Mi lehetett a nyolcadik dobás, ha tudjuk, hogy a nyolc dobás után a dobott számok átlaga nagyobb volt, mint a dobott számok mediánja? c) Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a második dobás nagyobb lesz, mint az első?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10275

Egy napelemes akkumulátortöltőket gyártó cég termékei közül 24 darabnak az élettarta- mát vizsgálták. A vizsgálat végeredményét (a 24 darabra vonatkozóan) az alábbi kördi- agram szemlélteti. a) Töltse ki az alábbi táblázatot, és határozza meg a 24 darab töltő élettartamának átla- gát és szórását! A részletesebb vizsgálatok szerint a cég által gyártott töltők 90 százaléka legalább 50 hó- nap élettartamú (ezt tekinthetjük úgy, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott töltő 0,9 va- lószínűséggel legalább 50 hónap élettartamú). b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy szakboltba kiszállított 20 darab töltő kö- zött legfeljebb kettő olyan található, amelynek az élettartama 50 hónapnál keve- sebb? Ismert az is, hogy 0,75 annak a valószínűsége, hogy öt darab véletlenszerűen kiválasztott töltő mindegyikének élettartama 55 hónapnál kevesebb. c) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy darab véletlenszerűen kiválasztott töltő élettartama legalább 55 hónap?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10458

Egy jótékonysági rendezvényen sorsjegyeket árulnak. 5 kék és 3 zöld sorsjegy 6700 Ft-ba, 3 kék és 2 zöld sorsjegy 4200 Ft-ba kerül. a) Mennyibe kerül külön-külön egy kék, illetve egy zöld sorsjegy? A sorsjegyek 40%-a kék, 60%-a zöld. A különböző színű sorsjegyekhez tartozó nyere- mények arányát mutatja a táblázat (például az összes kék sorsjegynek a 35%-a tárgynye- reményt nyer). Véletlenszerűen kiválasztunk egy sorsjegyet. Legyen az A esemény az, hogy ez a sorsjegy tárgynyereményt nyer, a B esemény pedig az, hogy ez a sorsjegy kék. b) Igazolja, hogy P(A) = 0,38. Számítsa ki a P(B | A) feltételes valószínűséget! Függetlenek-e az A és B események? c) Határozza meg az egy kék sorsjegyre eső nyeremény várható értékét, ha a tárgynye- reményt 500 Ft-os értéken vesszük figyelembe!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10464

Egy nyári fesztiválon a résztvevők a Szerencsekerekek nevű játékkal tehetik próbára a szerencséjüket. Egy játék során a játékosnak két kereket kell külön-külön megforgatnia. A kerekek a forgatás után véletlenszerűen állnak meg valamelyik számnál. (Az azonos keréken lévő körcikkek középponti szöge egyenlő, a kilenc körcikk mindegyikén van egy-egy szám, a 100, a 200 vagy a 800.) A forgatás előtt egy játékért 200 forintot kell fizetni. Ha a forgatás után a két kerék ugyanannál a számnál áll meg, akkor any- nyi forintot kap nyereményként a játékos, amennyi a két szám összege. (Ha például az ábrán látható módon mind- két kerék a 200-as feliratnál áll meg, akkor 200 + 200 = 400 forintot kap a játékos.) Ha a két kerék két különböző számnál áll meg, akkor a játékos nem kap pénzt. a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy 10 játék során az 1. kerék pontosan négyszer áll meg 100-as számnál? Egy játékot játszva a két kerékkel, a nyereménynek és a játék árának különbsége a játékos nyeresége. b) Egy játékot játszva mennyi a nyereség várható értéke? Ha a két keréken forgatott számok összege 1000, ezt bingó-nak nevezik. Ha bingót ér el egy játékos, akkor választhat egy zeneszámot a fesztiválsátorban. c) Igazolja, hogy a bingó forgatásának valószínűsége 0,2. d) Hányszor kell játszani ahhoz, hogy legalább 95% legyen annak a valószínűsége, hogy egy játékos legalább egyszer bingót forgasson?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10838

Egy számítógépes játékban egy kör alakú tartomány az ábra szerint három résztartományra van felosztva (A, B, C). Bármely két tartomány között egy átjáró van (az ábrán szaggatott vonallal jelölve). A tartományok közötti átjárók mindegyike a többitől függetlenül p valószínűséggel van nyitva (0 < p < 1). Egyik tartományból a másikba csak nyitott átjárón (vagy átjárókon) keresztül lehet eljutni. Legyen az E0 esemény az, hogy az A tartományból nem lehet másik tartományba eljutni. a) Mutassa meg, hogy az E0 esemény valószínűsége 1 2   p p2. b) Hogyan kell megválasztani a p értékét úgy, hogy az E0 esemény valószínűsége legfeljebb 0,01 legyen? Legyen az E1 esemény az, hogy az A tartományból pontosan egy másik tartományba lehet eljutni, az E2 esemény pedig az, hogy az A tartományból mindkét másik tartományba el lehet jutni (nem feltétlenül közvetlenül). c) Igazolja, hogy az E1 esemény valószínűsége 2 4 2 p p p   2 3, az E2 esemény való- színűsége pedig 3 2 p p 2 3 . d) Határozza meg a p valószínűség értékét úgy, hogy az E1 esemény valószínűsége a lehető legnagyobb legyen, majd számítsa ki ekkor az E1 esemény valószínűségét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10902

A kockapóker játékot öt szabályos dobókockával játsszák. A játék célja, hogy a játékosok bizonyos számkombinációkat dobjanak ki a kockákkal. Részletek a játékszabályból:  A dobójátékos először mind az öt kockával dob.  Ha nem elégedett az első dobás eredményével, akkor ezután felvehet tetszőleges számú kockát a lent lévő öt kockából, és azokkal másodszor is dobhat. A Sor számkombináció esetén az öt kockán öt különböző, egymást követő szám szerepel. A Royal számkombináció esetén mind az öt kockán ugyanaz a szám szerepel. A Full House számkombináció esetén az öt kocka közül három kockán ugyanaz a szám szerepel, a maradék két kockán pedig szintén azonos, de az előzőtől eltérő szám szerepel (pl. 1-1-1-4-4). a) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy játékos első dobása Sor lesz! Egy játékos az első dobásával a 3-3-3-4-5 számokat dobta. A 3-asokat lent hagyja, a má- sik két kockával pedig másodszor is dob. b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a játékos második dobása után kapott számkombináció Full House vagy Royal lesz! Egy „cinkelt” (nem szabályos) dobókockával a 6-os dobás valószínűsége p. Ezzel a kockával kétszer dobunk egymás után. Tudjuk, hogy 0,64 annak a valószínűsége, hogy a két dobásból legalább az egyik 6-os. c) Számítsa ki p értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10912

Endre, Frici és Gyuri sportlövők. A lőtéren hat lőállás van egymás mellett, 1-től 6-ig megszámozva. Egyik nap az edzőjük véletlenszerűen osztja be őket egy-egy különböző lőállásba. a) Melyik esemény a valószínűbb: az, hogy három egymás melletti lőállásba kerülnek, vagy az, hogy közülük semelyik kettő nem kerül szomszédos lőállásba? Egy sportlövőversenyen minden lövéssel 5, 4, 3, 2, 1 vagy 0 pontot lehet szerezni. A győzelemhez Endrének az utolsó öt lövéssel összesen legalább 22 pontot kell elérnie. b) Hányféleképpen lehet öt lövéssel legalább 22 pontot elérni? (Két ötlövéses sorozatot azonosnak tekintünk, ha legfeljebb a szerzett pontszámok sorrendjében térnek el egymástól.) Ugyanezen a versenyen Gyuri utolsó tíz lövése között nem volt 0 pontos. A tíz lövés pontszámának terjedelme, mediánja és átlaga is 3, egyetlen módusza pedig a 2 volt. c) Határozza meg monoton növekvő sorrendben Gyuri utolsó tíz lövésének pontérté- két! (Megoldása során indokolja, hogy a tíz lövés pontértéke – sorrendjüktől eltekintve – egyértelmű.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10931

Egy szabályos dobókockával hatszor dobtunk. A dobott számok monoton növekvő sorrendben: 1, 2, 2, 3, 3, 3. a) Határozza meg a dobott számok átlagát és szórását! b) Hány olyan különböző dobássorozat van, amely egy darab 1-esből, két darab 2-esből és három darab 3-asból áll? Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk. c) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a két dobott szám szorzata 2-vel osztható lesz, de 4-gyel nem! Egy kék és egy zöld dobókockával dobunk, a dobás kimenetele egy számpár. Jelölje (k, z) a dobásnak azt a kimenetelét, amikor a kék kockával dobott szám k, a zöld kockával dobott szám pedig z. Legyen a H alaphalmaz a dobás kimeneteleként megkapható összes lehetséges (k, z) számpár halmaza. Az A, B és C részhalmazokat a következő- képpen definiáljuk: A  {(k, z)│a k + z összeg prím} B  {(k, z)│a k ꞏ z szorzat prím} C  {(k, z)│k  z} d) Satírozással jelölje a Venn-diagramon a H-nak azt a részhalmazát, amelyik üres halmaz! A Venn-diagram minden egyes további tartományába írjon egy-egy megfelelő számpárt! Válaszát itt nem kell indokolnia.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10944

Alízék osztálytermében az egyik fal mellett három sorban 12-12, összesen 36 szekrény található a diákok számára, 1-től 36-ig megszámozva. Az osztályba 33-an járnak. Tanév elején minden diák – sorsolás útján – egy-egy szekrényt kap. Három szekrény így a sorsolás után üresen marad. a) Legyen az A esemény az, hogy a három üresen maradó szekrény egy sorban található, a B esemény pedig az, hogy a három üresen maradó szekrény három különböző sorban található. Melyik eseménynek nagyobb a valószínűsége? A szekrények téglatest alakúak. Egy-egy szekrény belseje 20 cm széles, 35 cm magas és 30 cm mély. b) Határozza meg a leghosszabb egyenes pálca hosszát, ami elhelyezhető a szekrényben! (A pálca vastagságától eltekinthetünk.) Alíz, Boglárka, Csenge és Dorka szekrénykulcsai összekeveredtek, és a négy lány véletlenszerűen osztja el egymás közt a négy kulcsot. c) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy legalább két lány a saját kulcsát kapja vissza!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10946

Legyen G egy ötpontú fagráf. a) Lehetséges-e, hogy ekkor G komplementere is fagráf? Egy hatpontú teljes gráf pontjait megszámozzuk 1-től 6-ig. A gráf éleit ezután zöldre vagy pirosra színezzük a következő szabály szerint: két pontot összekötő él zöld lesz, ha a két ponthoz írt számok közül az egyik osztója a másiknak, egyébként pedig piros. A gráf pontjai közül véletlenszerűen kiválasztunk hármat. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a kiválasztott három pontot összekötő három él azonos színű! Egy dobozban 3 zöld és 3 piros golyó van. A dobozból csukott szemmel, visszatevés nélkül addig húzunk egymás után golyókat, amíg vagy a zöld vagy a piros golyók közül kihúzzuk mind a hármat. c) Határozza meg a szükséges húzások számának várható értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11498

a) Melyik az a legnagyobb természetes szám, amelyre az alábbi négy tulajdonságból pontosan három teljesül? (1) Húszjegyű. (2) 20-szal osztható. (3) Számjegyeinek összege 20. (4) Számjegyeinek szorzata 20. Legyen a H alaphalmaz a húszjegyű pozitív egész számok halmaza, az A halmaz pedig a 7-es számjegyet tartalmazó húszjegyű pozitív egész számok halmaza. b) Melyik a nagyobb: A vagy A ? Az n jegyű pozitív egészek közül egyet véletlenszerűen kiválasztva 0,99-nél nagyobb annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám tartalmaz 7-es számjegyet. c) Határozza meg n lehetséges értékeit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11499

Anna és Balázs felváltva dobnak egy szabályos dobókockával. A játékot Anna kezdi. Az nyer, aki először dob hatost. (Az első hatosdobás után a játéknak vége van.) a) Igazolja, hogy 5 36 annak a valószínűsége, hogy Balázs az első dobásával megnyeri a játékot! b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy Anna az első három dobásának valamelyikével megnyeri a játékot! c) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy Anna nyeri a játékot! Egy kísérletben feldobnak két szabályos dobókockát. A kísérlet kimenetele a két dobott érték közül a nem nagyobb. d) Határozza meg a kísérlet kimenetelének várható értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11527

Egy dobókockával hatszor dobtunk, a dobások értéke 4, 5, 4, 3, 1, 4. a) Határozza meg a hat dobás értékének az átlagát és a szórását! Egy szabályos dobókockával négyszer dobunk, és a négy dobás eredményét egymás mellé írva négyjegyű számokat képezünk. b) Az összes így megkapható négyjegyű szám hány százalékában van legalább két egyforma számjegy? Egy szabályos dobókockával többször dobunk. c) Határozza meg azt a legkisebb n egész számot, amelyre igaz, hogy n dobás között biztosan lesz legalább 3 egyforma értékű! Válaszát itt nem kell indokolnia. Egy szabályos dobókockával addig dobunk, amíg a dobások közt lesz 2 egyforma értékű. d) Határozza meg a szükséges dobások számának várható értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11552