a) Döntse el, hogy az alábbi négy állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Válaszát írja a táblázatba! A: Egy 6 pontot tartalmazó teljes gráfnak 15 éle van. B: Ha egy teljes gráfnak páros számú éle van, akkor a pontok száma is páros. C: Ha egy 51 pontú gráfban nincs kör, akkor legfeljebb 50 éle lehet. D: Nincs olyan 6 pontú gráf, amelyben a fokszámok összege 11. A B C D b) Ha valaki sohasem hallott a gráfokról, és mégis kitölti a fenti táblázatot, akkor mekkora valószínűséggel lesz helyes mind a négy válasza? c) Tagadja az alábbi mondatot: Nincs olyan szerelem, aki el nem múlik. (Népdalgyűjtés) d) Fogalmazzon meg egy olyan szöveges feladatot, amelynek a megoldása így számítható ki: 2 17 .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1116

A PQRS négyszög csúcsai: P(3 -1), Q(1 3), R(-6 2) és S(-5 -5). Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen jelet a táblázat megfelelő mezőibe! Válaszait indokolja, támassza alá számításokkal! a) A állítás: A PQRS négyszögnek nincs derékszöge. b) B állítás: A PQRS négyszög húrnégyszög. c) C állítás: A PQRS négyszögnek nincs szimmetriacentruma.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1145

Egy húrnégyszög három szögéről tudjuk, hogy mértékük aránya 7 : 6 : 8. a) Mekkorák a húrnégyszög szögei? Matematika órán, miután minden diák megoldotta a feladatot, három tanuló a következőket állította: Zsófi: A húrnégyszög minden szöge egész szám. Peti: A húrnégyszögnek van derékszöge. Kata: A húrnégyszög egyik szöge 110°-nál is nagyobb. b) A három tanuló állítása közül melyik igaz a feltételnek megfelelő húrnégyszögre?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1181

a) Határozza meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a 962 + xx kifejezés értelmezhető! b) Ábrázolja a [-5 8] intervallumon értelmezett f : 962 + xxx a függvényt! c) Melyik állítás igaz és melyik hamis a fenti f függvényre vonatkozóan? Válaszát írja a sor végén levő téglalapba! (Az indoklást nem kell leírnia.) A: Az f értékkészlete: [0 5]. B: Az f függvény minimumát az x = -3 helyen veszi fel. C: Az f függvény szigorúan monoton nő a [4 8] intervallumon. d) Határozza meg az ( ) + 3 3 2 96 dxxx értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1194

Az f függvényt a [0 5] intervallumon értelmezzük: f(x) = 3cos x cos (x). a) Döntse el az alábbi állításokról, hogy igazak-e? A válaszait indokolja! Az f függvény korlátos. Az f függvény minimumhelye és legnagyobb értéke is irracionális szám. b) Mekkora területű síkidomot határol az x tengely [0 5] intervalluma az y tengely [0 f(0)] intervalluma az x = 5 egyenes [0 f(5)] intervalluma és az f függvény görbéje?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1212

Egy egyetem három karán összesen 10500 hallgató tanul. Diákrektort választanak. A jelöltek: Alkimista, Bagoly és Flótás. A választáson a hallgatók 76%-a vett részt. A szavazatok 90%-ának összesítése után a következő eredményekről tudósított a kollégium rádiósa: Alkimista szavazatainak száma 2014, Bagolyé 2229 és Flótásé 2805. a) Az eddig feldolgozott szavazatoknak hány százaléka volt érvénytelen? (A választ egy tizedesjegy pontossággal adja meg!) b) Vázolja kördiagrammon az eddig feldolgozott szavazatok százalékos megoszlását! Tüntesse fel az egyes tartományokhoz tartozó középponti szögek nagyságát fokban mérve! (A megfelelő százalékokat és szögeket egész pontossággal adja meg!) c) Megnyerheti-e Alkimista a választást? (A választást az nyeri, aki a legtöbb szavazatot kapja.) d) 95%-os feldolgozottságnál legalább hány százalékkal vezessen Flótás az utána következő jelölt előtt, hogy már matematikailag is biztos lehessen a győzelemben? (A megfelelő legkisebb százalékot egy tizedesjegy pontossággal adja meg!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1238

András és Béla egy magaslati edzőtáborban minden reggel 10 km-t fut: 5 km-t hegynek felfelé a hegycsúcsig, majd megállás nélkül 5 km-t ugyanazon az úton vissza a táborig. Egyik nap András reggel 10 perccel hamarabb indult Bélánál, és felfelé 15 km/h, lefelé 20 km/h sebességgel futott. Béla sebessége ezen a reggelen felfelé 16 km/h, lefelé 22 km/h volt. a) Futás közben a hegycsúcstól milyen távol találkoztak egymással ezen a reggelen? Az edzőtáborba összesen 10 lány és 9 fiú érkezett meg. Az első foglalkozáson az edző mindenkit megkérdezett, hogy hány társát ismerte korábbról a csoportból. (Az ismeretség kölcsönös.) Tudjuk, hogy korábbról mindegyik fiú pontosan ugyanannyi lányt ismert, viszont a lányok mindannyian különböző számú fiút ismertek. b) Lehet-e, hogy minden fiú 6 lány ismert korábbról a tábor kezdetekor?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1239

Megrajzoltuk az ABCDE szabályos ötszöget, és berajzoltuk minden átlóját. Az átlók metszéspontjait az ábra szerint betűztük meg: P, Q, R, S, T. a) Hány olyan háromszög látható az ábrán, amelynek mindhárom csúcsa a megjelölt 10 pont közül való, és mindhárom oldalegyenese az ABCDE ötszög oldalegyenesei és átlóegyenesei közül kerül ki? Hány lényegesen különböző háromszög van ezek között, ha az egymáshoz hasonló háromszögeket nem tekintjük lényegesen különbözőknek? b) Tudjuk, hogy az ABCQ négyszög területe 120 2 cm . Mekkora az ABCDE ötszög területe? Válaszát egész értékre kerekítve adja meg! c) Tekintsük azt a tíz csúcsú gráfot, amelyet a megadott ábra szemléltet. Erről a gráfról fogalmaztunk meg két állítást. Állapítsa meg mindkét állításról, hogy igaz vagy hamis! Adjon rövid magyarázatot válaszára! 1. állítás: Ennek a gráfnak 20 éle van. 2. állítás: Ebben a gráfban van olyan részgráf, amely nyolc élű kör.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1315

a) A következő két állításról döntse el, hogy igaz vagy hamis. Válaszait indokolja! (1) Van olyan ötpontú egyszerű gráf, amelynek 11 éle van. (2) Ha egy ötpontú egyszerű gráf minden csúcsa legalább harmadfokú, akkor biztosan van negyedfokú csúcsa is. b) Az A, B, C, D és E pontok egy ötpontú teljes gráf csúcsai. A gráf élei közül véletlenszerűen beszínezünk hatot. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az A, B, C, D, E pontokból és a színezett élekből álló gráf nem lesz összefüggő?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1408

Tekintsük a következő, egyszerű gráfokra vonatkozó állítást: Ha a gráf minden pontjának fokszáma legalább 2, akkor a gráf biztosan összefüggő. a) Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás! Válaszát indokolja! b) Fogalmazza meg az állítás megfordítását! Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állí- tás megfordítása! Válaszát indokolja! Tekintsük a következő halmazokat: P = {összefüggő gráfok}, Q = {egyszerű gráfok}, R = {kört tartalmazó gráfok}. c) Helyezze el az alábbi gráfok ábrájának sorszámát a fenti halmazábrában a megfele- lő helyre! 1. ábra 2. ábra 3. ábra 4. ábra d) Rajzoljon egy 6 pontú fagráfot az 5. ábrára, és helyezze el ennek a sorszámát is a fenti halmazábrában a megfelelő helyre!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1417

Egy mobiltelefon-szolgáltató társaság több évi statisztikája azt mutatja, hogy a szabá- lyosan elküldött SMS-ek (szöveges telefonüzenetek) közül átlagosan minden hatvanadik nem jut el a címzettjéhez. A következőkben ezen szolgáltató által továbbított SMS-ekről lesz szó. a) Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, illetve melyik hamis! Tegyen a megfelelő mezőbe egy ×-et! ( A válaszokhoz indoklás nem kell.) Állítás IGAZ HAMIS 1. Ha egy hónap alatt 45 SMS-t küldünk, akkor biztos, hogy mindegyik megérkezik a címzettjéhez. 2. Ha minden SMS-t kétszer küldünk el, akkor legalább az egyik üzenet biztosan megérkezik mindegyik párból. 3. Lehetséges, hogy a tegnap elküldött 5 SMS-ből csak egy jutott el a címzetthez. 4. Ha tíz nap alatt 120 SMS-t küldünk, akkor lehet, hogy mindegyik megérkezik a címzettjéhez. 5. Ha két nap alatt 180 SMS-t küldtünk, akkor közülük három biztosan nem érkezett meg. A továbbiakban feltételezzük, hogy a sikeresen elküldött SMS-ek száma binomiális eloszlást követ. b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy három elküldött SMS-ből pontosan egy nem érkezik meg? Ha számításaihoz kerekített értékeket használ, akkor 4 tizedes jegyre kerekített alakjukkal számoljon! c) Legalább hány SMS elküldése esetén mondhatjuk, hogy legalább 98% a valószínűsége annak, hogy közülük legalább egy nem érkezett meg? Ha számításaihoz kerekített értékeket használ, akkor 4 tizedes jegyre kerekített alakjukkal számoljon!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1436

a) Határozza meg az alábbi kijelentések logikai értékét (igaz-hamis)! Válaszait indokolja! I. Van olyan hatpontú fagráf, amelynek minden csúcsa páratlan fokszámú. II. Ha egy hétpontú egyszerű gráfnak 15 éle van, akkor a gráf összefüggő. III. Van olyan fagráf, amelyben a csúcsok számának és az élek számának összege páros. Egy hatfős társaság tagjai A, B, C, D, E és F. Mindenkit megkérdeztünk, hogy hány is- merőse van a többiek között (az ismeretség kölcsönös). A válaszként kapott hat termé- szetes szám szorzata 180. Az is kiderült, hogy A-nak legalább annyi ismerőse van, mint B-nek, B-nek legalább annyi ismerőse van, mint C-nek, és így tovább, E-nek legalább annyi ismerőse van, mint F-nek. b) Szemléltesse egy-egy gráffal a lehetséges ismeretségi rendszereket!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1497

a) Igazolja a következő állítást: ha egy négyszög szögei valamilyen sorrendben egy számtani sorozat egymást követő tagjai, akkor a négyszög húrnégyszög vagy trapéz! b) Fogalmazza meg az előző állítás megfordítását, és döntse el a megfordított állítás- ról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! Egy geometriai építőkészletben csak olyan pálcikák vannak, amelyek hossza centimé- terben mérve egész szám, és mindenféle lehetséges hosszúság előfordul 1 cm-től 12 cm-ig. (Mindegyik fajta pálcikából elegendően sok van a készletben.) c) Hány különböző módon választhatunk ki 4 pálcikát a készletből úgy, hogy belőlük egy 24 cm kerületű érintőnégyszöget lehessen építeni? (Két kiválasztást különbözőnek tekintünk, ha az egyik kiválasztás 4 pálcikája nem állítható párba a másik kiválasztás 4 pálcikájával úgy, hogy mind a 4 párban egyenlő hosszú legyen a két pálcika. Tudjuk továbbá, hogy ha a, b, c, d pozitív számok, és a + c = b + d, akkor az a, b, c, d hosszúságú szakaszokból szerkeszthe- tő négyszög.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1512

A H halmaz a nyolcpontú egyszerű gráfok halmaza. A következő állítás a H elemeire vonatkozik: Ha egy (nyolcpontú egyszerű) gráf minden pontjának fokszáma legalább 3, akkor a gráf összefüggő. a) Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! b) Fogalmazza meg az állítás megfordítását a H elemeire vonatkozóan, és döntse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! Az ABCDE konvex ötszög csúcsait piros, kék vagy zöld színűre színezzük úgy, hogy bármely két szomszédos csúcsa különböző színű legyen. c) Hány különböző színezés lehetséges? (Az ötszög csúcsait megkülönböztetjük egymástól.) Egy négypontú teljes gráf élei közül véletlenszerűen kiválasztott négy élt kiszínezünk zöldre. (Teljes gráf: olyan egyszerű gráf, melynek bármely két pontja között van él.) d) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a zöldre színezett élek a gráf egy négypontú körének élei!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1540

a) Egy számtani sorozat differenciája 1,6. A sorozat első, harmadik és hetedik tagját (az adott sorrendben) tekinthetjük egy mértani sorozat első három tagjának is. Ha- tározza meg ezt a három számot! Tekintsük a következő állítást: Ha az {an} számsorozat konvergens, akkor az {a n} sorozat értékkészlete véges szám- halmaz. (Véges halmaz: elemeinek száma megadható egy természetes számmal.) b) Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását, és döntse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1552

Legyen az x pozitív valós szám. a) Határozza meg x értékét úgy, hogy a 27 és az x számtani közepe 6-tal nagyobb le- gyen, mint a mértani közepük! b) Döntse el, hogy igaz vagy hamis az alábbi állítás! Válaszát indokolja! Ha x > 27, akkor a 27-nek és az x-nek a mértani közepe kisebb a két szám számtani közepénél. c) Fogalmazza meg az előbbi állítás megfordítását, és határozza meg a megfordított állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2603

a) Az ABCD négyzet körülírt körén felvettünk egy olyan P pontot, amelyik nem csúcsa a négyzetnek. Bizonyítsa be, hogy 2222 DPBPCPAP . Egy cég az általa forgalmazott poharakat négyesével cso- magolja úgy, hogy a poharakhoz még egy tálcát is ad aján- dékba. A 20 cm (belső) átmérőjű, felül nyitott forgáshen- ger alakú tálcára négy egyforma (szintén forgáshenger alakú) poharat tesznek úgy, hogy azok szorosan illeszked- nek egymáshoz és a tálca oldalfalához is. b) Igazolja, hogy a poharak alapkörének sugara nagyobb 4,1 cm-nél! A pohár fala 2,5 mm vastag, belső magassága 11 cm. c) Igaz-e, hogy a pohárba belefér 5 dl üdítő?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4305

a) Az A és C kijelentések logikai értéke igaz, a B kijelentés logikai értéke hamis. Határozza meg az alábbi állítások logikai értékét! (Válaszait itt nem szükséges indokolnia.) (1) A B (2) (A B) C (3) B A (4) A B (5) A (B C) A H halmaz a tízpontú egyszerű gráfok halmaza. A következő állítás a H elemeire vonat- kozik: Ha egy (tízpontú egyszerű) gráfnak legfeljebb 8 éle van, akkor nem tartalmaz kört. b) Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását a H elemeire vonatkozóan, és döntse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! Egy tízpontú teljes gráf élei közül véletlenszerűen kiválasztunk három különbözőt. (Teljes gráf: olyan egyszerű gráf, melynek bármely két pontja között van él.) d) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a három kiválasztott él a gráfnak egy körét alkotja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4323

a) Az A, B és C nemüres halmazokról tudjuk a következőket: az A minden eleme a B-nek is eleme, továbbá C-nek van olyan eleme, amelyik A-nak is eleme. Az alábbi öt állítás mindegyikéről döntse el, hogy igaz vagy hamis! (Válaszait nem kell indokolnia.) (1) Van olyan eleme A-nak, amelyik C-nek is eleme. (2) Nincs olyan eleme C-nek, amelyik B-nek is eleme. (3) Ha valami eleme B-nek, akkor eleme A-nak is. (4) Ha valami nem eleme B-nek, akkor az eleme C-nek. (5) Ha valami nem eleme B-nek, akkor az nem eleme A-nak sem. Egy 34 fős osztály matematikatanára az egyik óra elején egy rövid, öt kijelentést tartal- mazó tesztet írat. A tanulóknak meg kell határozniuk a kijelentések logikai értékét (igaz vagy hamis). A feladatok sorszámuk szerint fokozatosan nehezedők, ennek megfelelő a pontozás is: az n-edik feladat esetén a helyes válasz n pontot ér, a hibás válaszért pedig n pont levonás jár (n {1 2 3 4 5}). Tudjuk, hogy mind a 34 tanuló mind az öt teszt- kérdésre válaszolt. b) Bizonyítsa be, hogy van két olyan tanuló, aki ugyanúgy töltötte ki a tesztlapot! c) Mutassa meg, hogy a teszttel elért összpontszám csak páratlan egész szám lehet! Jól sikerült tesztet írt Adél, Béla és Csilla, az osztály három tanulója. Tesztjeikkel össze- sen 39 pontot értek el. d) Hányféleképpen lehet három, 15-nél nem nagyobb páratlan egész szám összegeként a 39-et felírni, ha az összeadandók sorrendjét is figyelembe vesszük?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7749

a) Határozza meg az alábbi két állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszait in- dokolja! I. Ha egy trapéznak 2-2 szöge egyenlő, akkor a trapéz húrtrapéz. II. Ha egy háromszögben a b, akkor sin 3 sin 3. (A háromszög oldalai a, b és c, a velük szemközti szögek rendre , és .) b) Fogalmazza meg a II. állítás megfordítását, és a megfordított állításról is döntse el, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! Egy matematika-vizsgafeladatban három állítás logikai értékét kell meghatározni (igaz vagy hamis). Három helyes válasz esetén 2, két helyes válasz esetén 1, kettőnél kevesebb helyes válasz esetén 0 pontot kap a vizsgázó. Béla tanult egy keveset, de bizonytalan a tudása: mindegyik kérdésnél 0,6 valószínűséggel találja el a helyes választ. c) Számítsa ki annak a négy eseménynek a valószínűségét, hogy Béla sikeres tippjei- nek száma 3, 2, 1, illetve 0, és határozza meg Béla pontszámának várható értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8926

Öt különböző számjegyet leírunk egy papírlapra. Két számjegyet pontosan akkor kötünk össze egy vonallal (éllel), ha a különbségük páros szám (de egyik számjegyet sem kötjük össze önmagával). Így egy ötpontú gráfot kapunk. a) Határozza meg az alábbi két állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja! I. Lehetséges, hogy fagráfot kapunk. II. Lehetséges, hogy nem összefüggő gráfot kapunk. Az Óceán Légitársaságnak a megalakulása óta alapelve, hogy a szigetvilágban működő hálózatának bármely két célállomása között működtet repülőjáratot. (Az ábra azt a több évvel ez- előtti időszakot szemlélteti, amikor még csak négy célállomás és hat repülőjárat volt.) A hálózatot folyamatosan bővítik: az utóbbi két év alatt a cél- állomások száma másfélszeresére nőtt, ugyanezen idő alatt a repülőjáratok száma pedig 60-nal lett több. b) Hány célállomásra közlekednek jelenleg? A légitársaság vezetőségi értekezletén megállapították, hogy az 1-es számú járatukon leg- feljebb 168 utasnak van hely, de minden alkalommal sokkal többen szeretnének jegyet váltani. Több év tapasztalatai szerint 0,032 annak a valószínűsége, hogy erre a járatra valaki megveszi a jegyet, de aztán valamilyen ok miatt mégsem jelenik meg a járat indu- lásánál. Emiatt a vezetőség úgy dönt, hogy erre a 168 fős járatra ezentúl 170 jegyet adnak el. Az érvényes szabályozás szerint a több jegy eladása miatt a járatról esetleg lemaradó utasoknak a légitársaság fejenként 600 euró kártérítést köteles fizetni. c) Ha a vezetőség megállapításai helyesek, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy az 1-es számú járat egy indulásánál legfeljebb 168 utas jelenik meg, és mennyi a társaság által fizetendő kártérítés várható értéke a járat egy útját tekintve?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8942

Az ábrán az ]x1 x2 [ nyílt intervallumon értelmezett f függvény grafikonja, valamint az f első derivált- függvényének és az f második deriváltfüggvényé- nek grafikonja látható. A három függvény grafi- konját valamilyen sorrendben az a, b, c betűkkel jelöltük. Az alábbi táblázat A jelű állítása szerint az ábrán a jelöli az f függvényt, b jelöli az f első derivált- függvényét ( f ), és c jelöli az f második derivált- függvényét ( f ). Ehhez hasonlóan felsoroltuk az összes többi lehet- séges megfeleltetést is. a) Állapítsa meg a B, C, D, E, F állítások logikai értékét! Válaszait itt nem kell indokolnia. (Az A állítás hamis, ezt már megadtuk.) f f f az állítás igaz/hamis A a b c hamis B a c b C b a c D b c a E c a b F c b a b) A függvény és deriváltfüggvényei közötti kapcsolatokra alapozva indokolja meg, miért hamis az A állítás! Adottak a derékszögű koordináta-rendszerben az A, B, C, D pontok: A(0 4), B(0 1), C(p 1), D(p 4), ahol p > 0. Az 2 4 x y = egyenletű görbe felezi az ABCD téglalap területét. c) Igazolja, hogy p > 4, majd számítsa ki p értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8959

a) Igazolja, hogy bármely hat egymást követő természetes szám szorzata osztható 45-tel! b) Igaz-e, hogy bármely öt egymást követő páratlan természetes szám szorzata osztható 45-tel? (Válaszát indokolja!) c) Hány olyan megoldása van a 45 = 3 + 5 + a + b + c egyenletnek, amelyben a, b és c különböző páratlan természetes számok, és 5 < a < b < c is teljesül? d) Határozza meg az (A B) C állítás logikai értékét az A, B és C kijelentések különböző lehetséges logikai értékei esetén, és töltse ki ennek megfelelően az alábbi igazságtáblázatot! (Válaszait itt nem szükséges indokolnia.) A B C (A B) C i i i i i h i h i i h h h i i h i h h h i h h h

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10143

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 2 1 (2 3) 2 9x x+ = + Legyen 2 ( ) 9 14f x x x= + , ahol x valós szám. Tekintsük a következő állítást: Ha x > 7, akkor f (x) > 0. b) Adja meg az állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja! c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását! Igaz-e az állítás megfordítása? Válaszát indokolja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10245

a) Adottak az A, B, C kijelentések. Az A és B kijelentések logikai értéke igaz, a C kije- lentés logikai értéke hamis. Határozza meg az alábbi állítások logikai értékét! (Válaszait itt nem szükséges in- dokolnia.) (1) A C (2) ¬A B (3) B C (4) (A ¬B) C Jelölje x és y a derékszögű koordináta-rendszer egy tetszőleges pontjának első, illetve második koordinátáját, és legyen c egy valós szám. b) Igaz-e a következő állítás? Ha c 12, akkor 2 2 4 6 0x x y y c+ + + = egy kör egyenlete. (Válaszát indokolja!) c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását, és a megfordított állításról is döntse el, hogy igaz vagy hamis! (Válaszát indokolja!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10276

Legyen a H alaphalmaz a pozitív egészekből álló számpárok halmaza, az A, B és C pedig a H alábbi részhalmazai: A = {(a b) | a és b relatív prímek} B = {(a b) | a osztója b-nek} C = {(a b) | a és b közül legalább az egyik prímszám}. (Ha a b, akkor az (a b) és a (b a) számpárokat különbözőnek tekintjük.) a) Az alábbi Venn-diagram két részébe beírtunk egy-egy számpárt. Írjon a diagram további hat üres részébe egy-egy megfelelő számpárt! Tekintsük a következő két állítást (a, b, c pozitív egészek)! I. Ha c osztója ab-nek, akkor c osztója a-nak vagy c osztója b-nek. II. Ha a osztója c-nek és b osztója c-nek, akkor ab osztója c-nek. b) Határozza meg a két állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszait indokolja! c) Fogalmazza meg az I. állítás megfordítását, és határozza meg a megfordítás logikai értékét! Ha a megfordítás igaz, akkor bizonyítsa be, ha pedig hamis, akkor mutasson ellenpéldát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10832

a) Hány olyan hétjegyű szám van a kettes számrendszerben, amelyben legfeljebb két darab 0 számjegy található? Legyen H az egyjegyű pozitív egész számok halmaza. b) Hány olyan 4 elemű részhalmaza van H-nak, amelynek az 1 vagy a 2 eleme? c) A és B legyen a fenti H alaphalmaz két részhalmaza. Adja meg az alábbi (igaz) állítás megfordítását, és adja meg a megfordítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja! „Ha A  B , akkor AB  .”

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10911

a) Legyen a és b két pozitív valós szám. Határozza meg az alábbi állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja! „Ha a  6 és b  8, akkor a és b számtani közepe nagyobb 7-nél.” b) Fogalmazza meg az előbbi állítás megfordítását, és határozza meg a megfordított állítás logikai értékét is! Válaszát indokolja! c) Határozza meg az x pozitív valós szám értékét úgy, hogy a 7-nek és az x-nek a harmonikus közepe 10 legyen! d) Tudjuk, hogy az (A  B)  (A  C) kijelentés logikai értéke igaz. Mit lehet tudni az A, B és C kijelentések logikai értékéről? Tegyen X-et az alábbi táblázat megfelelő celláiba! (Válaszait itt nem kell indokolnia.) a) 2 pont b) 3 pont c) 4 pont d) 3 pont Ö.: 12 pont biztosan igaz biztosan hamis nem lehet eldönteni A B C

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10940

Tekintsük az ábrán látható 6 pontú, 9 élű gráfot! a) Hányféle úton juthatunk el az A pontból az F pontba, ha egy-egy út során minden élen és minden csú- cson legfeljebb egyszer haladhatunk át? Az alábbi állításban a, b és c pozitív valós számokat jelölnek: „Ha van olyan háromszög, amelynek oldalai (centiméterben mérve) a, b, c hosszúak, akkor a ab b c 2 2 2     2 0 .” b) Bizonyítsa be, hogy az állítás igaz! c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását, és adja meg a megfordított állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11550