Az ABC háromszög oldalegyeneseinek egyenlete: .4 2 1 : ,2010: ,0: = =+ = xyCA yxBC yAB a) Számítsa ki a háromszög csúcspontjainak koordinátáit! b) Számítsa ki a háromszög B csúcsánál lévő belső szöget!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1115

Egy háromszög két csúcsa A(8 2), B(-1 5), a C csúcs pedig illeszkedik az y tengelyre. A háromszög köré írt kör egyenlete: 0124622 =+ yxyx . a) Adja meg a háromszög oldalfelező merőlegesei metszéspontjának koordinátáit! b) Adja meg a háromszög súlypontjának koordinátáit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1130

Az A pont helyvektora: )lg (lg baOA a B pont helyvektora: a b abOB lg lg , ahol a és b olyan valós számokat jelölnek, melyekre 10 << a , illetve b<1 teljesül. a) Bizonyítsa be, hogy a B pont mindkét koordinátája nagyobb az A pont megfelelő koordinátájánál! b) Bizonyítsa be, hogy az OBOA vektor merőleges az OA vektorra! c) Mekkora az OA és az OB vektorok hajlásszöge? d) Legyen 10 1 =a , b pedig jelöljön tetszőleges 1-nél nagyobb valós számot. Adja meg (egyenletével, vagy a derékszögű koordináta-rendszerben ábrázolva) az A, illetve a B pontok halmazát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4335

A PQRS négyszög csúcsai: P(3 -1), Q(1 3), R(-6 2) és S(-5 -5). Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen jelet a táblázat megfelelő mezőibe! Válaszait indokolja, támassza alá számításokkal! a) A állítás: A PQRS négyszögnek nincs derékszöge. b) B állítás: A PQRS négyszög húrnégyszög. c) C állítás: A PQRS négyszögnek nincs szimmetriacentruma.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1145

Egy egyenlő szárú háromszög alapjának végpontjai A(3 5) és B(7 1). A háromszög harmadik csúcsa illeszkedik az y tengelyre. a) Számítsa ki a háromszög harmadik csúcsának koordinátáit! b) Írja fel a háromszög köré írt kör egyenletét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1160

Három ponthalmazt vizsgálunk a derékszögű koordináta-rendszer (S) síkjában. Az A halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 1834 yx , azaz ( ){ }1834 : = yxSyxPA a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 0124622 ++ yxyx , azaz ( ){ }01246 : 22 ++= yxyxSyxPB a C halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 42 =y , azaz ( ){ }4 : 2 == ySyxPC . a) Ábrázolja közös koordináta-rendszerben a három halmazt! Fogalmazza meg, milyen geometriai alakzatot alkotnak az A, a B és a C halmaz pontjai! b) Ábrázolja újabb koordináta-rendszerben a AB halmazt! Fogalmazza meg pontosan, hogy milyen geometriai alakzatot alkot ez a ponthalmaz? c) Ábrázolja a CB I halmazt! Ennek a ponthalmaznak melyik P(x y) pontja van a legközelebb illetve a legtávolabb a koordináta-rendszer origójától?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1182

a) Ábrázolja a derékszögű koordináta-rendszerben az y = 0,5 x + 2 és az y = 0,5 x + 4 egyeneseket! b) Az x tengely, az y tengely és a két ábrázolt egyenes közrefog egy konvex négy- szöget. Mekkora ennek a négyszögnek a területe? c) Az x tengely, az y tengely és a két ábrázolt egyenes hat metszéspontja közül négy egy konkáv négyszög négy csúcsa. Mekkora ennek a konkáv négyszögnek a kerülete?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1206

Az ABCDEFGH téglatest élei: AB = 10 AD = 8 AE = 6. Legyenek az A csúcsból induló élvektorok rendre: =AB a =AD b, =AE c. Az A csúcsból e három élvektor, továbbá három lapátlóvektor és egy testátlóvektor indul ki. Adja össze ezt a hét vektort, az összegvektort jelölje .AP a) Fejezze ki AP vektort az a b és c élvektorokkal! b) Milyen hosszú az AP ? c) Mekkora szöget zár be AP az AE vektorral? d) Mennyi az APAS értéke, ha S a HFC háromszög súlypontja?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1208

Adott az f függvény: ] [ ( ) xxxff 1924 6 1: 3 += R . a) Határozza meg f zérushelyeit, és elemezze az f függvényt monotonitás szempontjából! Jelölje c az f értelmezési tartományának egy pozitív elemét. b) Határozza meg a c értékét úgy, hogy az x tengely [ ]c 0 szakasza, az 0= cx egyenletű egyenes és az f grafikonja által közbezárt síkidom területe 704 területegységnyi legyen!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4347

Egy háromszög két oldalegyenese: az x tengely, valamint az xy 3 4 = egyenletű egyenes. Ismerjük a háromszög beírt körének egyenletét is: 4)2()4( 22 =+ yx . Írja fel a háromszög harmadik oldalegyenesének egyenletét, ha a háromszög egyenlő szárú, és a) az alapja az x tengelyre illeszkedik b) az adott oldalegyenesek a háromszög száregyenesei!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1224

Adott a 56)( 2 ++= tttK polinom. Jelölje H a koordinátasík azon ( )yxP pontjainak halmazát, amelyekre ( ) ( ) 0+ yKxK . a) A H halmaz pontjai közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott pont az C(-3 -3) ponttól 2 egységnél nem nagyobb távolságra van? Az f függvényt a következőképpen definiáljuk: ( ) 56,: 2 ++= xxxff RR . b) Számítsa ki az f függvény grafikonja és az x tengely által közbezárt síkidom területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4363

a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete 102 =+ yx , egyik csúcsa az origó. Hány ilyen tulajdonságú háromszög van? Adja meg a hiányzó csúcsok koordinátáit! b) Jelölje e azokat az egyeneseket, amelyeknek egyenlete byx =+2 , ahol b valós paraméter. Mekkora lehet b értéke, ha tudjuk, hogy van közös pontja az így megadott e egyenesnek és az origó középpontú, 4 egység sugarú körnek?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1252

Az a és b vektor koordinátái a t valós paraméter függvényében: )sin (cos tta és )cos (sin 22 ttb . a) Adja meg az a és b vektorok koordinátáinak pontos értékét, ha t az 6 5 számot jelöli! b) Mekkora az a és b vektorok hajlásszöge 6 5 =t esetén? (A keresett szöget fokban, egészre kerekítve adja meg!) c) Határozza meg a t olyan valós értékeit, amelyek esetén az a és b vektorok merőlegesek egymásra!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4374

Az ABCD konvex négyszög oldalegyeneseinek egyenlete rendre: DA: 02043 = yx , AB: 02053 =+ yx , BC: 01234 =+ yx , CD: 01535 =++ yx . a) Igazolja, hogy a négyszög átlói az x és az y tengelyre illeszkednek, továbbá hogy ennek a négyszögnek nincsen derékszöge! b) Bizonyítsa be, hogy ez a négyszög húrnégyszög!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1286

a) Igazolja, hogy az A(0 1), B(4 2), C(3 6) és D(-5 4) pontokkal megadott négyszög trapéz! b) Kati megrajzolt egy olyan egyszerű teljes gráfot, amelynek 253 éle van, és csúcsai között szerepelnek a trapéz A B C D csúcsai is. Hány új gráfcsúcsot kellett ehhez felvennie? Legfeljebb hány éle törölhető ki ennek a teljes gráfnak, hogy még összefüggő maradjon?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1296

Jelölje az 1242 = xxy egyenletű parabola tengelypontját C, az x tengellyel alkotott metszéspontjait pedig A és B. a) Számítsa ki az ABC háromszög beírt körének sugarát! b) Az ABC háromszög területe hányad része a parabola és az x tengely által közrefogott zárt síkidom területének?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1303

A yx 22 = egyenletű parabola az 22 yx + 8 egyenletű körlapot két részre vágja. Mekkora a konvex rész területe? Számolása során ne használja a közelítő értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1314

Adott a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az 034622 =+++ yxyx egyenletű kör. Ebbe a körbe szabályos háromszöget írunk, amelynek egyik csúcsa A(1 -2). a) Számítsa ki a szabályos háromszög másik két csúcsának koordinátáit! Pontos értékekkel számoljon! b) Véletlenszerűen kiválasztjuk az adott kör egy belső pontját. Mekkora a valószí- nűsége annak, hogy a kiválasztott pont a tekintett szabályos háromszögnek is belső pontja? Válaszát két tizedes jegyre kerekítve adja meg!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1330

Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik illeszkedik a P(2 5) pontra, vala- mint az 4=+ yx és az 6=+ yx egyenletű egyeneseket olyan pontokban metszi, ame- lyek első koordinátájának különbsége 3.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1359

Az y = ax + b egyenletű egyenes illeszkedik a (2 6) pontra. Tudjuk, hogy a < 0. Jelölje az x tengely és az egyenes metszéspontját P, az y tengely és az egyenes metszéspontját pedig Q. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyre az OPQ háromszög terüle- te a legkisebb, és számítsa ki ezt a területet (O a koordináta-rendszer origóját jelöli)!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1376

a) A derékszögű koordináta-rendszerben adott egy téglalap, amelynek csúcsai: ( ),0 0A ( )0 4B , ( )1 4C és ( )1 0D . Véletlenszerűen kiválasztjuk a téglalap egy belső P ( x y ) pontját. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 2 1 3 1 + xy ? b) Marci a farsangi rendezvényre kibocsátott 200 darab tombolajegyből 4-et vásárolt. A tombolán 10 nyereménytárgyat sorsolnak ki. Minden tombolajeggyel legfeljebb egy tárgyat lehet nyerni. b1) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Marci pontosan egy tárgyat nyer a tombolán? b2) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Marci nyer a tombolán? Az eredményeket - a közbülsőket is - négy tizedesjegyre kerekítve számolja ki!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1389

A derékszögű koordináta-rendszerben az ABC háromszög csúcsai: ( )1 2A , ( )4 7 B , ( )pC 11 . Határozza meg a p paraméter pontos értékét, ha a háromszög B csúcsánál levő belső szöge 60°-os.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1407

Az ABCD húrtrapéz köré írt körének egyenlete 100)2()3( 22 =+ yx . A húrtrapéz szimmetriatengelyének egyenlete 2x - y = 4. A trapéz AB alapjának egy belső pontja P(-5 1), BC szárának hossza pedig 210 egység. Határozza meg a trapéz csúcsainak koordinátáit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1419

A p valós paraméter olyan, hogy az 12 ++= pxxy és az pxxy = 2 egyenletű parabolák különbözők és van közös pontjuk az x tengelyen. a) Számítsa ki a p értékét, és a kapott értékkel írja fel a parabolák egyenletét! Rajzolja meg közös koordináta-rendszerben az xxy 22 += , és az 32 = xxy egyenletű parabolákat! b) Számítsa ki e két parabola és az y tengely által határolt síkidom területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1435

Egy ABCD négyzet A csúcsa a koordinátarendszer y tengelyére, szomszédos B csúcsa pedig a koordinátarendszer x tengelyére illeszkedik. a) Bizonyítsa be, hogy a négyzet K középpontjának koordinátái vagy egyenlők, vagy egymás ellentettjei! b) Egy ilyen négyzet középpontja a (7 7) pont. A négyzet oldala 10 egység hosszú. Számítsa ki a négyzet koordinátatengelyekre illeszkedő két csúcsának koordi- nátáit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1467

a) Adott az O középpontú, 45)1()2( 22 =++ yx egyenletű kör. Az y = 2 egyenletű e egyenes és a kör első síknegyedbeli metszéspontját jelöljük M-mel. Tükrözzük az e egyenest az OM egyenesre. Írja fel az e egyenes tükörképének egyenletét! b) Adott az 522 ++= xxy egyenletű parabola. Az y = 2 egyenletű egyenes és a parabola első síknegyedbeli metszéspontját jelöljük P-vel. Számítsa ki a parabola P pontbeli érintőjének a meredekségét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1480

Adott a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az 32 3 xxy = egyenletű görbe. a) Igazolja, hogy ha [3 0]x , akkor 0>y . b) Írja fel a görbe 3 abszcisszájú pontjában húzható érintőjének egyenletét! (abszcissza: első koordináta) c) Számítsa ki annak a síkidomnak a területét, amelyet a görbe első síknegyedbe eső íve és az x tengely fog közre!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1493

Adott a derékszögű koordináta-rendszerben három pont: A(-16 10), B(2 4), C(10 2). a) Számítsa ki az ABC háromszög B csúcsánál fekvő belső szögét! A K pont egyenlő távolságra van A-tól, B-től és C-től. b) Határozza meg a K pont koordinátáit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1508

Adott a 9044 22 =+ yx egyenletű k kör és az x + 3y = 0 egyenletű g egyenes. Írja fel a k kör g-vel párhuzamos érintőinek egyenletét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1520

A derékszögű koordináta-rendszerben adott az xxy 325,0 2 += , illetve az xxy 44,101,0 3 = egyenletű görbéknek az az íve, amelyre 0 x 12. (Ez a két ív az áb- rán is látható.) Tudjuk, hogy a (0 0) és a (12 0) pont a két ív közös pontja. a) Mindkét ív esetében adja meg az ív x tengelytől legtávolabbi pontjának első koordinátáját! b) Mekkora a két ív által közrezárt síkidom területe? c) Értelmezzük a ]0 12[ intervallumon az alábbi hoz- zárendeléssel megadott f és g függvényeket: xx xx xf 44,101,0 325,0 )( 3 2 + = és 12 25 )( + = x xg . Igazolja, hogy )()( xgxf = , és mutassa meg, hogy a g függvény szigorúan monoton növekvő!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1527

Két sportiskola legjobb teniszezői egyéni teniszbajnokság kereté- ben mérték össze tudásukat. A verseny emblémáját parabolasze- let alakúra tervezték (lásd az ábrát). A koordináta-rendszerben készült tervrajzon a teniszlabda röppályáját jelképező 2 4 xy = egyenletű parabola, valamint az x tengely határolja a parabolasze- letet. Az emblémán látható még a teniszlabdát jelképező kör is, ennek egyenlete 06,222 =+ yyx . a) Hány százaléka a kör területe a parabolaszelet területének? A választ egészre kerekítve adja meg! A Zöld Iskolából 8, a Piros Iskolából 10 tanuló versenyzett a bajnokságon. Mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszott, az ugyanabba az iskolába járó tanulók is játszottak egymással. A verseny végén kiderült, hogy a Piros Iskola tanulói összesen kétszer annyi mérkőzést nyertek meg, mint a Zöld Iskola tanulói. (Teniszben döntetlen nincs.) b) A Zöld Iskola versenyzői összesen hány olyan mérkőzést nyertek meg, amelyet a Piros Iskola valamelyik teniszezőjével játszottak?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1538

a) Adja meg az 011221455 22 yxyx egyenletű kör középpontját és sugarát! Adott a k kör, amelynek középpontja a K(-5 7) pont, és a sugara 10 egység. Ezen a körön belül adott az A(4 14) pont. b) Írja fel annak az A ponton áthaladó e egyenesnek az egyenletét, amely merőleges a KA szakaszra! c) Határozza meg a k kör e egyenesre illeszkedő húrjának hosszát! A koordináta-rendszer P(x y) pontját rácspontnak nevezzük, ha x és y egész számok. d) Hány rácsponton megy át a k körvonal?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2607

Az f: R R, 2712)( 2 xxxf függvény grafikonja a derékszögű koordináta-rend- szerben parabola. a) Számítsa ki a parabola és az x tengely által bezárt (korlátos) síkidom területét! b) Írja fel a parabolához az )8 5( E pontjában húzott érintő egyenletét! c) Számítsa ki a parabola fókuszpontjának koordinátáit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4306

a) Mekkora területű síkidomot zár közre az 62 xxy egyenletű parabola és az x - y + 2 = 0 egyenletű egyenes? Az 62 xxy egyenletű parabola az x tengelyt az A és a B pontban metszi. b) Számítsa ki a parabola B pontbeli érintőjének meredekségét, ha tudjuk, hogy a B pont első koordinátája pozitív!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4321

Egy téglalap alakú városi park tervezésekor a kezdeti egyszerű vázlatokat egy rajzoló- program segítségével készíti el a tervező. A parkot derékszögű koordináta-rendszerben ábrázolja úgy, hogy a koordináta-rendszer tengelyein a hosszúságegység a valóságban 10 méternek felel meg. A park négy csúcsát az A(0 0), B(30 0), C(30 48), D(0 48) koordinátájú pontok adják meg. Az első tervek között a négy csúcson átmenő körút is szerepel. a) Adja meg ennek a körnek az egyenletét! A vázlatba a tervező egy olyan kört is berajzolt, amely egy díszteret határol majd. A kör egyenletét a rajzolóprogram 0819483622 yxyx alakban adta meg. b) Számítsa ki, hány százaléka a dísztér területe a park területének! A tervező egy olyan egyenest is megrajzolt, amely a park C csúcsában lévő bejáraton és a P(18 24) ponton halad át. Ezen az egyenesen egy sétaút halad majd. c) Határozza meg a sétaút egyenesének egyenletét, és számítsa ki a parkbeli szakaszá- nak valódi hosszát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 6259

Egy egyesületi összejövetel társaságához 5 nő és 4 férfi csatlakozott, így a nők aránya a korábbi 25%-ról 36%-ra nőtt. a) Hány főből állt az eredeti társaság? Az ábrán az egyesület székházának függőleges síkú homlokzata látható, amelyet az AC és BC egybevágó parabolaívek határolnak. A parabolák tengelye egy-egy függőleges egyenes, ezek az AB szakasz felezőmerő- legesére szimmetrikusan helyezkednek el. A homlokzat szélessége AB = 8 méter, magassága FC = 6 méter, az AF szakasz D felezőpontjában mért tetőmagasság pedig DE = 2,5 méter. b) Hány négyzetméter a homlokzat területe?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 6266

Adott az 2 2 4 16 34 0x y x y egyenletű k kör. a) Igazolja, hogy az E(-7 5) pont rajta van a k körön! b) Írja fel a k kör E pontjában húzható érintőjének egyenletét! c) Határozza meg az m valós paraméter összes lehetséges értékét úgy, hogy az y mx egyenletű e egyenesnek és a k körnek ne legyen közös pontja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7703

a) Számítsa ki az a, b és c értékét, ha az cxxxf 2 ba)( (x R, a, b, c R és 0a ) függvényről tudjuk, hogy 6)2( `f és 2)6( `f , valamint 3 50 )( 2 0 dxxf . b) Határozza meg annak a P(0 35) ponton átmenő egyenesnek az egyenletét, amely érinti az 38 2 1 2 xxy egyenletű parabolát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7750

Egy nagy méretű, köztéren felállítandó óra számlapját szabályos 12-szög alakúra tervezik. Az A1A2...A12 számlapot egy 260 cm × 180 cm-es téglalap alakú alu- míniumlemezből vágják ki az ábra szerint. a) Mekkora tömegű az óralap, ha az alumíniumle- mez vastagsága 2 mm, és 1 m3 alumínium tömege 2700 kg? b) Jelöljük meg a szabályos tizenkétszög A1 csúcsát! Hány olyan derékszögű három- szög van, amelynek egyik csúcsa az A1 , a másik két csúcsa pedig szintén a tizenkét- szög valamelyik két csúcsával azonos? (Két háromszöget akkor tekintünk különbö- zőnek, ha legalább az egyik csúcsuk különböző.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8923

Egy egyenlő szárú háromszög oldalai hosszúságának átlaga 10, szórása 3 2 . a) Határozza meg a háromszög oldalainak hosszát! Egy háromszög csúcsai a derékszögű koordináta-rendszerben A(-6 0), B(6 0) és C(0 8). b) Igazolja, hogy a 3x - 4y = -12 egyenletű e egyenes felezi az ABC háromszög kerü- letét és területét is!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8941

A tengerpart közelében, a vízszintes tengerfenékre négy érzékelő egységet telepítenek (A, B, C, D). A tervrajzon derékszögű koordináta-rendszerben adták meg három érzékelő helyzetét: A(0 -12,5), B(10 -7,5), C(48 14). a) Igazolja, hogy az A, B, C pontok nem illeszkednek egy egyenesre! A tervrajzon a koordinátatengelyeken megadott 1 egység távolság a valóságban 20 mé- ternek felel meg. b) Hány méter lehet az A és D érzékelők valódi távolsága, ha a D érzékelőt úgy telepí- tik, hogy az A-tól és a B-től egyenlő távolságra, C-től pedig 1000 méter távolságra legyen?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8954

a) Döntse el, hogy igaz-e a következő állítás! Válaszát indokolja! Ha egy háromszög két magassága egyenlő hosszúságú, akkor a háromszög egyenlő szárú. Egy háromszögben a szokásos jelölésekkel a = 3, b = 27 és = 2. b) Számítsa ki a háromszög szögeit! Az egységnyi oldalú, szabályos ABC háromszögbe olyan PQRS téglalapot írunk, melynek PQ oldala az AB oldalra illeszkedik, R a BC oldal pontja, S pedig a CA oldalé. c) Határozza meg a PQRS téglalap területének maximális értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8970

Az ABCD húrnégyszögben AB = 20, BC = 18, ABC = 70°, CAD = 50°. a) Milyen hosszú a CD oldal, és mekkora a húrnégyszög területe? A derékszögű koordináta-rendszerben adottak a P(-2 0), Q(6 0) és R(0 5) pontok, a H pedig a PQ szakasz tetszőleges pontja. b) Számítsa ki a és azPH RH vektorok skaláris szorzatát, ha H(-1,8 0). c) Adja meg a H pont koordinátáit úgy, hogy a és azPH RH vektorok skaláris szorzata maximális, illetve úgy is, hogy minimális legyen!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8987

Adott az 1 7 2 y x= egyenletű e egyenes. a) Egy négyzet egyik csúcsa az origó, egyik átlójának egyenese pedig az e. Számítsa ki a négyzet középpontjának koordinátáit és a négyzet területét! b) Számítsa ki annak a korlátos síkidomnak a területét, amelyet az 2 ( 4) 7 4 x y = + egyenletű parabola és az e egyenes határol!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8999

Az ABC szabályos háromszög mindhárom oldalát 3-3 osztó- ponttal négy egyenlő részre osztottuk. a) Hány olyan négyszög van, melynek mind a négy csúcsa a háromszög oldalain kijelölt 9 pont közül való úgy, hogy a négyszögnek a háromszög mindegyik oldalán van legalább egy csúcsa? (Két négyszöget különbözőnek tekintünk, ha legalább egy csúcsukban különböznek.) Jelölje a 4 egység oldalú ABC szabályos háromszög BC ol- dalának B-hez közelebbi negyedelőpontját P, a CA oldal C-hez közelebbi negyedelőpontját Q, az AB oldal A-hoz kö- zelebbi negyedelőpontját pedig R. Jelölje továbbá AP és BQ szakaszok metszéspontját X, BQ és CR szakaszok metszés- pontját Y, végül CR és AP szakaszok metszéspontját Z. b) Határozza meg az XYZ háromszög területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9794

Adott az 2 4 0x y = egyenletű parabola és az x - y = 5 egyenletű g egyenes. a) Igazolja, hogy a parabola fókuszpontja az F(0 1) pont! b) Írja fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a g egyenesen van, valamint átmegy a P(0 -1) ponton és a parabola F fókuszpontján is! c) Adja meg a parabola g egyenessel párhuzamos érintőjének egyenletét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10146

A statisztikai értékelések során szükség van az adatokat és összefüggéseket szemléltető pontok és egyenesek köl- csönös helyzetének jellemzésére. Egy ilyen jellemző lehet a pontnak egy megadott egyenestől mért függőleges tá- volsága. Az ábrán látható P1 , P2 , P3 , P4 pontok esetén a függőleges távolságok rendre a d1 , d2 , d3 , d4 szakaszok hosszával egyenlők. (A távolságokat megadó szakaszok párhuza- mosak az y tengellyel.) a) Határozza meg az R(4 2) és az S(4 5) pontok füg- gőleges távolságát az 1 5 3 3 y x= + egyenestől! Ha a derékszögű koordináta-rendszerben az adatokat pontokkal jelenítjük meg, és külön- böző egyeneseket veszünk fel, akkor mindegyik egyeneshez kiszámítható a pontok füg- gőleges távolságainak négyzetösszege (az ábrán látható példában 2 2 2 2 1 2 3 4d d d d+ + + ). Tekintsük azt az egyenest a pontokra legjobban illeszkedő egyenesnek, amelyre ez a négy- zetösszeg a lehető legkisebb. Adott három pont a koordináta-rendszerben: A(1 3), B(3 5) és C(4 4). b) Adja meg az m értékét úgy, hogy az y = mx egyenletű (origón átmenő) egyenes a megadott módszer szerint a legjobban illeszkedjen az A, B és C pontokra! (m R) Az 21 ( 2 11 ) 3 y x x= + egyenletű g görbe áthalad a megadott A és B pontokon, a h egyenes pedig az origón és a C ponton. c) Mekkora a g és h által közbezárt korlátos alakzat területe?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10251

Adott az 2 2 16x y+ = egyenletű parabola és az 2 2 ( 3) 9x y+ = egyenletű kör. a) Határozza meg a parabola fókuszpontjának és a kör középpontjának a koordinátáit! b) Igazolja, hogy a Q (2 2 4) pont a parabolának és a körnek is pontja, és a kör Q-ban húzott érintője érinti a parabolát is! c) Határozza meg a parabola és az x tengely által közrezárt korlátos síkidom területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10268

Adott a C(-6 -2) és a P(-3 2) pont. a) Írja fel a C középpontú, P ponton átmenő k kör egyenletét! b) Írja fel a k kör P pontra illeszkedő érintőegyenesének egyenletét! A C és P pontokon áthaladó egyenes és a két koordinátatengely egy derékszögű három- szöget határoz meg. c) Határozza meg a háromszög köré írható kör sugarának hosszát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10456

Adott az ( ) sinf x x= és a 2 2 ( ) x g x = függvény (x R). a) Igazolja, hogy mindkét függvény grafikonja áthalad az origón és a 1 2 ponton! b) Határozza meg a két függvény grafikonja által közbezárt síkidom területét, ha x 0 2 ! Adott az 2 2 n n a n + = sorozat (n N+ ). c) Igazolja, hogy ez a sorozat szigorúan monoton csökkenő és korlátos, és adja meg a sorozat határértékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10459

a) Az f függvény hozzárendelési szabálya ( ) 3 x f x = (x R). Helyezze el az alábbi halmazábra megfelelő részeibe az f (-2), f (0,5) és f (5) függvényértékeket! Egy ötpontú egyszerű gráf A, B, C, D, E pontjaihoz rendre a 3-2 , 3 -7 , 3 -12 , 1 2 és 1 2 1 számokat írtuk. A gráfban két pont akkor és csak akkor van éllel összekötve, ha a két ponthoz írt számok összege racionális szám. b) Hány éle van ennek az ötpontú gráfnak? A koordinátatengelyek és a ( ) 3 x g x = (x 0) függvény grafikonja által határolt tartományba olyan egymáshoz csatlakozó téglalapokat írunk, amelyek egyik oldala az x-tengelyen van és egységnyi hosszúságú, egyik csúcsa pe- dig a g függvény grafikonjára illeszkedik. Az első beírt téglalap egyik csúcsa az origó, ezzel szem- közti csúcsa pedig az (1 g(1)) pont. A további téglalapok egy-egy csúcsa rendre (2 g(2)), (3 g(3)), és így tovább, az ábra szerint (az ábra nem méretarányos). Legyen n az a legnagyobb pozitív egész szám, amelyre g(n) - g(n + 1) > 10 - 6 teljesül. c) Számítsa ki az első n téglalap területének összegét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10462

Az ábrán egy medence méretarányos (kicsinyített) felülnézeti tervrajza látható. A medencét az y = x és az y = -2x + 2 egyenletű egyenes, valamint az y x x = 3 (0 x 1) egyenletű görbe fogja közre. a) Számítsa ki, hogy mekkora a tervezett medence alapterülete, ha a tervrajzon látható (0 0) és (1 0) pontok tá- volsága a valóságban 12 méter lesz! Adott az f f x x kx : ( ) R R + = + 3 függvény (k valós paraméter). Az f függvény grafikonjához egy-egy érintőt húzunk az x = 1, illetve az x = 2 abszcisszájú pontjában. b) Igazolja, hogy a két érintő metszéspontjának első koordinátája (a k paraméter érté- kétől függetlenül) 14 9 .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10824

A k1 kör egyenlete a derékszögű koordináta-rendszerben x x y y 2 2     4 12 13. a) Határozza meg a k1 kör sugarát és középpontjának koordinátáit! A k1 körbe írható ABCD húrtrapéz csúcsai A(4; 13), B(–5; 4), C(4; –1) és D(9; 4). b) Határozza meg a húrtrapéz magasságát és szögeit! A k2 kör egyenlete a derékszögű koordináta-rendszerben x y 2 2   53 . c) Hány olyan pont található a k2 körvonalon, amelynek mindkét koordinátája egész szám?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10917

Adott az f : ; ( ) 0,5 3 R R     f x x x 2 másodfokú függvény. a) Határozza meg az f értékkészletét! b) A P(6; 0) pont rajta van az f grafikonján. Adja meg a grafikon P-re illeszkedő érintőjének meredekségét, és ennek az érintőnek az egyenletét! c) Adja meg azt a valós számok halmazán értelmezett g függvényt, amelyre igaz, hogy g f   és g(3)  7 ( ga g deriváltfüggvényét jelöli)!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10927

Az ABC derékszögű háromszög A csúcsánál fekvő szöge 30°-os. a) A háromszög AB átfogójának F felezőpontjában merőlegest állítunk az átfogóra. Ez a merőleges az AC befogót az E pontban metszi. Milyen arányban osztja két részre az E pont az AC befogót? A háromszögből az átfogójához tartozó CP1 magassága mentén levágjuk a H1-gyel jelölt háromszöget. Az így megmaradó ACP1 derékszögű háromszögben végrehajtjuk ugyanezt a lépést: a H2 háromszöget vágjuk le a háromszög átfogójához tartozó P1P2 magassága mentén, és így tovább (lásd az ábrán). b) Ha ezt az eljárást 13-szor hajtjuk végre, akkor a 13 háromszög levágása után megmaradó háromszög területe hány százaléka az ABC háromszög területének? c) Mekkora a végtelen sok szakaszból álló CP1P2P3P4… töröttvonal hosszának pontos értéke, ha CP1  2 3  ?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10930

Az OAB egyenlőszárú háromszög OA és OB szárai 12 cm hoszszúak, AOB szöge 75. Az OA szakasz C pontját és az OB szakasz D pontját (az ábra szerint) egy O középpontú, 8 cm sugarú körív köti össze. a) Határozza meg a szürkére színezett tartomány területét és kerületét! Az OAB háromszöget megforgatjuk az OA oldal egyenese körül. b) Határozza meg az így keletkező forgástest térfogatát! Az ábrán látható négy tartományt piros, kék és zöld színnel színezzük ki úgy, hogy egy tartományhoz egy színt használunk. c) Hányféleképpen színezhetjük ki a négy tartományt, ha szomszédos tartományok nem lehetnek azonos színűek? (Két tartomány szomszédos, ha van közös határvonaluk. A színezéshez nem szükséges mindhárom színt felhasználni.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10945

Adott az A(5; 14) és a B(7; 6) pont a koordináta-rendszerben. a) Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely illeszkedik az A és a B pontokra, és a középpontja az y tengelyen van! b) Az 1 ( )2 2 y x u v p    egyenletű parabola tengelypontja a B pont, és a parabola illeszkedik az A pontra. Határozza meg a parabola p paraméterének értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11494

Az ABC egyenlőszárú háromszög alapjának egyik végpontja B(0; 4), a szárak metszéspontja A(3; 0). A háromszög alapjának másik végpontja az x + 2y  8 egyenletű e egyenesre illeszkedik. a) Határozza meg a háromszög C csúcsának koordinátáit! Adott az 1 9 2 4 2 2 y x x     egyenletű parabola és az 1 13 2 2 y x    egyenletű f egyenes. b) Határozza meg a parabola és az f egyenes által határolt korlátos síkidom területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11529

A derékszögű koordináta-rendszerben adott az A(–12; 21) és a B(6; –3) pont. a) Adja meg a pontok által meghatározott szakasz f felezőmerőlegesének egyenletét, és számítsa ki, hány fokos szöget zár be az f egyenes az y tengellyel! Egy 26 egység sugarú kör áthalad a P(24; 6) ponton, a középpontja pedig illeszkedik az y tengelyre. b) Határozza meg a kör egyenletét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11551

A valós számok halmazán értelmezett f másodfokú függvény zérushelyei –3 és 4. Az f grafikonja egy olyan parabola, amely az y tengelyt a (0; 6) pontban metszi. a) Határozza meg a parabola egyenletét! Adott a valós számok halmazán értelmezett g x x x ( ) 0,5 2 6    2 függvény. b) A g grafikonjához érintőt húzunk az x = 4 abszcisszájú pontjában. Határozza meg az érintő egyenletét! c) Számítsa ki az y  –2x + 2 egyenletű egyenes és az y x x    0,5 2 6 2 egyenletű parabola által határolt korlátos síkidom területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11555