Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása a valós számok halmazán! a) 0 22 102 1 2 = + x xx b) 5916 =++ xx c) )1lg()6lg( 22 xxx =+ d) )cos5,1lg(cos1sin 2 xxx =

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1254

Az a és b vektor koordinátái a t valós paraméter függvényében: )sin (cos tta és )cos (sin 22 ttb . a) Adja meg az a és b vektorok koordinátáinak pontos értékét, ha t az 6 5 számot jelöli! b) Mekkora az a és b vektorok hajlásszöge 6 5 =t esetén? (A keresett szöget fokban, egészre kerekítve adja meg!) c) Határozza meg a t olyan valós értékeit, amelyek esetén az a és b vektorok merőlegesek egymásra!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4374

Hány (x y) rendezett valós számpár megoldása van az alábbi egyenletrendszernek, ha x és y is a [ ] 2 0 zárt intervallum elemei? =+ = 4 1 sinsin 0cossin 2 y

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1333

Vizsgáljuk azt a sorozatot, amelynek n-edik tagja adott R esetén: sin+= nan ( n ). a) Legyen 3 = . Írja fel a sorozat első három tagjának pontos értékét! b) Milyen [ ] 2 0 esetén lesznek az a1 , a2 , a3 számok - ebben a sorrendben - egy konstans sorozattól különböző számtani sorozat szomszédos tagjai? A megoldásában használhatja az alábbi azonosságokat is: 2 cos 2 sin2sinsin + =+ 3 sin4sin33sin = .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1344

a) Két szabályos dobókockát egyszerre feldobunk. Számítsa ki a következő két esemény valószínűségét: A: a dobott pontok összege prím B: a dobott pontok összege osztható 3-mal. b) Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből véletlenszerűen kiválasztunk három külön- bözőt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott számjegyek minde- gyikének egyszeri felhasználásával 4-gyel osztható háromjegyű számot tudunk képezni? c) Az ABCD négyzet csúcsai: ( )0 0A , 0 2 B , 2 2 C , 2 0 D . Véletlen- szerűen kiválasztjuk a négyzet egy belső pontját. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott pont a koordinátatengelyek és az ( ) xxff cos, 2 0: = R függvény grafikonja által határolt tartomány egyik pontja?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1360

Az alábbi három kifejezés mindegyike esetén adja meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a kifejezés értelmezhető! a) ( )x2logcos b) ( )xcoslog 2 c) )(coslog 2 xx

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1402

a) Igazolja, hogy a 2 1 , a 0 és a 3 is gyöke a 0352 23 = xxx egyenletnek, és az egyenletnek ezeken kívül más valós gyöke nincs! b) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 0cos3cos5cos2 23 = xxx c) Mutassa meg, hogy a 0234782 =++ xxx egyenletnek nincs valós gyöke!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1464

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) xxx 22 cossin2sin2 = b) xx lglg 54525 +=

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1490

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) 1cossin 2 = xx b) 12 += xxx

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1505

Oldja meg a [4 6] alaphalmazon az alábbi egyenleteket, illetve egyenlőtlenséget! a) 35 = x b) 11032 += xx c) 01coscos2 2 + xx

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1554

a) Számítsa ki az ábrán látható, két görbe vonal által köz- refogott síkidom területét! (Az egyik határoló vonal az 2sin xy , a másik pe- dig az 2cos xy egyenletű görbének egy része.) b) Igazolja, hogy ha 83 511 n n a n , akkor az }{ na sorozat nem monoton, de korlátos! ( Nn )

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1570

a) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert, ahol x és y pozitív valós számok! 2 lg 2 lglg 2,0 yxyx yx b) Oldja meg a [- ] halmazon a 2cossin2 2 xx egyenletet!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4303

Az interneten érdekes hírként jelent meg 2015-ben, hogy a matematikusok újabb, egybe- vágó ötszögekből álló hézagmentes síklefedést (parkettázást) fedeztek fel. (A két ábrán a parkettázás egy részlete, illetve a parketta egyik ötszögének néhány adata látható: EA = AB = CD = 1, BC = 2, EAB = 90º, ABC = 150º, BCD = 60º.) a) Igazolja, hogy az ábrán megadott ötszög B csúcsából húzott két átló 75°-os szöget zár be egymással! b) Igazolja (például addíciós tételek segítségével), hogy 4 26 75cos . c) Igazolja, hogy az ötszög DE oldala hosszának pontos értéke 32 . d) Igazolja, hogy 2 26 32 .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4322

a) Mely egész számokra teljesül a [0 2] intervallumban a 2 1 cos x egyenlőtlenség? b) Hány olyan egész szám van, amelyre teljesül a 201515202 xx egyenlőt- lenség? c) Adott a valós számok halmazán értelmezett 1 2 1 )( 4 x xf függvény. Hány rács- pontot tartalmaz az f függvény grafikonja és a koordinátatengelyek által az első sík- negyedben közbezárt síkidom? (A síkidom határolóvonalait is a síkidomhoz tarto- zónak tekintjük.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7748

Oldja meg az alábbi két egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! a) 1 cos 2 x b) 4 20 5 x < c) Hány olyan egész szám van, amelyik gyöke az alábbi egyenlőtlenségnek? 0,5log (2 100) 8

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8967

Az északi félteke 50. szélességi körén egy adott napon a nappal hosszát (a napkelte és a napnyugta között eltelt időt) jó közelítéssel a következő f függvénnyel lehet modellezni: 8 ( ) 5,2cos 11,2 58 n f n + = + , ahol n az adott nap sorszámát jelöli egy adott éven belül, f (n) pedig a nappal hossza órá- ban számolva (1 n 365, n N). Az alábbi ábra a [ ] 8 : 1 365 ( ) 5,2cos 11,2 58 x g g x + = + R függvényt szemlélteti. (A g függvény az f-nek egy folytonos kiterjesztése.) a) Ha x = 1, akkor 8 58 x + helyettesítési értéke 9 58 . Adja meg a 9 58 radián értékét fokban mérve! b) Számítsa ki a modell alapján, hogy az év 50. napján milyen hosszú a nappal! Válaszát óra:perc formátumban, egész percre kerekítve adja meg! c) Igazolja, hogy (a modell szerint) egy évben 164 olyan nappal van, amelyik 12 óránál hosszabb! Adott egy másik, az y = -5,2cos(x) + 11,2 egyenletű görbe, valamint az x = 0, az y = 0 és az x = 2 egyenletű egyenesek. d) Számítsa ki a görbe és a három egyenes által határolt korlátos síkidom területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8985

a) Határozza meg az m valós szám összes lehetséges értékét úgy, hogy az alábbi kije- lentés igaz legyen! Az 2 2 4x x mx + = egyenletnek pontosan két különböző valós gyöke van. b) Mutassa meg, hogy az alábbi kijelentés igaz! Az f: 2 3 ( ) (1 cos ) 2 f x x = + + R R függvény értékkészlete az 1 3 2 2 intervallum. c) Tudjuk, hogy az A, B, C kijelentések mindegyike 0,6 valószínűséggel igaz és 0,4 va- lószínűséggel hamis. Ebben az esetben mennyi annak a valószínűsége, hogy az (A B) C kijelentés igaz?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10132

Egy háromszög oldalai a, a + 1 és a + 2 egység hosszúak. a) Igazolja, hogy ha a háromszög legnagyobb szöge , akkor a a 2 3 cos = . b) Határozza meg a háromszög oldalainak hosszát, ha a háromszög legnagyobb szöge 120 fokos! Egy derékszögű háromszög oldalainak hossza 8 cm, 15 cm és 17 cm. A háromszöglemez egy pontját véletlenszerűen kiválasztjuk. c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy ez a pont mindegyik csúcstól legalább 3 cm távolságra lesz?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10279

Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) 2 2 sin 3cosx x= b) 3 3 3log ( 8) log ( 2) log ( 4) 1+ + +

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10457

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) log log ( 2) 1 3 3 x x + + = b) 4sin 16cos 1

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10816

Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) 2 2 1 x x   1 b) 2sin 3cos 0

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10925