Érettségi, felvételi és OKTV feladatok a mobilodon
-= FRISSÍTÉS 2026. március 31. =- Matematika és anyanyelv
Hiányzó PDF-ek feltöltése Matematika
Legújabb feladatlapok feltöltése
Címkézés 2026-ig (minden érettségi és felvételi feladat címkézve lett)
Szövegesen kereshető minden érettségi és felvételi feladatlap
Már a keresőből is elérhetők a beírt címkék alapján a feladatok Anyanyelv
Címkézés 2026-ig a 4 osztályos gimnáziumi felvételi feladatlapokon
Szövegesen kereshető minden 4 osztályos gimnáziumi felvételi feladatlap Folyamatban
Anyanyelv felvételi feladatlapok kereshetősége, maradékának címkézése
Mértani sorozat
Töltsd le matematica.hu Android appomat, amivel mobil eszközökön még kényelmesebben, pl. hangvezérléssel is hozzáférsz az adatbázisban tárolt feladatokhoz!
Definíció: Olyan számsorozat, ahol a 2. elemtől kezdve minden elem és az azt megelőző elem hányadosa állandó. Ez a hányados (q - kvóciens) a mértani sorozat hányadosa.
Egy növekedő számtani sorozat első három tagjának összege 60. Az első tagot 64-gyel növelve, a másik két tagot változatlanul hagyva, egy mértani sorozat első három tagjához jutunk. Mennyi a két sorozat első három tagja?
Péter nagypapája minden évben félretett némi pénzösszeget egy perselybe unokája számára. 5000 Ft-tal kezdte a takarékoskodást 1996. január 1-én. Ezután minden év első napján hozzátett az addig összegyűlt összeghez, mégpedig az előző évben félretettnél 1000 Ft-tal többet. 2004. január 1-jén a nagypapa bele tette a perselybe a megfelelő összeget, majd úgy döntött, hogy a perselyt unokájának most adja át. a) Mekkora összeget kapott Péter? b) Péter nagypapája ajándékából vett néhány apróságot, de elhatározta, hogy a kapott összeg nagyobb részét 2005. január 1-jén bankszámlára teszi. Be is tett 60000 Ft-ot évi 4%-os kamatos kamatra (a kamatok minden évben, év végén hozzáadódnak a tőkéhez). Legalább hány évig kell Péternek várnia, hogy a számláján legalább 100000 Ft legyen úgy, hogy közben nem fizet be erre a számlára?
a) Legyen ( )na egy mértani sorozat, melynek első tagja 5, hányadosa 3. Mennyi a valószínűsége, hogy ha ennek a mértani sorozatnak az első 110 tagjából egyet véletlenszerűen kiválasztunk, akkor a kiválasztott tag 11-gyel osztva 1 maradékot ad? b) Legyen ( )nb egy számtani sorozat, amelynek az első tagja 5, és a differenciája 3. Mekkora a valószínűsége, hogy ha ennek a számtani sorozatnak az első 110 tagjából egyet véletlenszerűen kiválasztunk, akkor a kiválasztott tag 11-gyel osztva 1 maradékot ad?
a) A tízes számrendszerben felírt egyjegyű a , kétjegyű ab és háromjegyű bba szám ebben a sorrendben egy számtani sorozat első három tagja. (Azonos betűk azonos, különböző betűk különböző számjegyeket jelölnek.) Számítsa ki a sorozat differenciáját és az első száz elem összegét! b) Bizonyítsa be, hogy egy mértani sorozat első n elemének, második n elemének és harmadik n elemének összege egy mértani sorozat három egymást követő eleme!
Egy pozitív tagokból álló mértani sorozat első három tagjának összege 26. Ha az első taghoz egyet, a másodikhoz hatot, a harmadikhoz hármat adunk, akkor ebben a sorrendben egy számtani sorozat első három tagját kapjuk. Adja meg ennek a számtani sorozatnak az első három tagját!
Daninak két kedvenc tantárgya van, a matematika és a biológia. a) Dani az egyik délután egy kisállat-kereskedés akváriumában megszámolta a nagy piros és a kis csíkos halakat. A nagy piros halak száma p, a kis csíkosaké c. Testvérének, Katának nem árulta el, hány halat számolt meg, de az alábbiakat elmondta neki: A 4, a p és a c számok ebben a sorrendben egy mértani, a p, a c és a 40 számok pedig ebben a sorrendben egy számtani sorozat egymás utáni tagjai. Hány darab nagy piros és hány darab kis csíkos halat számolt meg Dani az akváriumban? b) Dani vásárolt egy nagyon nagy akváriumot, és 100 darab apró halat telepített bele. A telepítés és a gondozás jól sikerült, minden hónapban 20 %-kal nőtt az állomány. Dani minden második hónap végén eladta a halainak mindig ugyanannyi százalékát. A 24. hónap végén az akváriumában 252 darab hal maradt. Kéthavonta az állomány hány százalékát adta el Dani? c) Kata kapott a születésnapjára Danitól 20 darab halat: 5 nagy pirosat és 15 kis csíkosat egy gömbakváriumba. A két gyerek növényeket helyezett el Kata akváriumába, és ehhez egy befőttes üvegbe kis időre átraktak 8 darab halat. A halak kihalászása találomra történt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a 8 átrakott hal között éppen 3 darab nagy piros hal volt?
Egy dolgozó az év végi prémiumként kapott 1 000 000 Ft-ját akarja kamatoztatni a következő nyárig, hat hónapon át. Két kedvező ajánlatot kapott. Vagy kéthavi lekötést választ kéthavi 1,7%-os kamatra, kéthavonkénti tőkésítés mellett, vagy a forintot átváltja euróra, és az összeget havi 0,25%-os kamattal köti le hat hónapra, havi tőkésítés mellett. a) Mennyi pénze lenne hat hónap után a forintszámlán az első esetben? (Az eredményt Ft-ra kerekítve adja meg.) b) Ha ekkor éppen 252 forintot ért egy euró, akkor hány eurót vehetne fel hat hónap múlva a második ajánlat választása esetén? (Az eredményt két tizedes jegyre kerekítve adja meg.) c) Legalább hány százalékkal kellene változnia a 252 forint/euró árfolyamnak a félév alatt, hogy a második választás legyen a kedvezőbb? (Az eredményt két tizedes jegyre kerekítve adja meg.) (A tőkésítés melletti befektetés azt jelenti, hogy a tőkésítési időszak alatt elért kamatot az időszak végén hozzáadják az időszak kezdetén befektetett tőkéhez, és a következő időszakban az így kapott, kamattal megnövelt összeg után számítják a kamatot. Ez a folyamat annyiszor ismétlődik, ahány tőkésítési időszak van a befektetés időtartama alatt.)
Egy bank a Gondoskodás nevű megtakarítási formáját ajánlja újszülöttek családjának. A megtakarításra vállalkozó családok a gyermek születését követő év első banki napján számlát nyithatnak 100 000 forint összeggel. Minden következő év első banki napján szintén 100 000 forintot kell befizetniük a számlára. Az utolsó befizetés annak az évnek az első banki napján történhet, amely évben a gyermekük betölti a 18. életévét. A bank év végén a számlán lévő összeg után évi 8%-os kamatot ad, amit a következő év első banki napjára ír jóvá. A gyermek a 18. születésnapját követő év első banki napján férhet hozzá a számlához. a) Mekkora összeg van ekkor a számlán? A válaszát egész forintra kerekítse! A gyermek a 18. születésnapját követő év első banki napján felveheti a számláján lévő teljes összeget. Ha nem veszi fel, akkor választhatja a következő lehetőséget is: Hat éven keresztül minden év első banki napján azonos összeget vehet fel. Az első részletet a 18. születésnapját követő év első banki napján veheti fel. A hatodik pénzfelvétellel a számla kiürül. Ha ezt a lehetőséget választja, akkor a bank - az első pénzfelvételtől számítva - minden év végén a számlán lévő összeg után évi 5%-os kamatot garantál, amit a következő év első banki napjára ír jóvá. b) Ebben az esetben mekkora összeget vehet fel alkalmanként? A válaszát egész forintra kerekítse!
Egy négyzet alapú egyenes hasáb alapéle 18 egység, testátlója 236 egység. a) Mekkora szöget zár be a testátló az alaplap síkjával? b) Hány területegység a hasáb felszíne? (A felszín mérőszámát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!) c) Az alapél és a testátló hosszát - ebben a sorrendben - tekintsük egy mértani sorozat első és negyedik tagjának! Igazolja, hogy az alaplap átlójának hossza ennek a sorozatnak második tagja!
Egy pozitív számokból álló mértani sorozat első három tagja: a, b, c. Ha az első két tag változatlanul hagyása mellett a harmadik tagot (a + 2b)-vel csökkentjük, akkor egy számtani sorozat első három tagjához jutunk. Az a, b + 9, c számok ebben a sorrendben ugyancsak egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Határozza meg az a, b és c számokat!
Az )( na mértani és a )( nb számtani sorozatnak is 1 az első tagja, és mindkét sorozat hatodik tagja )1( . a) Sorolja fel mindkét sorozat első öt tagját! b) Milyen pozitív egész n-re lesz a két sorozat első n tagjának összege ugyanakkora?
Egy mértani sorozat első három tagjának összege 91. A hatodik, a hetedik és a nyolcadik tag összege 2912. Hány tizenhárom-jegyű tagja van a sorozatnak?
Az { }na , { }nb és { }nc egész számokból álló mértani sorozatok. Az egyes sorozatok hányadosai és bizonyos tagjai között a következő összefüggések érvényesek: (1) 1a , 1b és 1c ebben a sorrendben egy olyan mértani sorozat egymást követő tagjai, amelynek 2 a hányadosa (kvóciense) (2) az { }na , { }nb és { }nc sorozatok hányadosai ebben a sorrendben egy olyan számtani sorozat szomszédos tagjai, amelynek 1 a különbsége (differenciája) (3) 24222 =++ cba (4) 84321 =++ ccc . Adja meg mindhárom eredeti mértani sorozat első három tagját!
Az ENSZ 1996-ban megjelent táblázatának egy részlete a nyolc legnagyobb népesség- számú ország népességi adatait tartalmazza 1988-ban, és egy népesedésdinamikai modell előrejelzése alapján 2050-ben. 1988 2050 (előrejelzés) Sorrend Ország Népességszám (millió fő) Ország Népességszám (millió fő) 1 Kína 1255 India 1533 2 India 976 Kína 1517 3 Egyesült Államok 274 Pakisztán 357 4 Indonézia 207 Egyesült Államok 348 5 Brazília 165 Nigéria 339 6 Oroszország 148 Indonézia 318 7 Pakisztán 147 Brazília 243 8 Japán 126 Banglades 218 (World Population Prospects: The 1996 Revision) Feltételezzük, hogy Pakisztán lakossága 1988 és 2050 között minden évben ugyanannyi százalékkal nő, mint amennyi százalékkal az előző évben növekedett. a) Ezzel a feltételezéssel élve - millió főre kerekítve - hány lakosa lesz Pakisztán- nak 2020-ban? (Az évi százalékos növekedés két tizedesjegyre kerekített értéké- vel számoljon!) b) A táblázat mindkét oszlopában szereplő országok népességi adataira vonatko- zóan mennyivel változik az átlagos lakosságszám és a medián 1988 és 2050 kö- zött? (Válaszát millió főben, két tizedesjegyre kerekítve adja meg.)
A főiskolások műveltségi vetélkedője a következő eredménnyel zárult. A versenyen in- duló négy csapatból a győztes csapat pontszáma 3 4 -szorosa a második helyen végzett csapat pontszámának. A negyedik, harmadik és második helyezett pontjainak száma egy mértani sorozat három egymást követő tagja, és a negyedik helyezettnek 25 pontja van. A négy csapatnak kiosztott pontok száma összesen 139. a) Határozza meg az egyes csapatok által elért pontszámot! Mind a négy csapatnak öt-öt tagja van. A vetélkedő után az induló csapatok tagjai kö- zött három egyforma értékű könyvutalványt sorsolnak ki (mindenki legfeljebb egy utal- ványt nyerhet). b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy az utalványokat három olyan főiskolás nyeri, akik mindhárman más-más csapat tagjai?
a) Adott az 1253 7 1 7 1 7 1 7 1 = nna K , + Nn sorozat. Melyik az a legnagyobb n természetes szám, amelyre 50 49 >na ? b) Adott a 1253 7 1 7 1 7 1 7 1 ++++= nnb K , + Nn sorozat. Számítsa ki a n n b lim határértéket!
A Robotvezérelt Elektromos Kisautók Nemzetközi Versenyén a versenyzők akkumulá- torral hajtott modellekkel indulnak. A magyar versenyautó az első órában 45 kilométert tesz meg. Az akkumulátor teljesítményének csökkenése miatt az autó a második órában kevesebb utat tesz meg, mint az első órában, a harmadik órában kevesebbet, mint a másodikban, és így tovább: az indulás utáni n-edik órában megtett útja mindig 95,5%-a az (n - 1)-edik órában megtett útjának ( Nn és 1>n ). a) Hány kilométert tesz meg a 10. órában a magyarok versenyautója? Válaszát egész kilométerre kerekítve adja meg! A versenyen több kategóriában lehet indulni. Az egyik kategória versenyszabályai lehe- tővé teszik az akkumulátorcserét verseny közben is. A magyar csapat mérnökei kiszámí- tották, hogy abban az órában még nem érdemes akkumulátort cserélni, amelyikben az autó legalább 20 km-t megtesz. b) Az indulástól számítva legkorábban hányadik órában érdemes akkumulátort cserélni? A Végkimerülés kategóriában a résztvevők azon versenyeznek, hogy akkumulátor- csere és feltöltés nélkül mekkora utat tudnak megtenni az autók. A világrekordot egy japán csapat járműve tartja 1100 km-rel. c) Képes-e megdönteni a magyar versenyautó a világrekordot a Végkimerülés kategóriában?
a) Egy bank olyan hitelkonstrukciót ajánl, amelyben napi kamatlábat számolnak úgy, hogy az adott hitelre megállapított éves kamatlábat 365-tel elosztják. Egy adott évben a hitelfelvételt követően minden napra kiszámolják a napi kamat értékét, majd ezeket december 31-én összeadják és csak ekkor tőkésítik (azaz a felvett hitel értékéhez adják). Ez a bank egy adott évben évi 8%-os kamatlábat állapított meg. Éva abban az év- ben a március 1-jén felvett 40 000 Ft után október 1-jén újabb 40 000 Ft hitelt vett fel. A két kölcsön felvétele után mennyi kamatot tőkésít a bank december 31-én? (A hitelfelvétel napján és az év utolsó napján is számítanak napi kamatot.) b) Ádám is vett fel hiteleket ettől a banktól évi 8%-os kamatos kamatra. Az egyik év január 1-jén éppen 1 000 000 Ft tartozása volt. Több hitelt nem vett fel, és attól kezdve 10 éven keresztül minden év végén befizette az azonos összegű törlesztő- részletet. (A törlesztőrészlet összegét a bank már az éves kamattal megnövelt tar- tozásból vonja le.) Mekkora volt ez a törlesztőrészlet, ha Ádám a 10 befizetés után teljesen visszafi- zette a felvett hitelt? Válaszát ezer forintra kerekítve adja meg!
Egy 1 méter oldalú négyzetbe egy második négyzetet rajzoltunk úgy, hogy a belső négyzet minden csúcsa illeszkedjen a külső négyzet egy-egy oldalára. A belső és a külső négyzet oldalainak aránya 5 : 7. a) Milyen arányban osztja két részre a belső négyzet csúcsa a külső négyzet oldalát? Az arány pontos értékét adja meg! A belső négyzetbe egy újabb, harmadik négyzetet rajzolunk úgy, hogy a harmadik és a második négyzet oldalainak aránya is 5 : 7. Ezt az eljárást aztán gondolatban végtelen sokszor megismételjük. b) Mekkora lesz a kapott négyzetek kerületeinek az összege, ha a kiindulási négyzet kerülete is tagja a (végtelen sok tagú) összegnek?
a) Egy mértani sorozat első tagja 32, a hányadosa pedig 128 1 . Igazolja, hogy akármennyi egymást követő tagját adjuk össze a sorozatnak az első taggal kezdve, az összeg nem haladhatja meg a 32,5 értéket! b) Az { }na olyan mértani sorozat, amelynek 128 1 az első tagja, a hányadosa pedig 32. Milyen pozitív n egész számra teljesül az n naaaa 3 321 2048... = egyenlőség?
Az ABCDEF szabályos hatszögben a rövidebb átló hossza 25 . a) Számítsa ki a hatszög területének pontos értékét! b) Az ABCDEF hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét jelölje 1t , a 1t területű hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét 2t , és így tovább, képezve ezzel a { }nt sorozatot. Számítsa ki a ( )n n ttt +++ ...lim 21 határértéket! (Pontos értékekkel számoljon!)
Egy növekvő számtani sorozat első három tagjából álló adathalmaz szórásnégyzete 6. a) Igazolja, hogy a sorozat differenciája 3-mal egyenlő! András, Barbara, Cili, Dezső és Edit rokonok. Cili 3 évvel idősebb Barbaránál, Dezső 6 évvel fiatalabb Barbaránál, Edit pedig 9 évvel idősebb Cilinél. Dezső, Barbara és Edit életkora (ebben a sorrendben) egy mértani sorozat három egymást követő tagja, András, Barbara és Cili életkora (ebben a sorrendben) egy számtani sorozat három szomszédos tagja. b) Hány éves András? András, Barbara, Cili, Dezső, Edit és Feri moziba mennek. c) Hányféleképpen foglalhatnak helyet hat egymás melletti széken úgy, hogy a három lány ne három egymás melletti széken üljön?
Egy játékban minden játékos ugyanakkora kezdő pontszámmal indult, amely érték a já- ték fordulói során növekedhetett vagy csökkenhetett. Rita és Péter jól játszottak, mert mindketten folyamatosan nyertek, így növekedett a pontszámuk. Érdekes módon Rita pontszáma fordulóról fordulóra ugyanannyiszorosára nőtt, és ez igaz volt Péterre is, bár Péter esetében nagyobb volt a növekedés mértéke. Az első forduló után Péternek 20-szal több pontja volt, mint Ritának, a második után már 70 ponttal vezetett Rita előtt, a harmadik forduló után pedig már 185 pont volt a különbség a javára. Mekkora volt a közös kezdő pontszám értéke?
Egy kereskedőcég bevételei két forrásból származnak: bolti árusításból és internetes el- adásból. Ebben az évben az internetes árbevétel 70%-a volt a bolti árbevételnek. A cég vezetői arra számítanak, hogy a következő években az internetes eladásokból származó árbevétel évente az előző évi internetes árbevétel 4%-ával nő, a bolti eladásokból szár- mazó árbevétel viszont évente az előző évi bolti árbevétel 2%-ával csökken. a) Számítsa ki, hány év múlva lesz a két forrásból származó árbevétel egyenlő! A cég ügyfélszolgálatának hosszú időszakra vonatkozó adataiból az derült ki, hogy át- lagosan minden nyolcvanadik vásárló tér vissza később valamilyen minőségi kifogással. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy 100 vásárló közül legfeljebb kettőnek lesz később minőségi kifogása!
Egy olajkút meghibásodása miatt a tenger felületén összefüggő olajfolt keletkezett. A szakemberek műholdak segítségével 15 percenként megmérték a folyamatosan nö- vekvő olajfolt területét, és úgy tapasztalták, hogy az minden alkalommal 2%-kal na- gyobb, mint az előző érték volt. a) Ha az első megfigyeléskor 400 m2 volt az olajfolt kiterjedése, akkor mekkora lesz a területe egy nap múlva? A sérült olajkutat végül sikerült elzárni, így az olajfolt területének növekedése megállt. Ekkor kezdték meg az olajszennyezés eltávolítását. A környezetvédelmi hatóság a 12 400 m2 területű olajfolt megszüntetésére 31 napos határidőt szabott meg. Az első na- pon még csak 130 m2 -ről sikerült eltávolítani az olajfoltot (így a területe 12 270 m2 lett), de a teljesítményt növelni tudták: az egy nap alatt megtisztított terület mérete minden nap ugyanakkora értékkel nőtt. b) Mekkora ez a napi növekedés, ha pontosan az előírt határidőre sikerült a 12 400 m2 -es olajfolt teljes eltávolítása?
a) Egy számtani sorozat differenciája 1,6. A sorozat első, harmadik és hetedik tagját (az adott sorrendben) tekinthetjük egy mértani sorozat első három tagjának is. Ha- tározza meg ezt a három számot! Tekintsük a következő állítást: Ha az {an} számsorozat konvergens, akkor az {a n} sorozat értékkészlete véges szám- halmaz. (Véges halmaz: elemeinek száma megadható egy természetes számmal.) b) Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását, és döntse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja!
a) Egy számtani sorozat első tagja 4, differenciája 5. Egy mértani sorozat első tagja 3, hányadosa 2. Az 1000-nél kisebb pozitív egészek közül egyet véletlenszerűen kiválasztunk. Mek- kora a valószínűsége, hogy olyan számot választottunk, amely tagja valamelyik so- rozatnak? Válaszát q p alakban adja meg úgy, hogy p és q pozitív egészek és relatív prímek legyenek! b) Három teljes gráf pontjainak száma egy növekvő számtani sorozat három egymást követő tagja. Igazolja, hogy a három gráf éleinek száma ekkor nem lehet egy szám- tani sorozat három egymást követő tagja! (Teljes gráf: olyan egyszerű gráf, melynek bármely két pontja között van él.)
Egy baktériumtenyészet szaporodását laboratóriumi körülmények között vizsgálják. Az első órában 4 mikrocellát fertőznek meg baktériumokkal. A második órában a baktériu- mok szaporodni kezdenek, így további 3 cella fertőződik meg. A megfigyelés szerint ez- után szabályszerűvé válik a baktériumok szaporodása: minden órában annyi új fertőzött cella keletkezik, ahány korábban összesen volt. (A harmadik órában 4 + 3 = 7 új fertőzött mikrocella keletkezik, a negyedik órában 14, és így tovább.) a) Ha a baktériumok szaporodásához továbbra is biztosítanák a megfelelő körülménye- ket, akkor az összes fertőzött mikrocella száma hányadik órában haladná meg a tíz- milliót? A biológiaórán egy kezdetben tízmilliós baktériumhalmaznak a környezethez való alkal- mazkodását modellezik a tanulók. Egy szabályos dobókockával dobnak, és ha a dobás eredménye 1, 2 vagy 3, akkor egymillió baktérium elpusztul. Ha a dobás eredménye 4 vagy 5, akkor nem történik semmi. Ha a dobás eredménye 6, akkor újabb egymillió baktérium keletkezik. A dobást többször egymás után megismétlik. b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy hét dobás után a baktériumok száma leg- feljebb ötmillió lesz!
Járványos időszakban egy nagyváros lakóinak 0,2%-a fertőzött a járványt okozó vírussal. Ebben az időszakban a város lakói közül 80-an ugyanazon az autóbuszon utaznak. a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy az autóbusz 80 utasa között van legalább egy fertőzött? Válaszát két tizedesjegyre kerekítve adja meg! A járvány terjedésére vonatkozó előrejelzések szerint a nagyvárosban a fertőzöttek száma minden nap az előző napi érték 105%-ára növekszik. b) Ha a növekedés üteme az előrejelzés szerint alakulna, akkor hány nap alatt emel- kedne a város összlakosságának 0,2%-áról az összlakosság 1%-ára az összes fertő- zött száma? Egy kereskedelmi forgalomban is kapható gyorsteszt azt ígéri a felhasználóknak, hogy a teszt kimutatja a vírusfertőzést. A termék leírásában ez áll: A teszt a vírussal fertőzött embereknél 99% valószínűséggel mutatja ki a fertőzöttséget. A vírussal nem fertőzött em- berek esetében olykor szintén fertőzöttséget jelez a teszt, ám ennek a téves jelzésnek a valószínűsége mindössze 4%. c) Tudjuk, hogy a város lakosságának 0,2%-a fertőzött a járványt okozó vírussal. Mutassa meg, hogy ha egy véletlenszerűen választott városlakó gyorstesztje fertő- zöttséget mutat, akkor 0,05-nál kisebb annak a valószínűsége, hogy a tesztalany va- lóban vírusfertőzött (tehát a gyorsteszt nem a fertőzöttség megbízható kimutatására alkalmas)!
A laptopokban is használt B típusú lítiumion-akkumulátorok töltéskapacitása minden teljes töltési ciklusnál az előző értékének körülbelül 0,06%-ával csökken. a) Hány százalékkal csökkent az új akkumulátor töltéskapacitása, ha 350 teljes töltési ciklust végeztek vele? Egy B típusú akkumulátorral minden évben körülbelül 200 teljes töltési ciklust végeznek. (Tételezzük fel, hogy két töltési ciklus között mindig ugyanannyi idő telik el.) b) Mennyi a felezési ideje a kezdetben új akkumulátor töltéskapacitásának (azaz töltési kapacitása mennyi idő alatt csökken a felére)? Egy használt laptop-akkumulátorokat árusító üzletben a 25 azonos típusú akkumulátor töltéskapacitása 60% és 80% között van, de közülük csak 10-nek kisebb a töltéskapacitása 70%-nál. Egy vevő a 25 akkumulátor közül hármat vásárol meg. c) Ha a három akkumulátort véletlenszerűen választja ki, akkor mennyi a valószínű- sége annak, hogy legfeljebb az egyiknek lesz 70%-nál kisebb a töltéskapacitása?
a) Egy síkbeli négyszög szögei (fokban mérve) egy olyan mértani sorozat egymást kö- vető tagjai, amelynek hányadosa 3. Határozza meg a négyszög szögeit! b) Egy konvex sokszög szögei (fokban mérve) egy olyan számtani sorozat egymást követő tagjai, amelynek első tagja 143, differenciája 2. Határozza meg a sokszög oldalainak számát!
a) Egy mértani sorozat hányadosa 1 4 , a sorozat első öt tagjának összege 852,5. Hatá- rozza meg a sorozat első tagját! Számításai során ne használjon közelítő értéket! b) Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 852,5 első tíz tagjának összege pedig 2330. Számítsa ki a sorozat első tagját és differenciáját!
a) Egy mértani sorozat negyedik tagja 12, a kilencedik tagja 384. Számítsa ki a sorozat első hat tagjának az átlagát, és az átlagtól mért átlagos abszolút eltérését! b) Hány olyan pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek szorzata és összege is 12?
a) Igazolja, hogy nincs olyan 2-nél nagyobb n egész szám, melyre 1 n , 2 n és 3 n (ebben a sorrendben) egy mértani sorozat egymást követő tagjai! b) Határozza meg azokat az 5-nél nagyobb n egész számokat, melyekre 4 n , 5 n és 6 n (ebben a sorrendben) egy számtani sorozat egymást követő tagjai!
Az {a n} számtani sorozat első és harmadik tagjának összege 26, a második és negyedik tagjának összege pedig 130. a) Adja meg a sorozat ötödik tagját! A {b n} mértani sorozat első és harmadik tagjának összege 26, a második és negyedik tagjának összege pedig 130. b) Adja meg a sorozat ötödik tagját!
a) Igazolja, hogy 2 2 1 1 2( 1) 1 n nn = ++ (n N+ ). b) Számítsa ki az 2 2 ( 1) 1 na n = + sorozat első négy tagjának az összegét! Válaszát a b alakban adja meg, ahol a és b relatív prím pozitív egész számok! c) Határozza meg a 1 2lim ( ... )n n a a a + + + határértéket!
Tekintsük az (a n) sorozatot: 1 2 1 2 a = = , 2 3 3 2 a = = , 3 4 6 2 a = = és így tovább, 1 2 n n a + = (n N+ ). a) Számítsa ki az (a n) sorozat első öt tagjából álló számsokaság átlagát és szórását! b) A fenti (a n) sorozatból képezzük a (bn) sorozatot: 1n n n a b a + = . Mennyi a (bn) sorozat határértéke? A (c n) számtani sorozat differenciája 0,25. A sorozat első n tagjának összege 100, első 2n tagjának összege 300 (n N+ ). c) Határozza meg n értékét!
a) Egy számtani sorozat első tagja 5, differenciája 3, az első n tag összege pedig 4900. Határozza meg n értékét! b) Egy mértani sorozat első és második tagjának összege 6, harmadik és negyedik tag- jának összege pedig 96. Adja meg a sorozat első tagját és hányadosát!
Egy háromszög három oldalának hossza (valamilyen sorrendben) tekinthető egy mértani sorozat három szomszédos tagjának. Két oldal hosszát ismerjük, az egyik 12 cm, a másik 27 cm. a) Milyen hosszú lehet a harmadik oldal? Az ABC derékszögű háromszög befogóinak hossza AC = 30 egység és BC = 40 egység. Megrajzoljuk a derékszögű csúcsból induló magasságvonalat, szögfelezőt és súlyvonalat. Ezek metszéspontját az átfogóval jelölje rendre P, Q és R. b) Írja fel egész számokkal az AP : PQ : QR : RB arányt! Pontos értékekkel számoljon!
Egy számtani sorozat 20. tagja 108. A sorozat első 20 tagjának összege 1115. a) Számítsa ki a sorozat első tagját és differenciáját! Egy mértani sorozat első tagja 3, és hányadosa is 3. A sorozat első n tagjának szorzata 3 . 435 b) Számítsa ki n értékét!
Legyen f a valós számok halmazán értelmezett függvény, ahol f ( ) x x 2 . a) Határozza meg a és b értékét, ha ( ) 63 b a f x és f ( ) a b . Legyen h a valós számok halmazán értelmezett függvény, ahol h(x) x2 + px + r. b) Határozza meg p és r értékét, ha h(1), h(3) és h(4) (ebben a sorrendben) egy számtani, h(1), h(2) és h(4) pedig (ebben a sorrendben) egy mértani sorozat egymást kö- vető tagjai!
Egy mértani sorozat n-edik tagja 2 1 2 n an (n Z+). a) Határozza meg azt a legkisebb n értéket, amelyre an 10 7 teljesül! b) Határozza meg a mértani sorozat első 10 tagjának összegét! Válaszát k m alakban adja meg, ahol k és m relatív prímek! A {bn} sorozat n-edik tagja 2 2 1 2 n bn (n Z+). c) Igazolja, hogy (minden pozitív egész n-re) 2 0
Egy cipőboltban novemberben három pár cipő összesen 45 000 Ft-ba került. Egy kará- csonyi akció keretében, ha valaki három pár cipőt egyszerre vásárolt, akkor a legolcsóbbat 50%, a második legolcsóbbat pedig 20% kedvezménnyel vehette meg (a legdrágább cipőre nem járt kedvezmény). Ebben az akcióban ugyanezért a három pár cipőért így öszszesen már csak 37 000 Ft-ot kellett fizetni. Karácsony elmúltával az akció véget ért, és a legolcsóbb cipő árát – a novemberi árához képest – 30%-kal megemelték, így a három pár cipő ekkor összesen 48 000 Ft-ba került. a) Határozza meg mindhárom pár cipő novemberi árát! Négy szám közül az első három szám egy számtani, az utolsó három szám pedig egy mértani sorozat egymást követő három tagja. Az első szám a 3, a negyedik szám a 25. b) Határozza meg a másik két számot!
44/46. | | E2025/2/4. | 14p | X | HUDEENFRITSKSPSR
Bence a történelmi évszámokat tanulva észrevette, hogy három évszám egy mértani sorozat három egymást követő tagja. A három szám közül a legkisebb a 732, a legnagyobb pedig az 1647. a) Melyik a középső évszám? Bence tíz matematikajegyének átlaga és mediánja is 4, egyetlen módusza 5. (A jegyek egész számok, 1-től 5-ig.) b) Határozza meg Bence matematikajegyeit! Bence tízóraira három kürtőskalácsot vásárol a családnak. Az üzletben diós, fahéjas, kakaós és vaníliás kürtőskalács kapható. c) Hányféleképpen választhatja ki Bence a három kürtőskalácsot? (Egyféle ízből többet is vehet. Két kiválasztást különbözőnek tekintünk, ha legalább egy ízből különböző számú darabot választott a két esetben.)
45/46. | | E2025/2/5. | 16p | X | HUDEENFRITSKSPSR
a) Egy számtani sorozat harmadik tagja 5, tizenharmadik tagja 22. Határozza meg a sorozat első 100 tagjának összegét! b) Egy számtani sorozat első tagja 91, differenciája 2. Határozza meg azt az n pozitív egész számot, amelyre a sorozat első n tagjának összege n3. c) Egy mértani sorozat első tagja 1,6, hányadosa 2. Az első tagtól kezdve legalább hány tagot kell összeadni, hogy az összeg nagyobb legyen egymilliárdnál?
a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 9 78 3 3 0 x x 1 1 b) A {bn} mértani sorozat második tagja 48, ötödik tagja 162. Határozza meg n értékét úgy, hogy bn > 10 000 000 teljesüljön!
mértani sorozat 
geometrische Folge 
geometric sequence 
