a) Döntse el, hogy az alábbi négy állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Válaszát írja a táblázatba! A: Egy 6 pontot tartalmazó teljes gráfnak 15 éle van. B: Ha egy teljes gráfnak páros számú éle van, akkor a pontok száma is páros. C: Ha egy 51 pontú gráfban nincs kör, akkor legfeljebb 50 éle lehet. D: Nincs olyan 6 pontú gráf, amelyben a fokszámok összege 11. A B C D b) Ha valaki sohasem hallott a gráfokról, és mégis kitölti a fenti táblázatot, akkor mekkora valószínűséggel lesz helyes mind a négy válasza? c) Tagadja az alábbi mondatot: Nincs olyan szerelem, aki el nem múlik. (Népdalgyűjtés) d) Fogalmazzon meg egy olyan szöveges feladatot, amelynek a megoldása így számítható ki: 2 17 .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1116

Az ABC háromszög oldalai AB = 42, BC = 40 és CA = 26. Írjunk téglalapot a háromszögbe úgy, hogy a téglalap egyik oldala illeszkedjen a háromszög AB oldalára, másik két csúcsa pedig a háromszög CA, illetve BC oldalára essen. Tekintsük az így beírható téglalapok közül a legnagyobb területűt! Mekkorák ennek a téglalapnak az oldalai?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1123

A dominókészleten a dominókövek mindegyikén az egy-egy térfélen elhelyezett pöttyök száma 0-tól egy megengedett maximális értékig bármilyen természetes szám lehet. A dominókövek két felén e számok minden lehetséges párosítása szerepel. Nincs két egyforma kő a készletben. a) Igazolja, hogy ha a pöttyök maximális száma 7, akkor a dominókészlet 36 kőből áll. b) A 36 kőből álló dominókészletből véletlenszerűen kiválasztottunk egy követ. Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott kő két térfelén lévő pöttyök számának összege 8? c) A 36 kőből álló dominókészletből ezúttal két követ választottunk ki véletlenszerűen. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két dominókő a játék szabályai szerint egymáshoz illeszthető? (Két dominókő összeilleszthető, ha van olyan térfelük, amelyen a pöttyök száma ugyanannyi.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4333

Kartonpapírból kivágtunk egy 1,5 dm magasságú ABC szabályos háromszöglapot. A háromszöglapon párhuzamost húztunk a háromszög mindegyik oldalával, mindegyiktől ugyanakkora, 0,5 deciméternél kisebb x távolságra. Ezek az egyenesek az 111 CBA szabályos háromszög oldalegyenesei. a) Írja fel az 111 CBA háromszög területét x függvényében! b) Szeretnénk egy 111 CBA alapú, x magasságú, felül nyitott egyenes hasáb alakú íróasztali tolltartót létrehozni a lapból, ezért levágtuk a fölösleget, majd az 111 CBA háromszög élei mentén felhajtottuk a hasáb oldallapjait. Mekkora x esetén lesz a keletkezett hasáb térfogata maximális?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4334

Legyen adott az f : [ ]5,2 5,2 R, xxxf 3)( 3 = függvény. a) Határozza meg az f függvény zérushelyeit! b) Vizsgálja meg az f függvényt monotonitás szempontjából! c) Adja meg az f függvény legnagyobb és legkisebb értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1146

A világhírű GAMMA együttes magyarországi koncertkörútja során öt vidéki városban lépett fel. Az alábbi táblázat tartalmazza a körút néhány üzleti adatát. város fizető nézők száma egy jegy ára (Ft) bevétel a jegyeladásból (ezer Ft) Debrecen 12350 14820 Győr 8760 12264 Kecskemét 1600 22272 Miskolc 9970 1500 Pécs 1300 15405 a) A koncertturné során melyik városban adták el a legtöbb jegyet? b) Mennyi volt az összes eladott jegy átlagos ára? Bea elment Budapesten a GAMMA együttes koncertjére, és becslése szerint ott 50 000 ember hallgatta a zenét. Peti Prágában volt ott az együttes koncertjén, ahol a nézők számát 60 000 főre becsülte. A GAMMA együttes menedzsere, aki ismerte a tényleges nézőszámokat, elárulta, hogy: Budapesten a tényleges nézőszám nem tér el 10 %-nál többel a Bea által adott becsléstől. Peti becslése nem tér el 10 %-nál többel a tényleges prágai nézőszámtól. c) Mekkora a budapesti nézőszám és a prágai nézőszám közötti eltérés lehetséges legnagyobb értéke, a kerekítés szabályainak megfelelően ezer főre kerekítve? d) A fenti adatok ismeretében előfordulhatott-e, hogy Budapesten és Prágában ugyanannyi ember volt a GAMMA együttes koncertjén?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1151

Egy középkori, román stílusban épült templom tornyának tetőrésze egy olyan négyoldalú szabályos gúla, amelynek alapéle ugyanolyan hosszú, mint az oldaléle. A felújítás alkalmával ebben a tetőrészben egy olyan maximális méretű kocka alakú helyiséget alakítottak ki, amelynek járószintje a gúla alaplapján van, mennyezetének sarkai a gúla oldaléleire illeszkednek. a) Mekkora a tetőtéri helyiség alapterülete, ha a gúla élei 8 m hosszúak? b) A toronytető légterének hány százalékát foglalja el ez a helyiség?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1164

Egy gimnázium alapítványának kuratóriuma úgy döntött, hogy elindít egy lottójátékot, amelynek bevételéből bizonyos részt a nyereményekre, bizonyos részt jótékonysági célokra fordít. Ebben a játékban heti rendszerességgel az első 40 pozitív egész számból húznak ki véletlenszerűen négyet. András a következő módon választja ki azokat a számokat, amelyeket megjátszik ezen a lottón: az első két szám kiválasztása után harmadiknak az első két szám összegét, negyediknek pedig az első három szám összegét választja. a) Legfeljebb mekkorának választhatja András a legkisebb számot? b) Ha András a legkisebb számot a lehető legnagyobbnak választja meg, akkor melyik számok szerepelhetnek a helyesen kitöltött szelvényen? c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy Andrásnak telitalálata lesz, ha az egyik héten a fenti szabálynak megfelelő minden egyes számnégyest pontosan egyszer megjátszik?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1168

Három ponthalmazt vizsgálunk a derékszögű koordináta-rendszer (S) síkjában. Az A halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 1834 yx , azaz ( ){ }1834 : = yxSyxPA a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 0124622 ++ yxyx , azaz ( ){ }01246 : 22 ++= yxyxSyxPB a C halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 42 =y , azaz ( ){ }4 : 2 == ySyxPC . a) Ábrázolja közös koordináta-rendszerben a három halmazt! Fogalmazza meg, milyen geometriai alakzatot alkotnak az A, a B és a C halmaz pontjai! b) Ábrázolja újabb koordináta-rendszerben a AB halmazt! Fogalmazza meg pontosan, hogy milyen geometriai alakzatot alkot ez a ponthalmaz? c) Ábrázolja a CB I halmazt! Ennek a ponthalmaznak melyik P(x y) pontja van a legközelebb illetve a legtávolabb a koordináta-rendszer origójától?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1182

Az f függvényt a [0 5] intervallumon értelmezzük: f(x) = 3cos x cos (x). a) Döntse el az alábbi állításokról, hogy igazak-e? A válaszait indokolja! Az f függvény korlátos. Az f függvény minimumhelye és legnagyobb értéke is irracionális szám. b) Mekkora területű síkidomot határol az x tengely [0 5] intervalluma az y tengely [0 f(0)] intervalluma az x = 5 egyenes [0 f(5)] intervalluma és az f függvény görbéje?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1212

a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az xkxxxf 9)( 23 ++= képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl.) Számítsa ki, hogy k mely értéke esetén lesz 1=x lokális szélsőérték-helye a függvénynek! Állapítsa meg, hogy az így kapott k esetén 1=x a függvénynek lokális maximumhelye, vagy lokális minimumhelye! Igazolja, hogy a k ezen értéke esetén a függvénynek van másik lokális szélsőérték-helye is! b) Határozza meg a valós számok halmazán a 23 9)( xxxg = képlettel értelmezett g függvény inflexiós pontját!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1225

A tengerparton néhány perccel 12 óra előtt felbocsátottak egy meteorológiai léggömböt, ami a tenger felé sodródva emelkedett. A léggömbön a magasságmérő 842 métert jelzett, amikor Aladár és Béla a tengerparton szögmérő műszerekkel bemérte a léggömb helyzetét pontban 12 órakor. Aladár azt állapította meg, hogy a léggömb 45°-os emelkedési szögben (a vízszintes síkkal bezárt szög) látszik, a léggömb és Béla helyét összekötő szakasz látószöge pedig 60°-os. Béla a léggömböt 30°-os emelkedési szögben látta. a) Milyen messze volt egymástól a két szögmérő műszer? b) Az Aladár és Béla helyét összekötő szakaszon lévő pontok közül a P pontból láthatták volna maximális emelkedési szögben a léggömböt 12 órakor. Igazolja, hogy P az ABT háromszög T-re illeszkedő magasságának talppontja! c) Milyen magasan volt a léggömb 12 óra 30 perckor, amikor a léggömbön lévő légnyomásmérő műszer a tengerszinten lévő légnyomás 80%-át mutatta? A légnyomás a tengerszint feletti magasság függvényében a ( ) hC ephp 0= képlet alapján számolható, ahol h a méterben mért tengerszint feletti magasságot, p0 a tengerszinten lévő légnyomást (ezt tekinthetjük 105 Pascalnak), e a természetes logaritmus alapszámát (e2,718), C egy tapasztalati konstanst jelent ( 7992 1 =C )

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1241

A könyvkiadó szerkesztője egy könyv nyomtatási formáját tervezi. Minden lap alsó, felső és külső szélén kettő centiméteres margót szeretne hagyni, a belső szélen a kötés miatt négy centiméterest. A teljes lap területe 600 cm2 . a) Mekkorák legyenek a lap méretei, ha a szerkesztő a lehető legnagyobb nyomtatási területet szeretné elérni a lapokon? b) A nyomtatott oldalak száma 120, és a nyomtatott oldalak számozása 3-mal kezdődik. Ha véletlenszerűen kiválasztunk egy nyomtatott oldalt, mekkora valószínűséggel lesz az oldalszámban 2-es számjegy?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1242

Egy urnában 5 azonos méretű golyó van, 2 piros és 3 fehér. Egyesével, és mindegyik golyót azonos eséllyel húzzuk ki az urnából a bent levők közül. a) Hány különböző sorrendben húzhatjuk ki az 5 golyót, ha a kihúzott golyót nem tesszük vissza, és az azonos színű golyók nem különböztethetők meg egymástól? b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az utolsó (ötödik) húzás előtt az urnában egy darab fehér golyó marad? Az eredeti golyókat tartalmazó urnából hatszor húzunk úgy, hogy a kihúzott golyót minden húzás után visszatesszük. c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a hat húzásból legfeljebb kétszer húzunk piros golyót? (A valószínűséget három tizedesjegyre kerekített értékkel adja meg!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4361

Egy középiskola 12. osztályának egyik csoportjában minden tanuló olyan matematika dolgozatot írt, amelyben 100 pont volt az elérhető maximális pontszám. A csoport eredményéről a következőket tudjuk: 5 tanuló maximális pontot kapott a dolgozatára, minden tanuló elért legalább 60 pontot, és a dolgozatok pontátlaga 76 pont volt. Minden tanuló egész pontszámmal értékelt dolgozatot írt. a) Legalább hányan lehettek a csoportban? b) Legfeljebb hány diák dolgozata lehetett 60 pontos, ha a csoport létszáma 14? A 14 fős csoportból Annának, Balázsnak, Csabának, Dorkának és Editnek lett 100 pontos a dolgozata. Pontosan hatan írtak 60 pontos dolgozatot, és csak egy olyan tanuló volt, akinek a pontszáma megegyezett az átlagpontszámmal. c) Hányféleképpen valósulhatott ez meg? (A csoport két eredményét akkor tekintjük különbözőnek, ha a csoport legalább egy tanulójának különböző a dolgozatra kapott pontszáma a két esetben.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4362

A K középpontú és R sugarú kört kívülről érinti az O középpontú és r sugarú kör (R>r). A KO egyenes a nagy kört A és E, a kis kört E és D pontokban metszi. Forgassuk el a KO egyenest az E pont körül hegyesszöggel! Az elforgatott egyenes a nagy kört az E-től különböző B pontban, a kis kört C pontban metszi. a) Készítsen ábrát! Igazolja, hogy az ABDC négyszög trapéz! b) Igazolja, hogy az ABC háromszög területe 2sin)( += rRRt ! c) Mekkora szögnél lesz az ABC háromszög területe maximális, adott R és r esetén?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1257

Egy forgáskúp alapkörének átmérője 10 cm, alkotója 13 cm. Írjon ebbe egy olyan, a kúppal közös szimmetriatengelyű forgáshengert, amelynek alaplapja a kúp alaplapjára illeszkedik, és térfogata maximális! Mekkora ennek a hengernek a sugara?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1272

István örömmel mesélte Péter barátjának, hogy egy négyszög alakú telket vett, amire majd házat akar építeni. Elmondása szerint a négyszög egyik szöge derékszög, és az ezt közrefogó mindkét oldal 20,0 m hosszú. A telek másik két oldala is egymással egyenlő hosszú, ezek °120 -os szöget zárnak be. a) Hány méter hosszú drót szükséges az üres telek bekerítéséhez? Mekkora házat szeretnél rá építeni? - kérdezte Péter. Négyzet alapú sarokházat, és körülbelül 100 m2 alapterületűt. Úgy gondoltuk a párommal, hogy a házat a derékszögű sarokba építtetjük - válaszolt István. Ha jól képzelem el a telek alakját, akkor az nagyon furcsa alakú lehet. Oda még egy kis faház sem fér el - szólt nevetve Péter. b) Rajzolja le, hogy milyen alakú az István által megvett telek, és milyennek képzelte el Péter! c) Legfeljebb mekkora alapterületű, négyzet alapú sarokház férne el a telek derék- szögű sarkába az egyik és mekkora a másik esetben? (Válaszát m2 -re kerekítve adja meg!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4373

Jancsi vázát készít. Egy 10 cm sugarú, belül üreges gömbből levágott m magasságú (m > 10) gömbszelet határoló köréhez egy szintén m magasságú hengerpalástot ragaszt. A henger sugara megegyezik a gömbszeletet határoló kör sugarával. Mekkorának válassza Jancsi a gömbszelet m magasságát, hogy a vázába a lehető leg- több víz férjen? (A váza anyaga vékony, ezért a vastagságától eltekintünk, s hogy ne boruljon fel, egy megfelelő formájú üreges fatalpra fogják állítani.) Tudjuk, hogy ha a gömbszelet magassága m, a határoló kör sugara pedig r, akkor a térfogata: )3( 6 22 mrmV += .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4380

Legyen ( ) a a x a x a x xf ++= 234 23 , ahol a pozitív valós szám és x R. a) Igazolja, hogy ( ) a dxxf 0 = aa + 3 . b) Mely pozitív valós a számokra teljesül, hogy ( ) 0 0 a dxxf ? c) Az x mely pozitív valós értéke esetén lesz a ( ) xxxg += 3 függvénynek lokális (helyi) maximuma?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1285

Két európai nagyváros között egy repülőket üzemeltető társaság járatokat közlekedtet. Ezek a járatok legalább 10 utas esetén indulnak, és a gépek legfeljebb 36 utas szállítására alkalmasak. A társaság javítani szeretné a járatok kihasználtságát. Többek között mérlegelik a következő szabály szerinti üzemeltetést: 20 vagy annál kevesebb utas esetén fejenként 16 000 Ft-ért indítanak gépet. 20 fő feletti létszám esetén az összes utas számára annyiszor 400 Ft-tal csökken a 16 000 forintos viteldíj, amennyivel a létszám meghaladja a húszat. a) Adja meg annak a B függvénynek az )(xBx a hozzárendelési utasítását, amelynél x az utasok számát, B(x) pedig a társaság bevételét jelöli x utassal indított járat esetén! Mi a B függvény értelmezési tartománya? b) Hány utas esetén lesz a repülőtársaság bevétele egy járaton a legnagyobb, és mekkora ez a maximális bevétel?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1297

Egy kozmetikumokat gyártó vállalkozás nagy tételben gyárt egyfajta krémet. A termelés teljes havi mennyisége (x kilogramm) 100 és 700 kg közé esik, amelyet egy megállapo- dás alapján a gyártás hónapjában el is adnak egy nagykereskedőnek. A megállapodás azt is tartalmazza, hogy egy kilogramm krém eladási ára: (36-0,03x) euró. A krémgyártással összefüggő havi kiadás (költség) is függ a havonta eladott mennyiségtől. A krémgyártással összefüggő összes havi kiadást (költséget) a 0001312,300001,0 3 + xx összefüggés adja meg, szintén euróban. a) Számítsa ki, hogy hány kilogramm krém eladása esetén lesz az eladásból szár- mazó havi bevétel a legnagyobb! Mekkora a legnagyobb havi bevétel? b) Adja meg a krémgyártással elérhető legnagyobb havi nyereséget! Hány kilogramm krém értékesítése esetén valósul ez meg? (nyereség=bevétel-kiadás)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1316

Pali és Zoli közösen egy 60 m × 30 m-es, téglalap alakú telket vásárolt. A telket egymás között két olyan egybevágó derékszögű trapézra osztották fel, amelynek a rövidebb alapja 20 m. Jelölje EF a közös határvonalszakaszt! a) Számítsa ki a közös EF határvonal hosszát! (Az eredményt méterben, egy tizedes jegyre kerekítve adja meg!) A közös határvonalon Palinak kellett volna kerítést építtetni, de nem volt erre a célra pénze. Ezért Zolinak a következő ajánlatot tette: átad neki a telkéből egy háromszög alakú részt, ha Zoli csináltatja meg a telküket elválasztó kerítést. Zoli szerette volna telkének 20 m-es határát maximum 8 méterrel megnövelni, így elfogadta az ajánlatot, és az új közös határvonalnak az EG szakaszt jelölte meg. A telek négyzetméterének ára 30 000 Ft, a kerítés megépíttetésének költsége 15 000 Ft/m. Az egyéb felmerülő költségeket egyenlő arányban osztották meg. b) Legalább hány m hosszú legyen a FG szakasz, hogy Zoli járjon jobban? (Az eredményt egy tizedesre kerekítve adja meg!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1347

Egy játéküzemben fa elemekből álló építőkészletet gyártanak. Ha x darab készletet gyártanak naponta, akkor a teljes gyártási költség ( ) 30012 5 5,1 ++= x x xk euró. Egy készletet 18 euróért tudnak értékesíteni. a) Naponta hány készletet gyártson az üzem, hogy a haszon a lehető legnagyobb legyen? Mennyi ez a maximális haszon? b) Az építőkészlet egyik darabját úgy készítik, hogy egy 3 cm élhosszúságú kockának mind a nyolc csúcsát levágják egy-egy sík mentén úgy, hogy a fűrész a csúcsba futó mindhárom élt a csúcstól 1 cm távolságban vágja el. Az így kapott test térfogata hány százaléka az eredeti kocka térfogatának? A választ egész számra kerekítve adja meg! (A fűrészeléskor keletkező anyagveszteség elhanyagolható, számításaiban nem kell figyelembe vennie!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1348

Egy építőkészletben a rajzon látható négyzetes hasáb alakú elem is megtalálható. Két ilyen építőelem illeszkedését az egyik elem tetején kiemelkedő négy egyforma kis henger és a másik elem alján lévő na- gyobb henger szoros, érintkező kapcsolata biztosítja. (Ez azt jelenti, hogy a hengerek tengelyére merőleges síkmetszetben a nagyobb kört érinti a négy kisebb kör, amelyek középpontjai egy négyzetet hatá- roznak meg.) Tudjuk, hogy a kis hengerek sugara 3 mm, az egymás melletti kis hengerek tengelyének távolsága pedig 12 mm. a) Mekkora a nagyobb henger átmérője? Válaszát milliméterben, két tizedesjegyre kerekítve adja meg! A készletben az építőelemek kék vagy piros színűek. Péter 8 ilyen elemet egymásra rak úgy, hogy több piros színű van köztük, mint kék. Lehet, hogy csak az egyik színt hasz- nálja, de lehet, hogy mindkettőt. b) Hányféle különböző színösszeállítású 8 emeletes tornyot tud építeni? A gyárban (ahol ezeket az építőelemeket készítik) nagyon ügyelnek a pontosságra. Egymillió építőelemből átlagosan csupán 20 selejtes. András olyan készletet szeretne vásárolni, melyre igaz a következő állítás: 0,01-nál kisebb annak a valószínűsége, hogy a dobozban található építőelemek között van selejtes. c) Legfeljebb hány darabos készletet vásárolhat András?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1422

A bádogosüzemben téglalap alakú, 20 cm széles, 2,5 m hosszú vékony bádoglemezek- ből 2,5 m hosszú ereszcsatorna-elemeket készítenek az ábrán látható lekerekített szélű keresztmetszettel. a) A csatorna folytonos vonallal határolt keresztmetszetének területe 55 cm2 . Mekkora a negyedkörívek sugara (r), és milyen széles a csatorna (l)? Válaszait centiméterben, egy tizedes jegyre kerekítve adja meg! b) A tervezők maximális áteresztőképességre törekszenek. Igazolja, hogy ez abban az esetben valósul meg, ha l = 2r. Számítsa ki, hogy vízszintes helyzetben hány liter vizet képes befogadni egy csatornaelem, ha ilyen keresztmetszettel készítik el? (Válaszát egész literre kerekítve adja meg!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1437

Aranyékszerek készítésekor az aranyat mindig ötvözik valamilyen másik fémmel. A ka- rát az aranyötvözet finomsági fokát jelöli. Egy aranyötvözet 1 karátos, ha az ötvözet teljes tömegének 24 1 része arany, a k karátos aranyötvözet tömegének pedig 24 k része arany. Kata örökölt a nagymamájától egy 17 grammos, 18 karátos aranyláncot. Ebből két darab 14 karátos karikagyűrűt szeretne csináltatni. a) Legfeljebb hány gramm lehet a két gyűrű együttes tömege, ha aranytartalmuk összesen sem több, mint az aranylánc aranytartalma? b) Kata végül két olyan gyűrűt készíttetett, amelyek együttes tömege 16 gramm. (A megmaradó 14 karátos aranyötvözetet törtaranyként visszakapta.) Az elké- szült két karikagyűrű tekinthető két lyukas hengernek, amelyek szélessége (a lyukas hengerek magassága) megegyezik. Az egyik gyűrű belső átmérője 17 mm, és mindenhol 1,5 mm vastag, a másik gyűrű belső átmérője 19,8 mm, vastagsága pedig mindenhol 1,6 mm. Hány mm a gyűrűk szélessége, ha a készítésükhöz használt 14 karátos arany- ötvözet sűrűsége 3 cm g 15 ? Válaszait egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1448

Kovács úr a tetőterébe egy téglatest alakú beépített szekrényt készíttet. Két vázlatot raj- zolt a terveiről az asztalosnak, és ezeken feltüntette a tetőtér megfelelő adatait is. Az el- ső vázlat térhatású, a második pedig elölnézetben ábrázolja a szekrényt. 1. vázlat 2. vázlat A tetőtér adottságai miatt a szekrény mélységének pontosan 60 cm-nek kell lennie. a) Mekkora legyen a szekrény vízszintes és függőleges mérete (azaz a szélessége és a magassága), ha a lehető legnagyobb térfogatú szekrényt szeretné elkészíttetni? (A magasság, a szélesség és a mélység a szekrény külső méretei, Kovács úr ezek- kel számítja ki a térfogatot.) A szekrény elkészült. Az akasztós részébe Kovács úr vasárnap este 7 inget tesz be, a hét minden napjára egyet-egyet. Az ingek között van 2 fehér, 2 világoskék és 3 sárga. Reg- gelente nagyon siet, ezért Kovács úr csak benyúl a szekrénybe, és anélkül, hogy oda- nézne, véletlenszerűen kivesz egy inget. b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a hét első három napján vagy három külön- böző színű vagy három egyforma színű inget választ? (Ha valamelyik nap viselt egy inget, azt utána már nem teszi vissza a szekrénybe.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1468

Egy üzemben egyforma, nagyméretű fém- dobozok gyártását tervezik. A téglatest ala- kú doboz hálózatát egy 2 méter × 1 méteres téglalapból vágják ki az ábrán látható mó- don. A kivágott idom felhajtott lapjait az élek mentén összeforrasztják. (A forrasztási eljárás nem jár anyagveszteséggel.) a) Hogyan válasszák meg a doboz méreteit, hogy a térfogata maximális legyen? Válaszát centiméterben, egészre kerekítve adja meg! A dobozokat egy öt karakterből álló kóddal jelölik meg. Minden kódban két számjegy és három nagybetű szerepel úgy, hogy a két számjegy nincs egymás mellett. Mindkét számjegy eleme a {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9} halmaznak, a betűket pedig a 26 betűs (angol) ábécéből választják ki (például 7WA3A egy lehetséges kód). b) Hány különböző kód lehetséges?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1496

Egy dobozban 40 üveggyöngy között 8 selejtes van. Egy kísérlet abból áll, hogy a 40 gyöngy közül visszatevés nélküli mintavétellel, véletlenszerűen kiválasztanak 10-et, és megszámolják, hogy hány selejtes van közöttük. a) Egy tanulócsoport tagjai összesen 500 alkalommal végezték el a fent leírt kísér- letet. A kísérletek befejezése után összesítették a tapasztaltakat: a 10 elemű min- tákban előforduló selejtes gyöngyök számának relatív gyakoriságát oszlop- diagramon ábrázolták. A diagram segítségével válaszoljon a következő kérdé- sekre: I. Mennyi volt az egy mintában előforduló legtöbb selejtes gyöngy? II. Mennyi volt az egy mintában legtöbbször előforduló selejtszám? III. Hány alkalommal nem volt a 10 elemű mintában egyetlen selejtes gyöngy sem? b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a kísérletet egyszer elvégezve a min- tában pontosan 2 selejtes lesz! Állapítsa meg, hogy az eseménynek az 500 kísér- letből kapott relatív gyakorisága hány százaléka a kiszámított valószínűségnek! c) Egy másik kísérletben ugyanebből a 40 gyöngyből visszatevéses mintavétellel választunk ki 10 gyöngyöt. Ekkor mennyi annak a valószínűsége, hogy a mintá- ban pontosan 2 selejtes gyöngy lesz?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1521

Egy 40 cm × 25 cm-es kartonlapból ki- vágunk két egybevágó téglalapot, az áb- rán ezek vonalkázva láthatók. A meg- maradt kartonlapból ezután (a berajzolt élek mentén) egy olyan téglatestet haj- togatunk, melynek magassága a kivágott téglalapok rövidebb oldalával egyenlő. a) Mekkora lesz a kapott téglatest felszíne, ha a kivágott téglalapok rövidebb oldala 2 cm-es? b) Hogyan válasszuk meg a kivágott téglalapok rövidebb oldalának hosszát, ha azt szeretnénk, hogy az elkészített téglatest térfogata maximális legyen? Mekkora a maximális térfogat?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1524

A derékszögű koordináta-rendszerben adott az xxy 325,0 2 += , illetve az xxy 44,101,0 3 = egyenletű görbéknek az az íve, amelyre 0 x 12. (Ez a két ív az áb- rán is látható.) Tudjuk, hogy a (0 0) és a (12 0) pont a két ív közös pontja. a) Mindkét ív esetében adja meg az ív x tengelytől legtávolabbi pontjának első koordinátáját! b) Mekkora a két ív által közrezárt síkidom területe? c) Értelmezzük a ]0 12[ intervallumon az alábbi hoz- zárendeléssel megadott f és g függvényeket: xx xx xf 44,101,0 325,0 )( 3 2 + = és 12 25 )( + = x xg . Igazolja, hogy )()( xgxf = , és mutassa meg, hogy a g függvény szigorúan monoton növekvő!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1527

Adott az f: R R f(x) = 2752708 234 ++ xxx függvény. a) Igazolja, hogy x = -15-ben abszolút minimuma, x = 0-ban lokális maximuma, x = 9-ben lokális minimuma van a függvénynek! b) Igazolja, hogy f konkáv a ]-9 5[ intervallumon! c) A Newton-Leibniz-tétel segítségével határozza meg a 5 0 )( dxxf határozott integrál értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1541

A repülőgépek üzemanyag-fogyasztását számos tényező befolyásolja. Egy leegyszerűsí- tett matematikai modell szerint (a vizsgálatba bevont repülőgépek esetében) az egy óra repülés alatt felhasznált üzemanyag tömegét az )0009501800( 20 1 )( 2 += xxxf ösz- szefüggés adja meg. Ebben az összefüggésben x a repülési átlagsebesség km/h-ban (x > 0), f(x) pedig a felhasznált üzemanyag tömege kg-ban. a) A modell alapján hány km/h átlagsebesség esetén lesz minimális az egy óra repü- lés alatt felhasznált üzemanyag tömege? Mekkora ez a tömeg? Egy repülőgép Londonból New Yorkba repül. A repülési távolság 5580 km. b) Igazolja, hogy v km/h átlagsebesség esetén a repülőgép üzemanyag-felhasználása ezen a távolságon (a modell szerint) v v 000050265 200502279 + kg lesz! (v > 0) A vizsgálatba bevont, Londontól New Yorkig közlekedő repülőgépek v átlagsebességé- re teljesül, hogy 800 km/h v 1100 km/h. c) A megadott tartományban melyik átlagsebesség esetén a legnagyobb, és melyik esetén a legkisebb az egy útra jutó üzemanyag-felhasználás?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1558

Egy 6 méter széles és 8 méter hosszú, téglalap alaprajzú épületre sátortetőt építettek. A tető 4 méter hosszú gerin- ce a mennyezet téglalapjának hosszab- bik középvonala fölött, attól 3,5 méter távolságra van. A mennyezet téglalap- jának négy csúcsában támaszkodó, négy egyenlő hosszúságú gerenda tart- ja a tetőgerincet. a) Számítsa ki a tartógerendák hosszát és a vízszintes síkkal bezárt szögüket! A tető déli irányba néző, trapéz alakú részére egy téglalap alakú napelemet fektetnek. A téglalap egyik oldala a tető alsó élére, az ezzel szemközti oldala pedig a trapéz közép- vonalára illeszkedik. A napelem sehol sem nyúlik túl a tetőn. b) Mekkora a legnagyobb területű napelem, amelyet a megadott módon el lehet he- lyezni a tetőn? Válaszát négyzetméterben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1567

Egy város kézilabdacsapatának vezetői a bajnoki mérkőzések jegybevételét szeretnék növelni. A korábbi évek adatai azt mutatják, hogy 1500 Ft-os jegyár esetén átlagosan 1000-en vásárolnak jegyet. Az adatokból az is kiderül, hogy ahányszor 5 Ft-tal csökken- tik a jegy árát, átlagosan annyiszor 10 fővel többen váltanak jegyet az adott mérkőzésre ha a jegyárat növelik, akkor pedig ahányszor 5 Ft-tal nő a jegy ára, átlagosan annyiszor 10 fővel csökken a jegyet vásárló nézők száma. (A jegy ára forintban kifejezve 0-ra vagy 5-re végződhet.) a) Mutassa meg, hogy ha a jelenlegi jegyár 1500 forint, akkor a fenti modell szerint a jegyárak bármilyen összegű növelése esetén csökkenni fog az összbevétel! b) A modell szerint mekkora lehet a jegyárakból származó legnagyobb bevétel egy mérkőzésen, és mennyit kell fizetni ebben az esetben egy jegyért?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1568

Egy színházban a jegyek az I., a II. vagy a III. árkategóriába tartoznak. Az egyik esti előadásra összesen 200 jegyet adtak el. Az eladott jegyek között a III. árkategóriájúak száma a másik két árkategóriába tartozó jegyek együttes számának kétharmada, az I., illetve II. árkategóriájú jegyek számának aránya pedig 9:11 volt. a) Hány jegyet adtak el az egyes árkategóriákban? Egy várrom területén szabadtéri színházat alakítanak ki. A tervrajz szerint a téglalap alakú színpadot az egyik bástya félkör alakban elhelyezkedő falmaradvá- nyai közé helyeznék el. A bástya belső átmérője 12 méter. (Az ábrán a tervrajz egy részlete látható: O a félkör középpontja, a téglalap csúcsába vezető sugár és az átmérő közötti szög pedig 2 <<0 .) b) Hogyan kell megválasztani az szöget, hogy a színpad területe a lehető legnagyobb legyen? Mekkora ez a legnagyobb terület?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2610

Egy baktériumtenyészet szaporodását laboratóriumi körülmények között vizsgálják. Az első órában 4 mikrocellát fertőznek meg baktériumokkal. A második órában a baktériu- mok szaporodni kezdenek, így további 3 cella fertőződik meg. A megfigyelés szerint ez- után szabályszerűvé válik a baktériumok szaporodása: minden órában annyi új fertőzött cella keletkezik, ahány korábban összesen volt. (A harmadik órában 4 + 3 = 7 új fertőzött mikrocella keletkezik, a negyedik órában 14, és így tovább.) a) Ha a baktériumok szaporodásához továbbra is biztosítanák a megfelelő körülménye- ket, akkor az összes fertőzött mikrocella száma hányadik órában haladná meg a tíz- milliót? A biológiaórán egy kezdetben tízmilliós baktériumhalmaznak a környezethez való alkal- mazkodását modellezik a tanulók. Egy szabályos dobókockával dobnak, és ha a dobás eredménye 1, 2 vagy 3, akkor egymillió baktérium elpusztul. Ha a dobás eredménye 4 vagy 5, akkor nem történik semmi. Ha a dobás eredménye 6, akkor újabb egymillió baktérium keletkezik. A dobást többször egymás után megismétlik. b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy hét dobás után a baktériumok száma leg- feljebb ötmillió lesz!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4309

a) Az A és C kijelentések logikai értéke igaz, a B kijelentés logikai értéke hamis. Határozza meg az alábbi állítások logikai értékét! (Válaszait itt nem szükséges indokolnia.) (1) A B (2) (A B) C (3) B A (4) A B (5) A (B C) A H halmaz a tízpontú egyszerű gráfok halmaza. A következő állítás a H elemeire vonat- kozik: Ha egy (tízpontú egyszerű) gráfnak legfeljebb 8 éle van, akkor nem tartalmaz kört. b) Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását a H elemeire vonatkozóan, és döntse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! Egy tízpontú teljes gráf élei közül véletlenszerűen kiválasztunk három különbözőt. (Teljes gráf: olyan egyszerű gráf, melynek bármely két pontja között van él.) d) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a három kiválasztott él a gráfnak egy körét alkotja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4323

Egy városban bevezették a fizetős parkolást. A parkolási díj (a parkolás időtartamától függetlenül) napi 10 garas. A díjakból származó teljes bevétel a városi költségvetést illeti. Kezdetben nem alkalmaztak parkolóőröket. Az új rendszer bevezetése után néhány héttel megállapították, hogy naponta kb. 15 000 autós parkolt a fizetős övezetben, és mintegy 25 százalékuk bliccelt, azaz nem fizette meg a parkolási díjat. Emiatt a városvezetés - egy előzetes hatástanulmány alapján - par- kolóőrök alkalmazása mellett döntött. Az őrök ellenőrzik a díj megfizetését, és annak elmaradása esetén megbírságolják a mulasztó autóst: minden bliccelőnek 150 garast kell fizetnie (ez az összeg tartalmazza a parkolási díjat és a bírságot is). A tanulmány azt állítja, hogy a sűrűbb ellenőrzés növelni fogja a fizetési hajlandóságot: minden egyes újabb parkolóőr alkalmazásával a bliccelők aránya 0,5%-kal kisebb lesz (például 2 parkolóőr alkalmazása esetén 24%-ra csökken). A tanulmány számításai sze- rint egy parkolóőr egy nap alatt kb. 200 autót fog ellenőrizni, továbbá egy parkolóőr al- kalmazásának napi költsége 330 garas, amelyet a befolyt parkolási díjakból és bírságok- ból kell kifizetni. A tanulmány még a következőket feltételezte: naponta átlagosan 15 000 parkoló autó lesz, egy autót legfeljebb egy parkolóőr ellenőriz, és a bliccelők aránya a parkolóőrök által ellenőrzött autók között minden esetben ugyanannyi, mint az összes parkoló autó között. a) A hatástanulmány becslései szerint mekkora lenne a város parkolási díjakból szár- mazó napi nettó (azaz a költségekkel csökkentett) bevétele 10 parkolóőr alkalma- zása esetén? b) Amennyiben a hatástanulmány becslései helytállóak, akkor hány parkolóőr alkal- mazása esetén lenne a parkolási díjakból származó napi nettó bevétel maximális?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7706

Egy zöldségárus vállalkozó egyik reggel 200 kg első osztályú barackot visz eladásra a piacra. Tapasztalatból tudja, hogy az első osztályú barack eladási egységára és a napi eladott mennyiség között (jó közelítéssel) lineáris kapcsolat van (az eladott mennyiség az eladási egységár lineáris függvénye). Ha egész nap 500 Ft/kg áron kínálná a barackot, akkor várhatóan a fele fogyna el, míg ha 300 Ft/kg áron adná, akkor a 70%-a. a) Mennyi lenne a zöldségárusnak az első osztályú barack eladásából származó bevé- tele, ha egész nap 400 Ft/kg-os egységáron kínálná a barackot? b) Igazolja, hogy ha egész nap x (Ft/kg) az első osztályú barack egységára, y (kg) pedig a napi eladott mennyiség, akkor a közöttük lévő kapcsolat: 1 200 5 y x (0 < x < 1000). A nap végén a 200 kg-ból megmaradó barackot a zöldségárus másnap már nem adhatja el első osztályúként. Ezért a megmaradó teljes mennyiséget eladja egy gyümölcsfeldol- gozó vállalkozásnak, mégpedig 80 Ft/kg egységáron. c) Mekkora eladási egységáron kínálja a barackot a zöldségárus napközben, hogy a napi bevétele maximális legyen? (A napi bevétel az első osztályúként eladott ba- rackból származó bevétel plusz a gyümölcsfeldolgozó által fizetett összeg.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8924

Kinga a következő tanítási napra hat házi feladatot kapott, három kötelezőt és három szor- galmit. Egy-egy kötelező házi feladatot kapott matematikából, angolból és magyarból, ezeket biztosan elkészíti. Szorgalmi házi feladatot biológiából, németből és történelemből kapott, ezeket nem feltétlenül csinálja meg: lehet, hogy mind a hármat elkészíti, lehet, hogy csak kettőt vagy egyet, de az is lehet, hogy egyet sem készít el. a) Összesen hányféle különböző sorrendben készítheti el Kinga a házi feladatait? (Két esetet különbözőnek tekintünk, ha vagy nem ugyanazokat a házi feladatokat, vagy ugyanazokat a házi feladatokat, de más sorrendben oldja meg.) Kinga matematika-házifeladata ez volt: 500 különböző pozitív egész szám átlaga 1000. Legfeljebb mekkora lehet a számok közül a legnagyobb? b) Adja meg Kinga matematika-házifeladatának megoldását! Kinga, Linda, Misi és Nándi elvállalta, hogy az alacsonyabb évfolyamok tanulói közül hét diákot rendszeresen korrepetálni fog. Az egyénenként vállalt tanulók számát egy meg- beszélésen döntik el. c) Hány különböző módon állapodhatnak meg abban, hogy melyikük hány tanulót kor- repetáljon, ha mindegyikük vállal legalább egy tanulót? (Két megállapodást különbözőnek tekintünk, ha legalább egyikük nem ugyanannyi tanulót korrepetál a két megállapodás szerint.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8925

a) Határozza meg a p > 0 paraméter értékét úgy, hogy 2 0 (3 24 20) 0 p x x dx teljesüljön! b) Határozza meg az a, b, c valós paraméterek értékét úgy, hogy az 3 2 ( ) 28f x ax bx cx (x R) függvénynek x 2-ben zérushelye, x - 4-ben lokális maximumhelye, x -1-ben pedig inflexiós pontja legyen!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8929

Egy 33 × 18 cm-es kartonlapból (kivágással, hajtogatással) tégla- test alakú dobozt készítenek. A doboz (sötétre színezett) kite- rített hálóját és méreteit az ábra szerint választják meg. a) Határozza meg a doboz tér- fogatát, ha a = 7 cm! b) Hogyan kell megválasztani az a, b, c élek hosszát ahhoz, hogy a doboz térfogata maximális legyen? Egy téglatest bármely három csúcsa egy háromszöget határoz meg. c) A téglatest csúcsai által meghatározott háromszögek között hány olyan van, amely- nek a síkja nem esik egybe a téglatest egyik lapjának síkjával sem?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8940

Egy r sugarú körcikk ívhossza i, a körcikk kerülete: 2r + i = 10 cm. a) Legyen a körcikk sugara 2 cm! Határozza meg a körcikk középponti szögét, T te- rületét, továbbá azon forgáskúp alapkörének R sugarát, amelynek ez a körcikk a pa- lástja! b) Igazolja, hogy a 10 cm kerületű körcikkek közül annak maximális a területe, amely- nek a középponti szöge 2 radián nagyságú! c) Döntse el, hogy az alábbi állítás igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! Egy 10 cm kerületű körcikk területe mindig kisebb, mint egy 20 cm kerületű körcikk területe.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8956

A Balaton vízfelületének hossza kb. 76,5 km, átlagos szélessége kb. 7,7 km. a) Számítsa ki a Balaton átlagos vízmélységét, ha a tóban levő vízmennyiség becsült térfogata 2 milliárd m3 ! Válaszát méterben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! Ádám és Misi szeretnék kerékpárral egy nap alatt megkerülni a Balatont. A tó körüli ke- rékpárút hossza 205 km. Reggel 7-kor indulnak. Mikor ebédszünetet tartanak, megálla- pítják, hogy átlagsebességük az ebédszünetig 16 km/h volt. A 60 perces ebédszünet után továbbindulnak. Hogy még sötétedés előtt célba érjenek, átlagsebességüket 20 km/h-ra növelik a hátralevő úton. Így valóban visszaérnek a kiindulási pontjukra este fél 8-ra. b) Mikor tartottak a fiúk ebédszünetet? A tó szélessége Balatonvilágos és Balatonalmádi között a legnagyobb, kb. 12,7 km. c) Legalább hány méterrel kell a vízfelszín fölé emelkednie a balatonvilágosi kikötő- ben elhelyezett jelzőoszlopnak ahhoz, hogy az oszlop tetején rögzített viharjelző ké- szülék fényjelzése - a Föld görbületét is figyelembe véve - látható legyen a bala- tonalmádi strandon fürdőzők számára is? (A Földet tekintsük egy 6370 kilométer sugarú gömbnek.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8958

Az ábrán az ]x1 x2 [ nyílt intervallumon értelmezett f függvény grafikonja, valamint az f első derivált- függvényének és az f második deriváltfüggvényé- nek grafikonja látható. A három függvény grafi- konját valamilyen sorrendben az a, b, c betűkkel jelöltük. Az alábbi táblázat A jelű állítása szerint az ábrán a jelöli az f függvényt, b jelöli az f első derivált- függvényét ( f ), és c jelöli az f második derivált- függvényét ( f ). Ehhez hasonlóan felsoroltuk az összes többi lehet- séges megfeleltetést is. a) Állapítsa meg a B, C, D, E, F állítások logikai értékét! Válaszait itt nem kell indokolnia. (Az A állítás hamis, ezt már megadtuk.) f f f az állítás igaz/hamis A a b c hamis B a c b C b a c D b c a E c a b F c b a b) A függvény és deriváltfüggvényei közötti kapcsolatokra alapozva indokolja meg, miért hamis az A állítás! Adottak a derékszögű koordináta-rendszerben az A, B, C, D pontok: A(0 4), B(0 1), C(p 1), D(p 4), ahol p > 0. Az 2 4 x y = egyenletű görbe felezi az ABCD téglalap területét. c) Igazolja, hogy p > 4, majd számítsa ki p értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8959

a) Döntse el, hogy igaz-e a következő állítás! Válaszát indokolja! Ha egy háromszög két magassága egyenlő hosszúságú, akkor a háromszög egyenlő szárú. Egy háromszögben a szokásos jelölésekkel a = 3, b = 27 és = 2. b) Számítsa ki a háromszög szögeit! Az egységnyi oldalú, szabályos ABC háromszögbe olyan PQRS téglalapot írunk, melynek PQ oldala az AB oldalra illeszkedik, R a BC oldal pontja, S pedig a CA oldalé. c) Határozza meg a PQRS téglalap területének maximális értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8970

Egy középiskolában a tizedikesek évfolyamdolgozatot írtak matematikából. A dolgozat- ban maximálisan 100 pontot lehetett elérni. Az évfolyamra járó 80 tanuló közül a dolgozat megírásakor néhányan hiányoztak. A dolgozatokban elért pontszámok átlagát először úgy számították ki, hogy a hiányzó tanulók eredményét 0 pontosként vették figyelembe. Rövid időn belül észrevették, hogy ez a számítási mód hibás. A hibát kijavították, így a hiányzók figyelembe vétele nélkül kapott átlag 4,2 ponttal magasabbnak adódott, mint az első (hibás) számítás utáni átlag. Egy héttel később az első megírás alkalmával hiányzó tanulók pótolták a dolgozatot az ő átlageredményük 64 pont lett (a pótdolgozatban is maximálisan 100 pontot lehetett elérni). A teljes tizedik évfolyam matematika-évfolyam- dolgozatainak átlageredménye így 67 pontos lett. a) Hány tanuló hiányzott a dolgozat első megírásakor? Hány pont volt azoknak a tanulóknak a helyesen számolt átlageredménye, akik az első alkalommal megírták a dolgozatot? Az évfolyamdolgozat egyik feladatában öt feleletválasztós kérdésben kellett négy-négy válaszlehetőség közül az egyetlen helyeset kiválasztani. Amikor Domonkos elolvasta a kérdéseket, akkor látta, hogy az első két kérdésre biztosan tudja a helyes választ (ezeket be is jelöli majd). A harmadik és a negyedik kérdésnél egy-egy válaszlehetőségről, az ötödik kérdésnél pedig két válaszlehetőségről tudta biztosan, hogy azok rosszak. Ezért úgy döntött, hogy az utolsó három kérdésnél tippelni fog: véletlenszerűen választ azon válaszlehetőségek közül, amelyekről nem tudja biztosan, hogy rosszak. b) Határozza meg Domonkos helyes válaszai számának várható értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8974

Az ABCD húrnégyszögben AB = 20, BC = 18, ABC = 70°, CAD = 50°. a) Milyen hosszú a CD oldal, és mekkora a húrnégyszög területe? A derékszögű koordináta-rendszerben adottak a P(-2 0), Q(6 0) és R(0 5) pontok, a H pedig a PQ szakasz tetszőleges pontja. b) Számítsa ki a és azPH RH vektorok skaláris szorzatát, ha H(-1,8 0). c) Adja meg a H pont koordinátáit úgy, hogy a és azPH RH vektorok skaláris szorzata maximális, illetve úgy is, hogy minimális legyen!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8987

Egy városban a közösségi közlekedést kizárólag vonaljeggyel lehet igénybe venni, min- den utazáshoz egy vonaljegyet kell váltani. A vonaljegy ára jelenleg 300 tallér. Az utazá- sok száma naponta átlagosan 100 ezer. Ismert az is, hogy ennek kb. 10%-ában nem vál- tanak jegyet (bliccelnek). A városi közlekedési társaság vezetői hatástanulmányt készíttettek a vonaljegy árának esetleges megváltoztatásáról. A vonaljegy árát 5 talléronként lehet emelni vagy csökken- teni. A hatástanulmány szerint a vonaljegy árának 5 talléros emelése várhatóan 1000-rel csökkenti a napi utazások számát, és 1 százalékponttal növeli a jegy nélküli utazások (bliccelések) arányát. (Tehát például 310 talléros jegyár esetén naponta 98 000 utazás lenne, és ennek 12%-a lenne bliccelés.) Ugyanez fordítva is igaz: a vonaljegy árának min- den 5 talléros csökkentése 1000-rel növelné a napi utazások számát, és 1 százalékponttal csökkentené a bliccelések arányát. A tanulmány az alkalmazott modellben csak a 245 tallérnál drágább, de 455 tallérnál olcsóbb lehetséges jegyárakat vizsgálta. a) Mekkora lenne a közlekedési társaság vonaljegyekből származó napi bevétele a ha- tástanulmány becslései alapján, ha 350 tallérra emelnék a vonaljegyek árát? b) Hány talléros vonaljegy esetén lenne maximális a napi bevétel?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8989

Az 1917-ben gyártott és nosztalgiajárműként megőrzött 109.109 sorozatszámú gőzmozdony legnagyobb, úgyne- vezett hajtókerekének átmérője 1740 mm. A mozdony maximális engedélyezett sebessége 90 km/h. a) Mekkora a hajtókerék percenkénti fordulatszáma 90 km/h sebességnél? Több próbaút során is vizsgálták, hogy a mozdony szénfogyasztása hogyan függ a moz- dony átlagsebességétől. A mérések szerint v km/h átlagsebesség esetén (50 < v < 100) jó közelítéssel 2 0,5 65 3800v v + kg volt az óránkénti szénfogyasztás. A mozdony a hoz- zákapcsolt szerkocsiban 6,1 tonna szenet tud magával vinni. b) Számítsa ki, hogy 60 km/h átlagsebesség esetén (a megadott modell szerint) hány km hosszúságú útra elegendő a 6,1 tonna szénkészlet! c) Határozza meg azt az átlagsebességet, amelynél a 6,1 tonna szén a lehető leghosz- szabb útra elegendő!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9004

Adott négy, a valós számok halmazán értelmezett függvény: f(x) = (x + 4)(2 - x) g(x) = x + 4 h(x) = 2 4x i(x) = 4x a) Határozza meg az f és g függvények grafikonja által közrezárt korlátos síkidom te- rületét! Egy négypontú gráf csúcsait megfeleltetjük e négy függvénynek. Két csúcsot pontosan akkor kötünk össze éllel, ha a két megfelelő függvénynek van közös zérushelye. b) Rajzolja fel az így kapott gráfot! A valós számok halmazán értelmezett k függvény zérushelyei -5 és 3, az m függvény zérushelyei 3 és -3, az n függvény zérushelyei pedig 5 és -5. A p elsőfokú függvény hozzárendelési szabálya p(x) = x + c, ahol c egy valós szám. c) Hányféleképpen választható meg a c konstans értéke úgy, hogy a k, m, n és p függ- vényekre a b) feladatban megadott szabály szerint elkészített négypontú gráf fagráf legyen?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9790

Egy nyolcfős csapat kosárlabdaedzése közben mind a nyolcan 10-szer kíséreltek meg há- rompontost dobni. A sikeres dobások számát mind a nyolc főnél felírták. A feljegyzett számok: 6, 3, 7, 6, 4, 7, 8 és 7. a) Határozza meg a sikeres dobások számának átlagát, mediánját és szórását! A kosárlabda büntetődobást 4,6 méter távolságról kell elvégezni, a gyűrű 3 méter maga- san van. Petra a dobás pillanatában 2 méter magasságból engedi el a labdát, és az ideális, vízszintessel bezárt 45°-os szögre törekszik a dobás indításánál. b) Petra dobásának modellezéséhez határozza meg annak a parabolának az egyenletét, amely áthalad a P(0 2) és a Q(4,6 3) ponton, a P pontban húzott érintőjének irány- szöge pedig 45°! A parabola egyenletét y = ax2 + bx + c alakban adja meg! Az ábrán a [-2 3] intervallumon értelmezett szigorúan monoton, folytonos f függvény grafikonja látható. c) Adja meg az f inverzfüggvényének értelmezési tar- tományát, értékkészletét, zérushelyét, és jellemezze az inverzfüggvényt monotonitás szempontjából!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10134

Egy sorsjegyből jelenleg havonta átlagosan 5000 darabot értékesítenek. Egy darab sors- jegy ára 500 Ft, de a forgalmazó cég ezt csökkenteni szeretné. A sorsjegy ára 10 Ft-os lépésekben csökkenthető. Azt feltételezik, hogy ha az ár n-szer 10 Ft-tal alacsonyabb lesz, akkor havonta 10n2 -tel több sorsjegyet tudnak eladni (n N+). Tekintsük ezt a feltétele- zést helytállónak. a) Határozza meg a sorsjegyek eladásából származó havi bevételt, ha a sorsjegy árát 300 Ft-ra csökkentik! b) Határozza meg azt az n értéket, amelyre a sorsjegyek eladásából származó havi be- vétel maximális lenne! Az összes sorsjegy 5%-a nyerő. Kétféle nyeremény van: 2500 Ft-os és 50 000 Ft-os. A 2500 Ft-os nyerő sorsjegyből pontosan 24-szer annyi van, mint az 50 000 Ft-osból. c) Töltse ki az alábbi táblázat üres mezőit, majd számítsa ki egy darab sorsjegy nyere- ményének várható értékét! 1 db sorsjegy nyereménye (Ft) 0 2500 50 000 nyeremény valószínűsége 0,95

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10135

a) Egy tömör fából készült forgáshenger magassága 30 cm, felszíne 10 000 cm2 . A hengerből egy olyan forgáskúpot készítenek, amelynek az alapköre és a magas- sága megegyezik a hengerével. A henger térfogatának hány százaléka lesz forgács, és mekkora a kúp térfogata? b) Határozza meg a 10 000 cm2 felszínű forgáshengerek közül a legnagyobb térfogatú henger alapkörének a sugarát és a henger magasságát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10149

Két forgáshenger alakú viaszgyertyánk van. Az egyik gyertya alapkörének sugara r, ma- gassága h, a másik alapkörének sugara R, magassága szintén h. A két gyertyát összeol- vasztjuk, majd a viaszból egy ugyancsak h magasságú, forgáshenger alakú gyertyát ön- tünk (r, h, R > 0). a) Igazolja, hogy az így kapott gyertya alapkörének sugara legalább 2rR . (Az öntés során fellépő anyagveszteségtől eltekinthetünk.) Egy forgáshenger alakú tortát egy 15 cm sugarú, félgömb alakú védőbúra alatt helyezünk el. A torta a félgömb hatá- roló körének síkján áll, és a torta fedőlapjának határoló köre a félgömbre illeszkedik (az ábra szerint). b) Igazolja, hogy az m cm magasságú torta térfogata (köbcentiméterben mérve) 3 225 m m . (0 < m < 15) c) Igazolja, hogy a védőbúra alatt (a fent leírt módon) elhelyezhető maximális térfogatú torta térfogata kisebb, mint a félgömb térfogatának 60%-a!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10253

Flóra kétfajta lisztből süt kenyeret. A kenyérhez a recept alapján 5 : 4 arányban kell búza- liszt és rozsliszt. Eredetileg 450 gramm búzalisztet és 400 gramm rozslisztet kevert össze, de további, összesen 500 gramm liszt hozzáadásával sikerült elérnie a recept által előírt arányt. a) A hozzáadott 500 gramm lisztből hány gramm volt a búzaliszt? Ha egy cég x tonna lisztet állít elő egy nap alatt (0 < x < 5), és ezt a mennyiséget el is adja, akkor egy elemzés szerint a napi nyereség értékét az 2 ( ) 0,8 ( 3)(1,5 )n x x x x= képlet adja meg, a nyereséget tízezer tallérban számítva. (Negatív helyettesítési érték veszteséget jelent.) b) Mutassa meg, hogy csak 1,5 < x < 3 esetén nyereséges a napi termelés! c) Hány tallér az elérhető legnagyobb napi nyereség, és ezt hány tonna liszt (előállítása és eladása) esetén érik el?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10266

Egy baráti összejövetelen 7 fiú és 5 lány vett részt, találkozáskor mindenki üdvözölte a többieket. A fiúk kézfogással köszöntek egymásnak, két lány, illetve egy fiú és egy lány pedig öleléssel köszöntötte egymást. a) Hány olyan találkozás volt, ahol öleléssel köszöntötték egymást? Egy hatfős baráti társaság tagjai András, Bori, Csaba, Dóra, Ervin és Fanni bajnokságon döntik el, hogy ki a legjobb pingpongos közülük. Mindenki mindenki ellen egy mérkőzést játszik. Amikor 9 mérkőzést már lejátszottak, akkor kiderült, hogy mindegyikük páratlan számú mérkőzésen van túl. András az eddigi egyetlen meccsét Bori ellen játszotta, Csaba még nem játszott Ervin ellen. b) Játszott-e már Dóra Fanni ellen? András, Bori, Csaba és Dóra egy szabályos dobókockával dobnak egyet-egyet, és az nyer, aki a legnagyobb olyan számot dobta, amit a többiek nem dobtak (például 6, 6, 4, 1 dobások esetén a 4-est dobó játékos nyer). Ha nincs ilyen szám, akkor nem nyer senki. Bori 5-öst dobott, a többiek ezután fognak dobni. c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy Bori nyer?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10267

Egy háromszög oldalai a, a + 1 és a + 2 egység hosszúak. a) Igazolja, hogy ha a háromszög legnagyobb szöge , akkor a a 2 3 cos = . b) Határozza meg a háromszög oldalainak hosszát, ha a háromszög legnagyobb szöge 120 fokos! Egy derékszögű háromszög oldalainak hossza 8 cm, 15 cm és 17 cm. A háromszöglemez egy pontját véletlenszerűen kiválasztjuk. c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy ez a pont mindegyik csúcstól legalább 3 cm távolságra lesz?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10279

a) Az f függvény hozzárendelési szabálya ( ) 3 x f x = (x R). Helyezze el az alábbi halmazábra megfelelő részeibe az f (-2), f (0,5) és f (5) függvényértékeket! Egy ötpontú egyszerű gráf A, B, C, D, E pontjaihoz rendre a 3-2 , 3 -7 , 3 -12 , 1 2 és 1 2 1 számokat írtuk. A gráfban két pont akkor és csak akkor van éllel összekötve, ha a két ponthoz írt számok összege racionális szám. b) Hány éle van ennek az ötpontú gráfnak? A koordinátatengelyek és a ( ) 3 x g x = (x 0) függvény grafikonja által határolt tartományba olyan egymáshoz csatlakozó téglalapokat írunk, amelyek egyik oldala az x-tengelyen van és egységnyi hosszúságú, egyik csúcsa pe- dig a g függvény grafikonjára illeszkedik. Az első beírt téglalap egyik csúcsa az origó, ezzel szem- közti csúcsa pedig az (1 g(1)) pont. A további téglalapok egy-egy csúcsa rendre (2 g(2)), (3 g(3)), és így tovább, az ábra szerint (az ábra nem méretarányos). Legyen n az a legnagyobb pozitív egész szám, amelyre g(n) - g(n + 1) > 10 - 6 teljesül. c) Számítsa ki az első n téglalap területének összegét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10462

Az interneten található adatok1 alapján a napenergiát elektromos energiává alakító eszkö- zök maximális összteljesítményének magyarországi alakulását az alábbi táblázat szem- lélteti (megawattban mérve). év 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 összteljesítmény (MW) 12 35 77 168 225 300 640 1277 a) A fenti táblázat adatai alapján készült a következő táblázat, amely azt mutatja, hogy hányszorosára változott a maximális összteljesítmény az egymást követő években az előző évi maximális összteljesítményhez viszonyítva. A még hiányzó három szá- mot írja az alábbi táblázat üres mezőibe, majd számítsa ki a kapott 7 szám átlagát és szórását! év 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 ebben az évben a maximális össztelje- sítmény az előző évinek ennyiszerese: 2,92 2,18 1,33 2,00 A maximális összteljesítmény alakulását exponenciális növekedésűnek feltételezve egy táblázatkezelő program az első táblázatban megadott adatok alapján a ( ) 17,84 1,848x c x = közelítő összefüggést adja, ahol x a 2012 óta el- telt évek száma (x természetes szám), c(x) pe- dig MW-ban adja meg a maximális összteljesít- ményt a modell szerint. b) Hány százalékkal tér el a 2018. évi 640 MW-os adattól a modell alapján kiszámít- ható 2018-as érték? c) Oldja meg a valós számok halmazán a 17,84 1,848 40000x = egyenletet!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10831

A valós számok halmazán értelmezett f függvény f deriváltfüggvényének hozzárende- lési szabálya: 2 ( ) ( 2) ( 5)f x x x = . a) Adja meg az f függvény összes lokális (helyi) szélsőértékének típusát és helyét! b) Határozza meg az f függvény hozzárendelési szabályát úgy, hogy az f grafikonja áthaladjon a (0 1) ponton! c) Igazolja, hogy a 3 2 3 : ( ) 1 x x g g x x + = + R R függvény szigorúan monoton növekedő!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10839

Adott a valós számok halmazán értelmezett másodfokú f függvény. Ismert, hogy egy adott aR helyen f a ( )> 0, f a ( )> 0 és f a ( )> 0 mindegyike teljesül. a) Az alábbi ábrákon négy másodfokú függvény grafikonja látható. Ezek alapján töltse ki a táblázat üres mezőit aszerint, hogy a megfelelő kijelentés igaz vagy hamis, majd döntse el, hogy a négy grafikon közül melyik lehet az f függvényé! (Válaszait itt nem kell indokolnia.) függvénygrafikon az a helyen a függvényérték pozitív az a helyen az első derivált értéke pozitív az a helyen a második derivált értéke pozitív I. hamis II. III. IV. Az f függvény grafikonja a(z) …… grafikon lehet. b) A másodfokú g függvény értékét az xR helyen a g x px qx r ( )    2 összefüggés adja meg (p, q, r  R, p ≠ 0). Határozza meg p, q és r értékét úgy, hogy g(1)  1, g(1) 2 és g(1) 4 teljesüljön! c) Számítsa ki 2 2 3 1 2 1 2 x x dx         értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10898

Egy bizonyos fenyőfa (méterben mért) várható magasságának becslésére az alábbi képletet használják: 30 ( ) 1 59 0,905t h t    , ahol t a megfigyelés kezdetétől eltelt idő években számítva. a) Hány méter magas volt a fa a megfigyelés kezdetekor? b) A megfigyelés kezdetétől számítva hány év múlva lesz a fa 10 méter magas? c) Számítsa ki az {an} sorozat határértékét, ha 30 n 1 59 0,905n a    . Különleges facsemeték neveléséhez egy téglalap alakú részt akarnak elkeríteni. A téglalap két szomszédos oldala természetes határokkal védhető, ezért csak a másik két oldalon kell kerítést építeni. A környezeti adottságok miatt a kerítés építési költsége a két oldalon különböző: az egyik oldalon 5 ezer Ft/m, a másik oldalon pedig 10 ezer Ft/m. A kerítés építésére összesen 400 ezer Ft áll rendelkezésre. d) Hogyan kell megválasztani a két kerítésszakasz hosszát, hogy a rendelkezésre álló összegből a legnagyobb területű ültetvényt lehessen elkeríteni?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10901

Egy számítógépes játékban egy kör alakú tartomány az ábra szerint három résztartományra van felosztva (A, B, C). Bármely két tartomány között egy átjáró van (az ábrán szaggatott vonallal jelölve). A tartományok közötti átjárók mindegyike a többitől függetlenül p valószínűséggel van nyitva (0 < p < 1). Egyik tartományból a másikba csak nyitott átjárón (vagy átjárókon) keresztül lehet eljutni. Legyen az E0 esemény az, hogy az A tartományból nem lehet másik tartományba eljutni. a) Mutassa meg, hogy az E0 esemény valószínűsége 1 2   p p2. b) Hogyan kell megválasztani a p értékét úgy, hogy az E0 esemény valószínűsége legfeljebb 0,01 legyen? Legyen az E1 esemény az, hogy az A tartományból pontosan egy másik tartományba lehet eljutni, az E2 esemény pedig az, hogy az A tartományból mindkét másik tartományba el lehet jutni (nem feltétlenül közvetlenül). c) Igazolja, hogy az E1 esemény valószínűsége 2 4 2 p p p   2 3, az E2 esemény való- színűsége pedig 3 2 p p 2 3 . d) Határozza meg a p valószínűség értékét úgy, hogy az E1 esemény valószínűsége a lehető legnagyobb legyen, majd számítsa ki ekkor az E1 esemény valószínűségét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10902

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 3 log ( 2) log (2 8)     2 2 x x Adott az f és a g függvény: f : R  R, f x ( ) 2  x3 g : R  R, g x ( ) 2 7   x b) A két függvény grafikonját egy számítógépes programmal közös koordináta-rendszerben ábrázoltuk. Határozza meg a két grafikon metszéspontjának koordinátáit! Legyen a h függvény értelmezési tartománya az egyjegyű pozitív prímszámok halmaza, és legyen h x ( ) 2  x3 . c) Határozza meg a h függvény inverzfüggvényének az értelmezési tartományát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10910

A finom homokban az egyes gömb alakú homokszemek sugarát egységesen 0,1 mm-nek tekinthetjük. Egy 2 dl-es poharat teletöltünk finom homokkal. A homok (mivel a gömb alakú homokszemek nem töltik ki teljesen a teret) a pohár űrtartalmának 60%-át tölti ki. a) Határozza meg, hány homokszem található a 2 dl-es pohárban! Válaszát millióra kerekítve adja meg! Egy építkezéshez homokot rendelt Szabó úr. A homok megérkezett, és lerakás után a homokkupac jó közelítéssel egy 1,8 méter alkotójú forgáskúpnak tekinthető. b) Határozza meg a homokkupac térfogatát, ha alapkörének átmérője 3,1 méter! c) Határozza meg az 1,8 méter alkotójú forgáskúpok közül annak a sugarát és a magasságát, amelynek a térfogata maximális! Mekkora ez a maximális térfogat?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10916

Egy háromszög oldalainak hossza p q 2 2  , p q 2 2  , illetve 2pq, ahol p és q olyan pozitív egész számok, melyekre p > q teljesül. a) Igazolja, hogy a három oldalhossz közül p2 2  q a legnagyobb! b) Igazolja, hogy a háromszög derékszögű! c) Igazolja, hogy a háromszög területe p3 3 q q p  ! d) Jelölje a háromszögbe írt kör sugarának hosszát r. Igazolja, hogy r értéke egész szám!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10932

Tekintsük azokat a háromszögeket, amelyeknek a, b és c oldalaira teljesül, hogy (centiméterben mérve) b  a + 4 és c  a + 8. a) Adott egy ilyen tulajdonságú háromszög, melynek legnagyobb szöge 120. Hatá- rozza meg a háromszög oldalainak hosszát! b) Adott egy ilyen tulajdonságú háromszög, melynek leghosszabb oldala 24 cm hosszú. Határozza meg a háromszög területét! c) Igazolja, hogy minden ilyen tulajdonságú háromszög kerülete nagyobb, mint 24 cm!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10943

Egy kis szigeten élő állatfajok populációinak egyedszámát egy modell szerint (jó közelí- téssel) a következő képlet adja meg: ( ) 1 2 ct E P t k     . A képletben P(t) az adott faj populációjának egyedszáma a vizsgálat kezdetétől számított t év elteltével, E, k és c pedig az adott faj populációjára jellemző pozitív állandók: E a sziget eltartóképessége (a becsült maximális egyedszám, amit a sziget el tud tartani), k a populáció kezdeti méretétől, c pedig a populáció növekedési sebességétől függő állandó. a) Egy emlősfajra jellemző állandók értéke k  1,5 és c  0,05. Tudjuk, hogy a vizsgálat kezdetétől számított 8 év elteltével 140 egyedből áll a faj populációja. Határozza meg a szigetnek az erre az emlősfajra jellemző eltartóképességét! b) Egy rágcsálófaj esetén a sziget eltartóképessége 1500 egyed. Határozza meg az erre a populációra jellemző k és c állandók értékét, ha a vizsgálat kezdetekor 200, öt évvel később pedig 350 egyedből állt a populáció! c) Igazolja, hogy egy populáció P(t) egyedszáma a modell szerint soha nem haladhatja meg a sziget (adott populációra jellemző) eltartóképességét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11492

Legyen a H alaphalmaz az egyváltozós valós függvények halmaza, M, K és A pedig a H alábbi részhalmazai: M  {az értelmezési tartományukon szigorúan monoton növekedő függvények}; K  {az értelmezési tartományukon konvex függvények}; A  {alulról korlátos függvények}. a) Helyezze el az alábbi hozzárendelésekkel megadott függvények betűjelét az ábra megfelelő részébe! f: R  R, x x  sin g: R\ {0}  R, 1 x x  h: R  R, x  2x i: R+{0}  R, x x  b) Jelölje az ábrán satírozással a (K  A) \ M halmazt, és hozzárendelési szabályával adjon meg egy olyan j függvényt, amely ebbe a halmazba tartozik! c) Határozza meg az R  R, x x bx c  2   függvény b és c paramétereinek értékét, ha tudjuk, hogy a függvénynek x  2-ben minimumhelye van, és a minimum értéke –1. d) Határozza meg azokat a p  [0; 2] értékeket, amelyekre 0 1 sin 2 p  x dx  .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11496

Felül nyitott, négyzet alapú egyenes hasáb alakú tárolódobozt készítünk. A doboz alaplapjának anyagköltsége 4 tallér négyzetdeciméterenként, az oldallapok anyagköltsége 3 tallér négyzetdeciméterenként. Az egész doboz anyagköltségére összesen 300 tallér áll rendelkezésre. a) Legfeljebb mekkora lehet a doboz magassága, ha alapélei 6 dm hosszúak? b) Határozza meg a 300 tallérból elkészíthető maximális térfogatú doboz éleinek hoszszát! Az elkészült doboz alaplapját és négy oldallapját kívül kékre vagy pirosra festjük, egyegy lapot egyszínűre. c) Hányféle különböző színezésű doboz készíthető? (Két színezést különbözőnek tekintünk, ha forgatással nem vihetők át egymásba. Nem szükséges mindkét színt felhasználni.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11497

a) Melyik az a legnagyobb természetes szám, amelyre az alábbi négy tulajdonságból pontosan három teljesül? (1) Húszjegyű. (2) 20-szal osztható. (3) Számjegyeinek összege 20. (4) Számjegyeinek szorzata 20. Legyen a H alaphalmaz a húszjegyű pozitív egész számok halmaza, az A halmaz pedig a 7-es számjegyet tartalmazó húszjegyű pozitív egész számok halmaza. b) Melyik a nagyobb: A vagy A ? Az n jegyű pozitív egészek közül egyet véletlenszerűen kiválasztva 0,99-nél nagyobb annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám tartalmaz 7-es számjegyet. c) Határozza meg n lehetséges értékeit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11499

a) Satírozza be az alábbi ábrán a B \ (A  C) halmazt! b) Adja meg halmazműveletek segítségével az alábbi ábrán szürke színnel jelzett részhalmazt! Legyen a H alaphalmaz a függvények halmaza, Z, K és P pedig a H alábbi részhalmazai: Z  {zérushellyel rendelkező függvények}; K  {kölcsönösen egyértelmű függvények}; P  {páratlan függvények}. c) Helyezze el az alábbi hozzárendelésekkel megadott függvények betűjelét az ábra megfelelő részébe! f : R  R, x x  g: R  R, x x  2 2 h: R+  R, x x  lg i: R  R, x x  sin Egy négypontú gráf csúcsait megfeleltetjük a fenti f, g, h és i függvényeknek. Két csúcsot pontosan akkor kötünk össze éllel, ha a két megfelelő függvény értékkészletének van kö- zös eleme. d) Rajzolja fel az így kapott gráfot! Válaszát itt nem kell indokolnia.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11522

Bence a történelmi évszámokat tanulva észrevette, hogy három évszám egy mértani sorozat három egymást követő tagja. A három szám közül a legkisebb a 732, a legnagyobb pedig az 1647. a) Melyik a középső évszám? Bence tíz matematikajegyének átlaga és mediánja is 4, egyetlen módusza 5. (A jegyek egész számok, 1-től 5-ig.) b) Határozza meg Bence matematikajegyeit! Bence tízóraira három kürtőskalácsot vásárol a családnak. Az üzletben diós, fahéjas, kakaós és vaníliás kürtőskalács kapható. c) Hányféleképpen választhatja ki Bence a három kürtőskalácsot? (Egyféle ízből többet is vehet. Két kiválasztást különbözőnek tekintünk, ha legalább egy ízből különböző számú darabot választott a két esetben.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11524