Érettségi, felvételi és OKTV feladatok a mobilodon
-= FRISSÍTÉS 2026. március 31. =- Matematika és anyanyelv
Hiányzó PDF-ek feltöltése Matematika
Legújabb feladatlapok feltöltése
Címkézés 2026-ig (minden érettségi és felvételi feladat címkézve lett)
Szövegesen kereshető minden érettségi és felvételi feladatlap
Már a keresőből is elérhetők a beírt címkék alapján a feladatok Anyanyelv
Címkézés 2026-ig a 4 osztályos gimnáziumi felvételi feladatlapokon
Szövegesen kereshető minden 4 osztályos gimnáziumi felvételi feladatlap Folyamatban
Anyanyelv felvételi feladatlapok kereshetősége, maradékának címkézése
Mértékegység
Töltsd le matematica.hu Android appomat, amivel mobil eszközökön még kényelmesebben, pl. hangvezérléssel is hozzáférsz az adatbázisban tárolt feladatokhoz!
Címke: mértékegység
mértékegység(e) Maßeinheitunit of measure
Definíció: Az az egység, amihez viszonyítjuk az adott mennyiséget. A mérőszám mondja meg, hányszorosa ez a mennyiség a mértékegységnek.
Egy háromszög oldalainak hossza 7 cm, 9 cm és 11 cm. a) Igazolja, hogy a háromszög hegyesszögű! Egy derékszögű háromszög oldalainak centiméterben mért hossza egy számtani sorozat három egymást követő tagja. b) Igazolja, hogy a háromszög oldalainak aránya 3 : 4 : 5. c) Ennek a derékszögű háromszögnek a területe 121,5 cm2 . Számítsa ki a háromszög oldalainak hosszát!
Az ABCD négyzet oldalai 4 méter hosszúak. A négyzetbe az ábrán látható módon az EFGH paralelogrammát írjuk. Az AH és a CF szakasz hossza x méter, a BE és a DG szakasz hossza 2x méter (0 < x < 2). a) Igazolja, hogy a beírt paralelogramma területe (m2 -ben mérve): T(x) = 2 4 12 16x x + . b) Határozza meg az x értékét úgy, hogy a beírt paralelo- gramma területe a lehető legkisebb legyen! c) Számítsa ki a beírt paralelogramma szögeit, ha x = 1,25.
Egy 33 × 18 cm-es kartonlapból (kivágással, hajtogatással) tégla- test alakú dobozt készítenek. A doboz (sötétre színezett) kite- rített hálóját és méreteit az ábra szerint választják meg. a) Határozza meg a doboz tér- fogatát, ha a = 7 cm! b) Hogyan kell megválasztani az a, b, c élek hosszát ahhoz, hogy a doboz térfogata maximális legyen? Egy téglatest bármely három csúcsa egy háromszöget határoz meg. c) A téglatest csúcsai által meghatározott háromszögek között hány olyan van, amely- nek a síkja nem esik egybe a téglatest egyik lapjának síkjával sem?
Egy egyenlő szárú háromszög oldalai hosszúságának átlaga 10, szórása 3 2 . a) Határozza meg a háromszög oldalainak hosszát! Egy háromszög csúcsai a derékszögű koordináta-rendszerben A(-6 0), B(6 0) és C(0 8). b) Igazolja, hogy a 3x - 4y = -12 egyenletű e egyenes felezi az ABC háromszög kerü- letét és területét is!
Több település közötti legkisebb költségű vezetékhálózat tervezésekor először egy teljes gráfot készítettek. Ebben a gráfban minden települést a gráf egy csúcsával, minden ve- zetékes kapcsolatot a gráf egy-egy élével jelöltek, majd a gráf minden élére ráírták, hogy mennyibe kerülne az adott kapcsolat kiépítése. Ezután egyesével kitörölték a költséges éleket úgy, hogy a törlés után megmaradó gráf összefüggő maradjon. A teljes gráf élei kétharmadának törlése után végül egy (a legkisebb költségű hálózatot megadó) fagráfot kaptak. a) Hány település szerepelt a tervben? Az őszi kispályás labdarúgó bajnokságban 10 település egy-egy csapata vett részt. Min- den csapat egy mérkőzést játszott mindegyik másik csapattal minden mérkőzés győztese 3, vesztese 0 pontot kapott, döntetlen esetén mindkét csapatnak 1-1 pont járt. A bajnokság végén a 10 csapatnak összesen 130 pontja volt. b) Hány mérkőzés végződött döntetlenre?
Tekintsük az összes olyan hétjegyű természetes számot, amely az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 szám- jegyek mindegyikét tartalmazza. a) Az összes ilyen hétjegyű számot felírjuk egy-egy 0,5 cm × 2 cm-es téglalap alakú papírdarabra (minden papírdarabra egy hétjegyű számot írunk). Elegendő lesz-e a kis téglalapok elkészítéséhez 8 darab A4-es papírlap? (Az A4-es papírlap téglalap alakú, mérete 21 cm × 29,7 cm.) b) A megadott tulajdonságú hétjegyű számokat nagyság szerint növekvő sorba rendez- zük. Igazolja, hogy a 721. helyen a 2 134 567 áll! Egy 21 cm × 29,7 cm-es téglalap alakú (A4-es) papírlapot összehajtottunk az egyik átlója mentén (az ábra szerint). c) Számítsa ki, hogy mekkora az összehajtás után kétszeresen fedett síkrész területe!
Az ABCD téglalap oldalainak hossza AB = 17 cm és AD = 8 cm. a) Mekkora területű részt fed le a téglalapból az A középpontú, 17 cm sugarú kör? b) Az APCQ rombusz P csúcsa a téglalap AB oldalának belső pontja, Q csúcsa pedig a CD oldal belső pontja. Számítsa ki a rombusz kerületét!
Az ABCD konvex négyszögben AB = 50 m, BC = 60 m, CD = 70 m, továbbá BAD = BCD = 100,3°. a) Számítsa ki a négyszög területét! Az ABCD konvex négyszöget az átlói négy háromszögre bontják. Ezeket pirosra, kékre, sárgára vagy zöldre színezzük úgy, hogy bármely két szomszédos háromszög különböző színű legyen, de az egymással szemben fekvők azonos színűek is lehetnek. (Két három- szög szomszédos, ha van közös oldaluk.) b) Hány olyan különböző színezés lehetséges, amelyhez pontosan 3 színt használunk?
a) Egy tömör fából készült forgáshenger magassága 30 cm, felszíne 10 000 cm2 . A hengerből egy olyan forgáskúpot készítenek, amelynek az alapköre és a magas- sága megegyezik a hengerével. A henger térfogatának hány százaléka lesz forgács, és mekkora a kúp térfogata? b) Határozza meg a 10 000 cm2 felszínű forgáshengerek közül a legnagyobb térfogatú henger alapkörének a sugarát és a henger magasságát!
Két forgáshenger alakú viaszgyertyánk van. Az egyik gyertya alapkörének sugara r, ma- gassága h, a másik alapkörének sugara R, magassága szintén h. A két gyertyát összeol- vasztjuk, majd a viaszból egy ugyancsak h magasságú, forgáshenger alakú gyertyát ön- tünk (r, h, R > 0). a) Igazolja, hogy az így kapott gyertya alapkörének sugara legalább 2rR . (Az öntés során fellépő anyagveszteségtől eltekinthetünk.) Egy forgáshenger alakú tortát egy 15 cm sugarú, félgömb alakú védőbúra alatt helyezünk el. A torta a félgömb hatá- roló körének síkján áll, és a torta fedőlapjának határoló köre a félgömbre illeszkedik (az ábra szerint). b) Igazolja, hogy az m cm magasságú torta térfogata (köbcentiméterben mérve) 3 225 m m . (0 < m < 15) c) Igazolja, hogy a védőbúra alatt (a fent leírt módon) elhelyezhető maximális térfogatú torta térfogata kisebb, mint a félgömb térfogatának 60%-a!
Egy háromszög három oldalának hossza (valamilyen sorrendben) tekinthető egy mértani sorozat három szomszédos tagjának. Két oldal hosszát ismerjük, az egyik 12 cm, a másik 27 cm. a) Milyen hosszú lehet a harmadik oldal? Az ABC derékszögű háromszög befogóinak hossza AC = 30 egység és BC = 40 egység. Megrajzoljuk a derékszögű csúcsból induló magasságvonalat, szögfelezőt és súlyvonalat. Ezek metszéspontját az átfogóval jelölje rendre P, Q és R. b) Írja fel egész számokkal az AP : PQ : QR : RB arányt! Pontos értékekkel számoljon!
Egy háromszög oldalai a, a + 1 és a + 2 egység hosszúak. a) Igazolja, hogy ha a háromszög legnagyobb szöge , akkor a a 2 3 cos = . b) Határozza meg a háromszög oldalainak hosszát, ha a háromszög legnagyobb szöge 120 fokos! Egy derékszögű háromszög oldalainak hossza 8 cm, 15 cm és 17 cm. A háromszöglemez egy pontját véletlenszerűen kiválasztjuk. c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy ez a pont mindegyik csúcstól legalább 3 cm távolságra lesz?
Egy gyárban olyan 5 liter űrtartalmú lábosokat készítenek, melyek alakja jó közelítéssel (felül nyitott) forgáshenger. a) Mekkora az 5 literes lábos alapkörének a sugara, ha magassága 15 cm? b) A lábosok külső felületét vékony, piros zománcréteggel vonják be. Mekkora legyen az 5 literes lábos alapkörének a sugara, hogy a külső felület bevo- násához a lehető legkevesebb zománcot kelljen felhasználni? Minden egyes elkészült termék (egymástól függetlenül) p valószínűséggel selejtes. Egy kamion több ezer lábost szállított a megrendelőnek, melyek közül a minőségellenőrök 20-at vizsgálnak meg a szállítmány átvétele előtt. c) Legfeljebb mekkora lehet p értéke, ha legalább 0,8 annak a valószínűsége, hogy a 20 megvizsgált termék egyike sem selejtes?
Egy ingatlanhirdetésben sík területen fekvő legelőt kínálnak eladásra. A legelő alakja kon- vex négyszög, ennek csúcsait jelölje A, B, C és D. A négyszög három oldala AB = 126 m, BC = 65 m, CD = 80 m, két szöge ABC = 122,5° és ADC = 90°. A legelőt 0,9 hektár területűnek hirdeti az eladó. a) Hány százalékkal nagyobb a legelő valódi területe a meghirdetettnél? (1 ha = 10 000 m2 ) Egy itatóvályú alakja háromszög alapú egyenes hasáb. Vízszintes helyzetében a vályú felül nyitott, a hasábnak ez a lapja párhuzamos a vízszintes talaj síkjával, a háromszög alakú lapok pedig a talaj síkjára merőlegesek (ld. az ábrát). A szabályos háromszög alakú lemezek oldalai 38 cm hosz- szúak, a két téglalap alakú oldallap pedig 38 cm × 72 cm-es. A vízszintes helyzetű vályú kezdetben tele van vízzel. A vá- lyú egyik végét megemeljük, ezért a víz egy része kifolyik belőle. A vályúban ekkor a vízfelszín a bal oldali szabályos háromszög alsó csúcsától a jobb oldali szabályos három- szög felső éléig ér, ahogyan az ábra mutatja. b) Igazolja, hogy ekkor a vályúban (egészre kerekítve) 15 liter víz van! A vályút ezután visszafektetjük eredeti, vízszintes helyzetébe. c) Hány cm magasan áll a víz a vályúban ekkor?
Egy téglatest egyik éle 4 dm, egy másik éle 2 dm hosszú. A téglatest térfogata 72 dm3 . a) Határozza meg a téglatest felszínét! Egy téglatest térfogata 72 dm3 . A téglatest egyik éle kétszer olyan hosszú, mint egy másik éle. b) Határozza meg az ilyen tulajdonságú téglatestek közül a minimális felszínű téglatest éleinek hosszát! c) Hányféleképpen választhatunk ki egy téglatest csúcsai közül hármat úgy, hogy a kiválasztott három csúcs által meghatározott sík ne tartalmazza a téglatest egyetlen további csúcsát sem?
Egy felül nyitott doboz vízszintes asztallapon áll. A dobozt három téglalap és két derékszögű trapéz határolja. A doboznak a vízszintes síkra illeszkedő lapja 8 cm× 6 cm méretű, két egymással szemközti függőleges síkú lapja pedig 6 cm× 5 cm, illetve 6 cm× 2 cm méretű téglalap. a) Számítsa ki a doboz testátlóinak hosszát! A test kiterített hálóját az ábra sötétített tartománya szemlélteti. Ezt a hálót egy 15 cm× 16 cm-es téglalapból vágjuk ki (ennek oldalai párhuzamosak a test 8 cm× 6 cm-es alaplapjá- nak oldalaival). b) Hány százalék hulladék keletkezik? Egy téglalap alakú kartonlap oldalhosszait úgy szeretnénk megválasztani, hogy alul és felül 4-4 cm-es, jobb és bal oldalon 2-2 cm-es margót hagyva a lap közepén megmaradó téglalap alakú terület 50 cm2 nagyságú legyen. c) Mekkorának válasszuk a kartonlap oldalainak hosszát, hogy a területe a lehető legkisebb legyen?
Az ABCD húrnégyszögben AB = 15, BC = 10. Az ABC szöget a DB átló két részre osztja: ABD = 20°, DBC = 40°. a) Igazolja, hogy az AC átló hossza pontosan 5 7 ! b) Igazolja, hogy az ACD háromszög szögei 20°, 40° és 120°! c) Számítsa ki az ABCD négyszög területét! A KLMN deltoidban a K és az M csúcsnál derékszög van, a KM átló hossza 9,6 cm. Az LN szimmetriaátlót az átlók metszéspontja két olyan szakaszra osztja, amelyek hosszának különbsége 2,8 cm. d) Számítsa ki a deltoid területét!
Az ABCDE konvex ötszögben AB AE 20 cm és BC CD DE. A BCDE négyszög egy húrtrapéz, amelynek a B-nél fekvő belső szöge 40°-os. Az A csúcs és az EB átló távolsága 10 cm. a) Mekkorák az ötszög (belső) szögei? b) Mekkora az ötszög területe? c) Hányféleképpen járható be az ábrán látható ABCDE ötpontú gráf, ha mindegyik élén pontosan egyszer kell végighaladnunk? (A bejárás kezdőpontja a gráf egyik csúcsa; egy csúcsba érkezve csak olyan élen haladhatunk tovább, amely szintén az adott csúcsból indul.)
Egy hatfős baráti társaság, Attila, Boróka, Csaba, Dóra, Emil és Fanni három csapatot alkot. Mindhárom csapat 2 tagú, és mind a hatan pontosan egy csapatnak lesznek a tagjai. a) Igazolja, hogy 15 különböző lehetőség van a három csapat kialakítására! (Két lehetőség különböző, ha van olyan tag, akinek az egyik esetben más a csapattársa, mint a másikban.) b) Ha véletlenszerűen (például sorsolással) hozzák létre a három csapatot, akkor menynyi a valószínűsége annak, hogy mindhárom csapatba egy fiú és egy lány kerül? Végül Attila Borókával, Csaba Dórával, Emil pedig Fannival került egy csapatba. A há- rom csapat tagjai egyéni asztalitenisz-mérkőzéseket játszanak. Mindhárom csapat mindkét tagja egyszer játszik a másik két csapat mindkét tagjával. (Az egy csapatba tartozók nem játszanak egymás ellen.) Az egyes mérkőzéseket egymás után bonyolítják le. Az egyik mérkőzés után Attila megfigyelte, hogy a többi öt játékos mind különböző számú mérkőzést játszott eddig. c) Hány mérkőzést játszott eddig Boróka?
Az ábrán látható ABCD négyzet AC átlóját a P és a Q pont három szakaszra bontja, mégpedig úgy, hogy AP:PQ:QC 4:5:3 teljesül. Jelölje F a négyzet AB oldalának felezőpontját. a) Határozza meg, hogy az AFQ háromszög területe hányadrésze az ABCD négyzet területének! A négyzet oldala 24 egység hosszú. b) Igazolja, hogy az FPQ háromszögben FP 4 5 és QF 6 10 . c) Igazolja, hogy az AFQ háromszög és az FPQ háromszög hasonló!
Egy k és egy 2k pontú teljes gráfnak összesen 697 éle van. a) Határozza meg k értékét! Egy kispályás labdarúgó-bajnokságban hat csapat körmérkőzést játszik egymással: mindegyik csapat játszik mindegyik másikkal egy-egy mérkőzést. A bajnokság megkezdése előtt a szervezők a mérkőzések közül kisorsolnak hármat, és ezeken a mérkőzéseken doppingellenőrzést tartanak. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy lesz olyan csapat, amelyik mindhárom kisorsolt mérkőzésen szerepel! Egy mérkőzés előtt az öltözőben hatan vannak, akik közül néhányan már kezet fogtak egymással. Mind a hat embertől megkérdeztük, hogy eddig hány másik emberrel fogott kezet. A válaszok között van öt különböző érték. c) Hány kézfogás történhetett eddig összesen?
Az ABC derékszögű háromszög A csúcsánál fekvő szöge 30°-os. a) A háromszög AB átfogójának F felezőpontjában merőlegest állítunk az átfogóra. Ez a merőleges az AC befogót az E pontban metszi. Milyen arányban osztja két részre az E pont az AC befogót? A háromszögből az átfogójához tartozó CP1 magassága mentén levágjuk a H1-gyel jelölt háromszöget. Az így megmaradó ACP1 derékszögű háromszögben végrehajtjuk ugyanezt a lépést: a H2 háromszöget vágjuk le a háromszög átfogójához tartozó P1P2 magassága mentén, és így tovább (lásd az ábrán). b) Ha ezt az eljárást 13-szor hajtjuk végre, akkor a 13 háromszög levágása után megmaradó háromszög területe hány százaléka az ABC háromszög területének? c) Mekkora a végtelen sok szakaszból álló CP1P2P3P4… töröttvonal hosszának pontos értéke, ha CP1 2 3 ?
Egy háromszög oldalainak hossza p q 2 2 , p q 2 2 , illetve 2pq, ahol p és q olyan pozitív egész számok, melyekre p > q teljesül. a) Igazolja, hogy a három oldalhossz közül p2 2 q a legnagyobb! b) Igazolja, hogy a háromszög derékszögű! c) Igazolja, hogy a háromszög területe p3 3 q q p ! d) Jelölje a háromszögbe írt kör sugarának hosszát r. Igazolja, hogy r értéke egész szám!
Tekintsük azokat a háromszögeket, amelyeknek a, b és c oldalaira teljesül, hogy (centiméterben mérve) b a + 4 és c a + 8. a) Adott egy ilyen tulajdonságú háromszög, melynek legnagyobb szöge 120. Hatá- rozza meg a háromszög oldalainak hosszát! b) Adott egy ilyen tulajdonságú háromszög, melynek leghosszabb oldala 24 cm hosszú. Határozza meg a háromszög területét! c) Igazolja, hogy minden ilyen tulajdonságú háromszög kerülete nagyobb, mint 24 cm!
Az OAB egyenlőszárú háromszög OA és OB szárai 12 cm hoszszúak, AOB szöge 75. Az OA szakasz C pontját és az OB szakasz D pontját (az ábra szerint) egy O középpontú, 8 cm sugarú körív köti össze. a) Határozza meg a szürkére színezett tartomány területét és kerületét! Az OAB háromszöget megforgatjuk az OA oldal egyenese körül. b) Határozza meg az így keletkező forgástest térfogatát! Az ábrán látható négy tartományt piros, kék és zöld színnel színezzük ki úgy, hogy egy tartományhoz egy színt használunk. c) Hányféleképpen színezhetjük ki a négy tartományt, ha szomszédos tartományok nem lehetnek azonos színűek? (Két tartomány szomszédos, ha van közös határvonaluk. A színezéshez nem szükséges mindhárom színt felhasználni.)
Az {an} sorozat tagjaira n ≥ 2 esetén az a a n n n 1 összefüggés teljesül. Egy négyszög belső szögei (fokban mérve) a1, a2, a3 és a4. a) Határozza meg a négyszög belső szögeinek nagyságát! Az ABCD négyszög oldalai, átlói és szögei közül ismertek a következők: AB 18 cm, AD 15 cm, AC 20 cm, DAB 90º, ABC 70º. b) Határozza meg a négyszög BC és CD oldalának hosszát!
27/27. | | E2025/2/6. | 16p | X | HUDEENFRITSKSPSR
Az ABCD húrnégyszögben a BD átló hossza 20 cm, ABD BCA 35°, DAC 48°. a) Igazolja, hogy BDA 35° és ACD 35°. b) Számítsa ki az ABCD húrnégyszög kerületét! Az EFG háromszögről a következőket tudjuk: EF 110 cm, FG 50 cm, EG 104 cm. c) Számítsa ki, hogy a háromszög F csúcsából induló belső szögfelező mekkora ré- szekre osztja az EG oldalt!
mértékegység 
(e) Maßeinheit 
unit of measure 
