a) Határozza meg az alábbi kijelentések logikai értékét (igaz-hamis)! Válaszait indokolja! I. Van olyan hatpontú fagráf, amelynek minden csúcsa páratlan fokszámú. II. Ha egy hétpontú egyszerű gráfnak 15 éle van, akkor a gráf összefüggő. III. Van olyan fagráf, amelyben a csúcsok számának és az élek számának összege páros. Egy hatfős társaság tagjai A, B, C, D, E és F. Mindenkit megkérdeztünk, hogy hány is- merőse van a többiek között (az ismeretség kölcsönös). A válaszként kapott hat termé- szetes szám szorzata 180. Az is kiderült, hogy A-nak legalább annyi ismerőse van, mint B-nek, B-nek legalább annyi ismerőse van, mint C-nek, és így tovább, E-nek legalább annyi ismerőse van, mint F-nek. b) Szemléltesse egy-egy gráffal a lehetséges ismeretségi rendszereket!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1497

a) Ha a|b igaz, akkor a|b2 is teljesül (a és b pozitív egész számok). Fogalmazza meg a fenti (igaz) állítás megfordítását, és állapítsa meg a megfordítás logikai értékét is! Válaszát indokolja! (a|b azt jelenti, hogy az a egész szám osztója a b egész számnak.) b) Hány olyan n pozitív egész szám van, amelyhez létezik olyan p (pozitív) prímszám, amelyre az pnn 2 különbség is egy (pozitív) prímszámmal egyenlő? Egy lapra 10 pontot rajzoltunk, majd ezeket megszámoztuk 1-től 10-ig. Ezután minden egyes pontot egy-egy vonallal összekötünk a lapon szereplő összes olyan ponttal, amelyhez írt szám a kiválasztott ponthoz írt számnak osztója. (Például azt a pontot, amelyhez a 6-ot írtuk, összekötöttük mind a négy ponttal, amelyhez a 6 valamelyik osz- tóját írtuk.) c) Igazolja, hogy az így kapott 10 csúcsú gráf nem egyszerű gráf! d) Igazolja, hogy a gráf éleinek száma páratlan!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 6264

A pozitív páratlan számokat háromszög alakban rendezzük el a következők szerint: az első oszlopba írjuk az első páratlan szá- mot, a második oszlopba a következő kettőt, a harmadik osz- lopba a következő hármat, és így tovább. Például az ötödik osz- lop negyedik helyén a 27 áll (lásd az ábrát is). a) Hányadik oszlop hányadik helyén áll a 99 ? b) Határozza meg a 2017. oszlopban álló első számot! c) Igazolja, hogy az n-edik oszlopban álló számok összege 3 n (n Z+ ). 29 2719 251711 231595 2113731

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 6267

Az ábrán egy 3×3-as kirakós játék (puzzle) sematikus képe látható. A kirakós játékot egy gráffal szemléltethetjük úgy, hogy a gráf csú- csai (A1, A2, ... , C3) a puzzle-elemeket jelölik, a gráf két csúcsa között pedig pontosan akkor vezet él, ha a két csúcsnak megfelelő puzzle-elemek közvetlenül (egy oldalban) kapcsolódnak egymás- hoz a teljesen kirakott képben. a) Rajzolja fel a kirakós játék gráfját (a csúcsok azonosításával együtt), és határozza meg a gráfban a fokszámok összegét! b) Igazolja, hogy a megrajzolt gráfban nincs olyan (gráfelméleti) kör, amely páratlan sok élből áll! c) A teljesen kirakott képen jelöljön meg a puzzle-elemek közül 7 darabot úgy, hogy a kirakósjáték általuk alkotott részlete (a részletnek megfelelő gráf) már ne legyen összefüggő! d) Hányféleképpen lehet a puzzle-elemek közül hármat úgy kiválasztani, hogy ezek a teljesen kirakott képben kapcsolódjanak egymáshoz (azaz mindhárom képrészlet közvetlenül kapcsolódjék legalább egy másikhoz a kiválasztottak közül)? (Az elemek kiválasztásának sorrendjére nem vagyunk tekintettel.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7702

a) Az A, B és C nemüres halmazokról tudjuk a következőket: az A minden eleme a B-nek is eleme, továbbá C-nek van olyan eleme, amelyik A-nak is eleme. Az alábbi öt állítás mindegyikéről döntse el, hogy igaz vagy hamis! (Válaszait nem kell indokolnia.) (1) Van olyan eleme A-nak, amelyik C-nek is eleme. (2) Nincs olyan eleme C-nek, amelyik B-nek is eleme. (3) Ha valami eleme B-nek, akkor eleme A-nak is. (4) Ha valami nem eleme B-nek, akkor az eleme C-nek. (5) Ha valami nem eleme B-nek, akkor az nem eleme A-nak sem. Egy 34 fős osztály matematikatanára az egyik óra elején egy rövid, öt kijelentést tartal- mazó tesztet írat. A tanulóknak meg kell határozniuk a kijelentések logikai értékét (igaz vagy hamis). A feladatok sorszámuk szerint fokozatosan nehezedők, ennek megfelelő a pontozás is: az n-edik feladat esetén a helyes válasz n pontot ér, a hibás válaszért pedig n pont levonás jár (n {1 2 3 4 5}). Tudjuk, hogy mind a 34 tanuló mind az öt teszt- kérdésre válaszolt. b) Bizonyítsa be, hogy van két olyan tanuló, aki ugyanúgy töltötte ki a tesztlapot! c) Mutassa meg, hogy a teszttel elért összpontszám csak páratlan egész szám lehet! Jól sikerült tesztet írt Adél, Béla és Csilla, az osztály három tanulója. Tesztjeikkel össze- sen 39 pontot értek el. d) Hányféleképpen lehet három, 15-nél nem nagyobb páratlan egész szám összegeként a 39-et felírni, ha az összeadandók sorrendjét is figyelembe vesszük?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7749

a) Igazolja, hogy bármely hat egymást követő természetes szám szorzata osztható 45-tel! b) Igaz-e, hogy bármely öt egymást követő páratlan természetes szám szorzata osztható 45-tel? (Válaszát indokolja!) c) Hány olyan megoldása van a 45 = 3 + 5 + a + b + c egyenletnek, amelyben a, b és c különböző páratlan természetes számok, és 5 < a < b < c is teljesül? d) Határozza meg az (A B) C állítás logikai értékét az A, B és C kijelentések különböző lehetséges logikai értékei esetén, és töltse ki ennek megfelelően az alábbi igazságtáblázatot! (Válaszait itt nem szükséges indokolnia.) A B C (A B) C i i i i i h i h i i h h h i i h i h h h i h h h

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10143

Egy baráti összejövetelen 7 fiú és 5 lány vett részt, találkozáskor mindenki üdvözölte a többieket. A fiúk kézfogással köszöntek egymásnak, két lány, illetve egy fiú és egy lány pedig öleléssel köszöntötte egymást. a) Hány olyan találkozás volt, ahol öleléssel köszöntötték egymást? Egy hatfős baráti társaság tagjai András, Bori, Csaba, Dóra, Ervin és Fanni bajnokságon döntik el, hogy ki a legjobb pingpongos közülük. Mindenki mindenki ellen egy mérkőzést játszik. Amikor 9 mérkőzést már lejátszottak, akkor kiderült, hogy mindegyikük páratlan számú mérkőzésen van túl. András az eddigi egyetlen meccsét Bori ellen játszotta, Csaba még nem játszott Ervin ellen. b) Játszott-e már Dóra Fanni ellen? András, Bori, Csaba és Dóra egy szabályos dobókockával dobnak egyet-egyet, és az nyer, aki a legnagyobb olyan számot dobta, amit a többiek nem dobtak (például 6, 6, 4, 1 dobások esetén a 4-est dobó játékos nyer). Ha nincs ilyen szám, akkor nem nyer senki. Bori 5-öst dobott, a többiek ezután fognak dobni. c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy Bori nyer?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10267

a) Satírozza be az alábbi ábrán a B \ (A  C) halmazt! b) Adja meg halmazműveletek segítségével az alábbi ábrán szürke színnel jelzett részhalmazt! Legyen a H alaphalmaz a függvények halmaza, Z, K és P pedig a H alábbi részhalmazai: Z  {zérushellyel rendelkező függvények}; K  {kölcsönösen egyértelmű függvények}; P  {páratlan függvények}. c) Helyezze el az alábbi hozzárendelésekkel megadott függvények betűjelét az ábra megfelelő részébe! f : R  R, x x  g: R  R, x x  2 2 h: R+  R, x x  lg i: R  R, x x  sin Egy négypontú gráf csúcsait megfeleltetjük a fenti f, g, h és i függvényeknek. Két csúcsot pontosan akkor kötünk össze éllel, ha a két megfelelő függvény értékkészletének van kö- zös eleme. d) Rajzolja fel az így kapott gráfot! Válaszát itt nem kell indokolnia.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11522

A TAJ szám (társadalombiztosítási azonosító jel) egy 9 karakterből álló azonosító kód, amelyben az első 8 karakter egy-egy számjegy, a kilencedik karakter pedig az első 8 számjegyből képzett ellenőrző számjegy. Az ellenőrző számjegy képzési szabálya: az első nyolc számjegy közül (elölről nézve) a páratlan sorszámú helyeken álló számjegyeket 3-mal, a páros sorszámú helyeken állókat pedig 7-tel szorozzuk. E szorzatok öszszegének utolsó számjegye lesz az ellenőrző számjegy. a) Határozza meg a TAJ szám ellenőrző számjegyét, ha az első nyolc számjegy 24165379. b) Egy TAJ szám első számjegyét letakartuk, így az _14564797 számsor látható. Határozza meg a letakart számjegyet! c) Határozza meg az ellenőrző számjegy lehetséges értékeit abban a TAJ számban, amely 02563abba alakú! (a és b nem szükségképpen különböző számjegyek.) Egy iskolai nyilvántartásban (gépi adatrögzítési hiba miatt) a rögzített TAJ számok 1,5%- a hibás. (Ezt tekinthetjük úgy, hogy egy tetszőleges TAJ szám 0,015 valószínűséggel lesz hibás.) Lekérünk 20 TAJ számot a nyilvántartásból. d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egynél több hibás lesz közöttük?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11556