Tekintsük a valós számokon értelmezett ( ) ( ) ( ) 6225,3 2 ++= xpxpxf függvényt, ahol p tetszőleges valós paraméter! a) Mutassa meg, hogy tetszőleges p érték mellett az 2=x zérushelye a függvénynek! b) Milyen p értékek esetén lesz a függvény másik zérushelye 1-nél nagyobb?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1120

a) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben az [ ] ( ) 56,7 0: 2 += xxxfRf függvényt! b) Adja meg az f függvény értékkészletét! c) A p valós paraméter értékétől függően hány megoldása van az pxx =+ 562 egyenletnek a [ ]7 0 intervallumon?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1133

A TOJÁS farmon átlagosan 10 000 tyúkot tartanak. Ezek egy év alatt mintegy 2,20 millió tojást tojnak. A tenyésztők azt tapasztalták, hogy - valószínűleg a zsúfoltság csökkenése miatt - ha a tyúkok számát 4%-kal csökkentik, akkor az egy tojóra jutó átlagos tojástermelés 8%-kal nő. a) A tyúkok számának 4%-os csökkentése után, mennyi lett a tojásfarmon az évi termelés? Az a tapasztalat, hogy a tyúkok számának p %-kal történő csökkentése 2p %-kal növeli az egy tyúkra vonatkozó tojásmennyiséget, csak p < 30 esetén érvényes. b) Hány százalékkal csökkentették a tyúkok számát, ha ezzel évi 8%-os termelésnövekedést értek el egy év alatt?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4332

Az 02 =+ pxx egyenlet valós gyökei eggyel kisebbek, mint az 012 =+ pxx egyenlet valós gyökei. a) Számítsa ki a p valós paraméter értékét! b) Számítsa ki mindkét egyenlet valós gyökeit 5=p esetén!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1162

Oldja meg az alábbi egyenletet, ahol a p paraméter valós számot jelöl! 0 2 1 24 222 = + + + xxxx p x x Van-e olyan p valós szám, amely esetén két különböző gyöke van az egyenletnek? Van-e olyan p valós szám, amely esetén nincs gyöke az egyenletnek?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1209

Adott az f függvény: ] [ ( ) xxxff 1924 6 1: 3 += R . a) Határozza meg f zérushelyeit, és elemezze az f függvényt monotonitás szempontjából! Jelölje c az f értelmezési tartományának egy pozitív elemét. b) Határozza meg a c értékét úgy, hogy az x tengely [ ]c 0 szakasza, az 0= cx egyenletű egyenes és az f grafikonja által közbezárt síkidom területe 704 területegységnyi legyen!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4347

a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az xkxxxf 9)( 23 ++= képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl.) Számítsa ki, hogy k mely értéke esetén lesz 1=x lokális szélsőérték-helye a függvénynek! Állapítsa meg, hogy az így kapott k esetén 1=x a függvénynek lokális maximumhelye, vagy lokális minimumhelye! Igazolja, hogy a k ezen értéke esetén a függvénynek van másik lokális szélsőérték-helye is! b) Határozza meg a valós számok halmazán a 23 9)( xxxg = képlettel értelmezett g függvény inflexiós pontját!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1225

Határozza meg az valós paraméter értékét úgy, hogy a ( ) 0sin1cossin44 2 =+++ xx egyenletnek egy darab kétszeres valós gyöke legyen!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1237

a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete 102 =+ yx , egyik csúcsa az origó. Hány ilyen tulajdonságú háromszög van? Adja meg a hiányzó csúcsok koordinátáit! b) Jelölje e azokat az egyeneseket, amelyeknek egyenlete byx =+2 , ahol b valós paraméter. Mekkora lehet b értéke, ha tudjuk, hogy van közös pontja az így megadott e egyenesnek és az origó középpontú, 4 egység sugarú körnek?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1252

Az a és b vektor koordinátái a t valós paraméter függvényében: )sin (cos tta és )cos (sin 22 ttb . a) Adja meg az a és b vektorok koordinátáinak pontos értékét, ha t az 6 5 számot jelöli! b) Mekkora az a és b vektorok hajlásszöge 6 5 =t esetén? (A keresett szöget fokban, egészre kerekítve adja meg!) c) Határozza meg a t olyan valós értékeit, amelyek esetén az a és b vektorok merőlegesek egymásra!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4374

Legyen ( ) a a x a x a x xf ++= 234 23 , ahol a pozitív valós szám és x R. a) Igazolja, hogy ( ) a dxxf 0 = aa + 3 . b) Mely pozitív valós a számokra teljesül, hogy ( ) 0 0 a dxxf ? c) Az x mely pozitív valós értéke esetén lesz a ( ) xxxg += 3 függvénynek lokális (helyi) maximuma?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1285

Egy gyártósoron 8 darab gép dolgozik. A gépek mindegyike, egymástól függetlenül 0,05 valószínűséggel túlmelegszik a reggeli bekapcsoláskor. Ha a munkanap kezdetén 3 vagy több gép túlmelegszik, akkor az egész gyártósor leáll. A 8 gép reggeli beindításakor bekövetkező túlmelegedések számát a binomiális elosz- lással modellezzük. a) Adja meg az eloAszlás két paraméterét! Számítsa ki az eloszlás várható értékét! b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a reggeli munkakezdéskor egyik gép sem melegszik túl? c) Igazolja a modell alapján, hogy (négy tizedes jegyre kerekítve) 0,0058 annak a valószínűsége, hogy a gépek túlmelegedése miatt a gyártósoron leáll a termelés a munkanap kezdetekor!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1328

Egy pillepalack alakja olyan forgáshenger, amelynek alapköre 8 cm átmérőjű. A palack fedőkörén található a folyadék kiöntésére szolgáló szintén forgáshenger alakú nyílás. A két hengernek közös a tengelye. A kiöntő nyílás alapkörének átmérője 2 cm. A palack magassága a kiöntő nyílás nélkül 30 cm. A palack vízszintesen fekszik úgy, hogy annyi folyadék van benne, amennyi még éppen nem folyik ki a nyitott kiöntő nyíláson keresztül. a) Hány deciliter folyadék van a palack- ban? (Válaszát egy tizedesjegyre kere- kítve adja meg!) A palack tartalmát kiöntve, a palackot összenyomva, annak eredeti térfogata 2p százalékkal csökken. Egy hulladékot újrahasznosító cég (speciális gép segítségével) az ilyen módon tömörített palack térfogatát annak további p százalékával tudja csök- kenteni. Az összenyomással, majd az ezt követő gépi tömörítéssel azt érik el, hogy a palackot eredeti térfogatának 19,5 százalékára nyomják össze. b) Határozza meg p értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1361

a) Ábrázolja a derékszögű koordináta-rendszerben az ,]5 0[: Rf f (x) = 342 + xx függvényt! b) Tekintsük az paraméteres egyenletet, ahol k valós paraméter. Vizsgálja a megoldások számát a k paraméter függvényében! c) Ábrázolja a megoldások számát megadó függvényt a [6 6] k intervallumon! d) Adja meg a c)-beli függvény értékkészletét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1362

Legyen p valós paraméter. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett f függvényt, amelynek hozzárendelési szabálya ( ) 6)3(3 223 ++= xpxpxxf . a) Számítsa ki a 2 0 )( dxxf határozott integrál értékét, ha p = 3. b) Határozza meg a p értékét úgy, hogy az x = 1 zérushelye legyen az f függvény- nek! c) Határozza meg a p értékét úgy, hogy az f függvény deriváltja az x = 1 helyen pozitív legyen!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1373

Az ( ) cbxaxxff ++= 2 ,: RR másodfokú függvény grafikonjának tengelypontja a ( )2 4T pont, és a ( )0 2P pont is illeszkedik a grafikonra. a) Számítsa ki az a, b, c együtthatók értékét! b) Írja fel a grafikon 3 abszcisszájú pontjába húzható érintő egyenletét! c) Számítsa ki az f grafikonja és az x tengely által határolt tartomány területet!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1390

A derékszögű koordináta-rendszerben az ABC háromszög csúcsai: ( )1 2A , ( )4 7 B , ( )pC 11 . Határozza meg a p paraméter pontos értékét, ha a háromszög B csúcsánál levő belső szöge 60°-os.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1407

A p valós paraméter olyan, hogy az 12 ++= pxxy és az pxxy = 2 egyenletű parabolák különbözők és van közös pontjuk az x tengelyen. a) Számítsa ki a p értékét, és a kapott értékkel írja fel a parabolák egyenletét! Rajzolja meg közös koordináta-rendszerben az xxy 22 += , és az 32 = xxy egyenletű parabolákat! b) Számítsa ki e két parabola és az y tengely által határolt síkidom területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1435

a) Határozza meg az cbxaxxxff +++= 23 )(,: RR függvényben az a, b és c valós paraméterek értékét, ha a függvényről tudjuk a következőket: (1) )1()1( = ff + 4 (2) f(3) = 10 (f az f deriváltfüggvénye) (3) = 2 0 8)( dxxf . b) Mutassa meg, hogy az 33 23 + xxx polinom szorzattá alakítható, és ennek segítségével határozza meg a 33)(,: 23 += xxxxgg RR függvény zérus- helyeit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1481

Adott a g függvény: 23 )( 23 xx xg (x R). a) Adjon meg egy olyan (nem nulla hosszúságú) intervallumot, amelyen a g mindegyik helyettesítési értéke negatív! b) Határozza meg a c lehetséges értékeit úgy, hogy c dxxg 0 0)( teljesüljön! c) Határozza meg az f :] - 4 -1[ R, 2012 23 )( 23 x xx xf függvény minimum- helyét és a minimális függvényértéket!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 6262

Adott az 2 2 4 16 34 0x y x y egyenletű k kör. a) Igazolja, hogy az E(-7 5) pont rajta van a k körön! b) Írja fel a k kör E pontjában húzható érintőjének egyenletét! c) Határozza meg az m valós paraméter összes lehetséges értékét úgy, hogy az y mx egyenletű e egyenesnek és a k körnek ne legyen közös pontja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7703

a) Határozza meg a p > 0 paraméter értékét úgy, hogy 2 0 (3 24 20) 0 p x x dx teljesüljön! b) Határozza meg az a, b, c valós paraméterek értékét úgy, hogy az 3 2 ( ) 28f x ax bx cx (x R) függvénynek x 2-ben zérushelye, x - 4-ben lokális maximumhelye, x -1-ben pedig inflexiós pontja legyen!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8929

a) Az ábrán a harmadfokú f függvény grafikonjának egy részlete látható. A függvény értelmezési tartományában megjelöltünk öt helyet. Mindegyik esetben döntse el, hogy az adott helyen az f első, illetve második deri- váltjának előjele pozitív (P) vagy negatív (N)! Válaszát írja a megadott táblázat meg- felelő cellájába! (Tudjuk, hogy 4 ( ) 0f x = .) b) Adott az 21 ( 2) 8 4 y x= + egyenletű parabola. Határozza meg a k valós paraméter értékét úgy, hogy a 4x - y = k egyenletű egyenes érintse a parabolát, és határozza meg az érintési pont koordinátáit is! hely x1 x2 x3 x4 x5 f előjele P 0 f előjele

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8969

Adott az 2 (4 1) 2 0x p x p + + = másodfokú egyenlet, ahol p valós paraméter. a) Igazolja, hogy bármely valós p érték esetén az egyenletnek két különböző valós gyöke van! b) Ha az egyenlet egyik gyöke 3, akkor mennyi a másik gyöke? c) Határozza meg a p paraméter értékét úgy, hogy az egyenlet gyökeinek négyzetösz- szege 7 legyen!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8984

a) Határozza meg az f: R R, 3 2 ( )f x x ax bx c= + + + függvényben az a, b és c valós paraméterek értékét, ha a függvényről tudjuk az alábbiakat: (1) f (0) = 1 (2) f (1) = 0 (3) f (2) = f (1) (az f első deriváltjának x = 2-ben vett értéke megegyezik az f második deriváltjának x = 1-ben vett értékével). b) Igazolja, hogy az 3 2 4 2 3y x x x= + + és az 3 3y x= + egyenletű görbének két kö- zös pontja van, és számítsa ki a görbék által közbezárt síkidom területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10283

a) Legyen f : [1 [ [1 [, x 2 1 x , és g: [1 [ [1 [, x x . Oldja meg az f(g(x)) = g(f(x)) egyenletet! b) Igazolja, hogy tetszőleges a < b paraméterek esetén (2 1) ( )( 1). b a x dx b a b a = + c) Határozza meg az a és b egész paraméterek lehetséges értékeit, ha tudjuk, hogy (2 1) 8 = b a x dx (a < b).

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10823

Az ábrán egy medence méretarányos (kicsinyített) felülnézeti tervrajza látható. A medencét az y = x és az y = -2x + 2 egyenletű egyenes, valamint az y x x = 3 (0 x 1) egyenletű görbe fogja közre. a) Számítsa ki, hogy mekkora a tervezett medence alapterülete, ha a tervrajzon látható (0 0) és (1 0) pontok tá- volsága a valóságban 12 méter lesz! Adott az f f x x kx : ( ) R R + = + 3 függvény (k valós paraméter). Az f függvény grafikonjához egy-egy érintőt húzunk az x = 1, illetve az x = 2 abszcisszájú pontjában. b) Igazolja, hogy a két érintő metszéspontjának első koordinátája (a k paraméter érté- kétől függetlenül) 14 9 .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10824

A mérnökök egy új fejlesztésű autó üzemanyag-fogyasztását igyekeznek meghatározni különböző sebességek mellett. Eddig három mérési adat áll rendelkezésre: ezek szerint 40 km/h sebesség mellett 9,6 liter, 70 km/h sebesség mellett 6,9 liter, 120 km/h sebesség mellett pedig 6,4 liter a 100 km-enkénti üzemanyag-fogyasztás. a) A mérési adatokkal számolva mennyi lenne ennek az autónak a 100 km-re vonat- kozó átlagos üzemanyag-fogyasztása egy olyan úton, amelyen 30 percig 40 km/h sebességgel, majd 50 percen át 120 km/h sebességgel halad? Három mérnök olyan f függvényeket keres, amelyek minél jobban közelítik az ismert mérési eredményeket, azaz amelyekre az (40) 9,6 (70) 6,9 (120) 6, 4f f f + + ösz- szeg értéke minél kisebb. Mérnök Csaba az elsőfokú 1 ( ) 11, 2 0,04f x x= függvényt, Mérnök Dóra pedig az 2 100 ( ) 4 10 x f x = + abszolútérték-függvényt javasolja az autó 100 km-enkénti fogyasz- tásának közelítésére (x az autó sebességét jelöli km/h-ban mérve, a fogyasztást pedig li- terben kapjuk meg). b) Az f1 vagy az f2 függvény közelíti-e jobban a fenti értelemben a három mérési ered- ményt? Mérnök Elemér azt a másodfokú 2 3 ( )f x ax bx c= + + függvényt kereste meg, amely mindhárom mérési adat esetén pontos eredményt ad, azaz f3 (40) = 9,6 f3(70) = 6,9 és f3 (120) = 6,4. c) Határozza meg az a, b és c paraméterek értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10837

Adott az A(5; 14) és a B(7; 6) pont a koordináta-rendszerben. a) Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely illeszkedik az A és a B pontokra, és a középpontja az y tengelyen van! b) Az 1 ( )2 2 y x u v p    egyenletű parabola tengelypontja a B pont, és a parabola illeszkedik az A pontra. Határozza meg a parabola p paraméterének értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11494

Legyen a H alaphalmaz az egyváltozós valós függvények halmaza, M, K és A pedig a H alábbi részhalmazai: M  {az értelmezési tartományukon szigorúan monoton növekedő függvények}; K  {az értelmezési tartományukon konvex függvények}; A  {alulról korlátos függvények}. a) Helyezze el az alábbi hozzárendelésekkel megadott függvények betűjelét az ábra megfelelő részébe! f: R  R, x x  sin g: R\ {0}  R, 1 x x  h: R  R, x  2x i: R+{0}  R, x x  b) Jelölje az ábrán satírozással a (K  A) \ M halmazt, és hozzárendelési szabályával adjon meg egy olyan j függvényt, amely ebbe a halmazba tartozik! c) Határozza meg az R  R, x x bx c  2   függvény b és c paramétereinek értékét, ha tudjuk, hogy a függvénynek x  2-ben minimumhelye van, és a minimum értéke –1. d) Határozza meg azokat a p  [0; 2] értékeket, amelyekre 0 1 sin 2 p  x dx  .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11496