Állítsuk a pozitív egész számokat növekvő sorrendbe, majd bontsuk rendre 1-gyel növekvő elemszámú csoportokra, a felbontást az alábbi módon kezdve: (1), (2 3), (4 5 6), (7 8 9 10), ... a) A 100-adik csoportnak melyik szám az első eleme? b) Az 1851 hányadik csoport hányadik eleme?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4330

Egy gimnázium alapítványának kuratóriuma úgy döntött, hogy elindít egy lottójátékot, amelynek bevételéből bizonyos részt a nyereményekre, bizonyos részt jótékonysági célokra fordít. Ebben a játékban heti rendszerességgel az első 40 pozitív egész számból húznak ki véletlenszerűen négyet. András a következő módon választja ki azokat a számokat, amelyeket megjátszik ezen a lottón: az első két szám kiválasztása után harmadiknak az első két szám összegét, negyediknek pedig az első három szám összegét választja. a) Legfeljebb mekkorának választhatja András a legkisebb számot? b) Ha András a legkisebb számot a lehető legnagyobbnak választja meg, akkor melyik számok szerepelhetnek a helyesen kitöltött szelvényen? c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy Andrásnak telitalálata lesz, ha az egyik héten a fenti szabálynak megfelelő minden egyes számnégyest pontosan egyszer megjátszik?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1168

Egy pozitív tagokból álló mértani sorozat első három tagjának összege 26. Ha az első taghoz egyet, a másodikhoz hatot, a harmadikhoz hármat adunk, akkor ebben a sorrendben egy számtani sorozat első három tagját kapjuk. Adja meg ennek a számtani sorozatnak az első három tagját!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1192

Melyek azok az N kétjegyű pozitív egész számok, amelyekre a következő négy állítás közül pontosan kettő igaz és kettő hamis: ƒ Az N osztható 7-tel. ƒ Az N a 29 többszöröse. ƒ Az N +11 négyzetszám. ƒ Az N 13 négyzetszám.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1213

Adott az f függvény: ] [ ( ) xxxff 1924 6 1: 3 += R . a) Határozza meg f zérushelyeit, és elemezze az f függvényt monotonitás szempontjából! Jelölje c az f értelmezési tartományának egy pozitív elemét. b) Határozza meg a c értékét úgy, hogy az x tengely [ ]c 0 szakasza, az 0= cx egyenletű egyenes és az f grafikonja által közbezárt síkidom területe 704 területegységnyi legyen!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4347

Legyen n pozitív egész. Adottak az alábbi sorozatok: { }na , ahol ( ) nn na 22 += { }nb , ahol 1023 = nnbn { }nc , ahol 2 2 cos 2 sin + = nnc n . Vizsgálja meg mindhárom sorozatot korlátosság és monotonitás szempontjából! Válaszoljon mindhárom esetben, hogy a sorozat korlátos vagy nem, illetve monoton vagy nem! (Válaszait indokolja!) Korlátos sorozat esetében adjon meg egy alsó és egy felső korlátot!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1227

Egy pozitív számokból álló mértani sorozat első három tagja: a, b, c. Ha az első két tag változatlanul hagyása mellett a harmadik tagot (a + 2b)-vel csökkentjük, akkor egy számtani sorozat első három tagjához jutunk. Az a, b + 9, c számok ebben a sorrendben ugyancsak egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Határozza meg az a, b és c számokat!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1269

Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) 35,0 5,0log2 = x , ahol 0>x és Rx . b) xx 2log 2 1 log67 =+ , ahol 21 < x és Rx .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4372

Az )( na mértani és a )( nb számtani sorozatnak is 1 az első tagja, és mindkét sorozat hatodik tagja )1( . a) Sorolja fel mindkét sorozat első öt tagját! b) Milyen pozitív egész n-re lesz a két sorozat első n tagjának összege ugyanakkora?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4375

A Kovács családban 4 embernek kezdődik a keresztneve B betűvel. Négyen teniszez- nek, és négyen kerékpároznak rendszeresen. A család tagjairól még a következőket tudjuk: csak Bea és Barbara jár teniszezni is és kerékpározni is egyedül Balázs nem űzi egyik sportágat sem Zoli próbálja testvérét, Borit a teniszezőktől hozzájuk, a kerékpározókhoz csábítani - sikertelenül. a) A fentiek alapján legalább hány tagja van a Kovács családnak? Egyik nap Barbara, Bea, Bori és Balázs barátaikkal vonaton utaztak, és hogy jobban teljen az idő, játszottak. A játék kezdetekor a társaság minden tagjának egy-egy olyan háromjegyű pozitív számra kellett gondolnia, amelynek minden számjegye 4-nél nagyobb és 7-nél kisebb. Amikor sorra megmondták a gondolt számot, kiderült, hogy nincs a mondott számok között azonos. b) Legfeljebb hány tagú lehetett a társaság? Egy másik alkalommal Barbara, Bea, Bori, Balázs és 4 barátjuk (Attila, András, Ali és Anna) moziba ment. Mind a 8 jegy egy sorba, egymás mellé szólt. c) A 8 ember hány különböző ülésrendben foglalhat helyet, ha az azonos betűvel kezdődő keresztnevűek közül semelyik kettő nem kerül egymás mellé? d) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a c) pont szerinti ülésrend alakul ki, ha minden ülésrend egyenlően valószínű?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4376

Legyen ( ) a a x a x a x xf ++= 234 23 , ahol a pozitív valós szám és x R. a) Igazolja, hogy ( ) a dxxf 0 = aa + 3 . b) Mely pozitív valós a számokra teljesül, hogy ( ) 0 0 a dxxf ? c) Az x mely pozitív valós értéke esetén lesz a ( ) xxxg += 3 függvénynek lokális (helyi) maximuma?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1285

a) Oldja meg a pozitív valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert! ( ) ( ) = = 3 1 log log 2 2 3 2 yx xy b) Határozza meg az összes olyan pozitív egész k számot, amelyre a 729log 3k kifejezés értéke pozitív egész szám!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1295

a) Hány olyan tízjegyű pozitív egész szám van, amelynek minden számjegye a {0 8} halmaz eleme ? b) Írja fel a 45-nek azt a legkisebb pozitív többszörösét, amely csak a 0 és a 8-as számjegyeket tartalmazza! (A feladat megoldása során fokozottan vegye figyelembe a 3. oldalon található 5. és 6. pontban előírtakat!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1311

Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű szám képezhető?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1325

Az A1C0C1 derékszögű háromszögben az A1 csúcsnál 30°-os szög van, az A1C0 befogó hossza 1, az A1C1 átfogó felezőpontja A2 . Az A2C1 szakasz fölé az A1C0C1 három- szöghöz hasonló A2C1C2 derékszögű három- szöget rajzoljuk az ábra szerint. Az A2C2 átfogó felezőpontja A3 . Az A3C2 szakasz fölé az A2C1C2 három- szöghöz hasonló A3C2 C3 derékszögű három- szöget rajzoljuk. Ez az eljárás tovább folytatható. a) Számítsa ki az így nyerhető végtelen sok derékszögű háromszög területének összegét (az összeg első tagja az A1C0C1 háromszög területe)! b) Igazolja, hogy a C0C1C2 ...Cn töröttvonal hossza minden pozitív egész n-re kisebb, mint 1,4.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1329

Legyen p valós paraméter. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett f függvényt, amelynek hozzárendelési szabálya ( ) 6)3(3 223 ++= xpxpxxf . a) Számítsa ki a 2 0 )( dxxf határozott integrál értékét, ha p = 3. b) Határozza meg a p értékét úgy, hogy az x = 1 zérushelye legyen az f függvény- nek! c) Határozza meg a p értékét úgy, hogy az f függvény deriváltja az x = 1 helyen pozitív legyen!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1373

a) Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk, és a kapott számokat a dobás sorrendjében beírjuk a ba5678 hatjegyű számban az a és a b helyére. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az így kapott hatjegyű szám minden számjegye különböző? b) Megadunk négy halmazt: Az A halmaz elemei a héttel osztható pozitív kétjegyű számok. A B halmaz elemei a 29 kétjegyű pozitív többszörösei. A C halmaz elemei mindazok a pozitív kétjegyű számok, amelyeknél a 11-gyel nagyobb szám négyzetszám. A D halmaz elemei mindazok a pozitív kétjegyű számok, amelyeknél a 13-mal kisebb szám négyzetszám. b1) Hány elemű az CA halmaz? b2) Hány elemű a DB halmaz? b3) Melyek azok a kétjegyű pozitív egészek, amelyek a fenti négy halmaz közül pontosan kettőnek az elemei?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1386

a) Egy mértani sorozat első tagja 32, a hányadosa pedig 128 1 . Igazolja, hogy akármennyi egymást követő tagját adjuk össze a sorozatnak az első taggal kezdve, az összeg nem haladhatja meg a 32,5 értéket! b) Az { }na olyan mértani sorozat, amelynek 128 1 az első tagja, a hányadosa pedig 32. Milyen pozitív n egész számra teljesül az n naaaa 3 321 2048... = egyenlőség?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1434

Egy iskola alapítványi bálján a korábban szokásos tombolahúzás helyett egy egyszerű lottóhúzást szerveznek. A szelvényt vásárolóknak az első tíz pozitív egész szám közül kell ötöt megjelölniük. Húzáskor öt számot sorsolnak ki (az egyszer már kihúzott számokat nem teszik vissza). Egy lottószelvény 200 Ft-ba kerül. Egy telitalálatos szelvénnyel 5000 Ft értékű, egy négytalálatos szelvénnyel 1000 Ft értékű, az alapítvány által vásárolt könyvutalványt lehet nyerni. Négynél kevesebb találatot elérő szelvénnyel nem lehet nyerni semmit. a) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a legkisebb kihúzott szám a 3. b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a számokat növekvő sorrendben húzzák ki? Az a) és b) kérdésekre adott válaszait három tizedesjegyre kerekítve adja meg! c) Számolással igazolja, hogy (három tizedesjegyre kerekítve) a telitalálat valószí- nűsége 0,004, a négyes találat valószínűsége pedig 0,099. d) Ha a húzás előtt 240 szelvényt adtak el, akkor mekkora az alapítvány lottó- húzásból származó hasznának várható értéke?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1449

Jelölje H a 32,5 x egyenlőtlenség pozitív egész megoldásainak halmazát. Jelölje továbbá B azon pozitív egész b számok halmazát, amelyekre a 6 2logb kifejezés értéke is pozitív egész szám. Elemeinek felsorolásával adja meg a H, a B, a BH és a HB halmazt!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1461

a) Egy hételemű, pozitív egész számokból álló adatsokaság hat eleme: 10 2 5 2 4 2. A hetedik adatot nem ismerjük. Tudjuk viszont, hogy a hét adat átlaga, módusza és mediánja (nem feltétlenül ebben a sorrendben) egy szigorúan monoton növekvő számtani sorozat három egymást követő tagja. Határozza meg a hetedik adat lehetséges értékeit! b) A 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből hány olyan négyjegyű páros szám képezhető, melynek minden számjegye különböző?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1478

a) Igazolja a következő állítást: ha egy négyszög szögei valamilyen sorrendben egy számtani sorozat egymást követő tagjai, akkor a négyszög húrnégyszög vagy trapéz! b) Fogalmazza meg az előző állítás megfordítását, és döntse el a megfordított állítás- ról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! Egy geometriai építőkészletben csak olyan pálcikák vannak, amelyek hossza centimé- terben mérve egész szám, és mindenféle lehetséges hosszúság előfordul 1 cm-től 12 cm-ig. (Mindegyik fajta pálcikából elegendően sok van a készletben.) c) Hány különböző módon választhatunk ki 4 pálcikát a készletből úgy, hogy belőlük egy 24 cm kerületű érintőnégyszöget lehessen építeni? (Két kiválasztást különbözőnek tekintünk, ha az egyik kiválasztás 4 pálcikája nem állítható párba a másik kiválasztás 4 pálcikájával úgy, hogy mind a 4 párban egyenlő hosszú legyen a két pálcika. Tudjuk továbbá, hogy ha a, b, c, d pozitív számok, és a + c = b + d, akkor az a, b, c, d hosszúságú szakaszokból szerkeszthe- tő négyszög.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1512

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 5566

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 5598

a) Határozza meg, hány olyan 1000-nél kisebb pozitív egész szám van, amelynek számjegyei között nem szerepel a 0, de szerepel legalább egyszer az 1. Egy pozitív egész számokból álló adatsokaság módusza 32, átlaga 22, a legkisebb adat a 10. Az m medián eleme a sokaságnak és gyakorisága 1. Ha az m-et (m + 10)-re cserélnénk, akkor az így kapott új sokaság átlaga 24 lenne. Ha az eredeti sokaságban az m számot (m - 5)-re cserélnénk, akkor az így kapott sokaság me- diánja m - 4 lenne. b) Igazolja, hogy az adatsokaságnak öt eleme van! c) Határozza meg az eredeti adatsokaság elemeit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1571

Legyen az x pozitív valós szám. a) Határozza meg x értékét úgy, hogy a 27 és az x számtani közepe 6-tal nagyobb le- gyen, mint a mértani közepük! b) Döntse el, hogy igaz vagy hamis az alábbi állítás! Válaszát indokolja! Ha x > 27, akkor a 27-nek és az x-nek a mértani közepe kisebb a két szám számtani közepénél. c) Fogalmazza meg az előbbi állítás megfordítását, és határozza meg a megfordított állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2603

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 5610

Adott a valós számok halmazán értelmezett f és g függvény: 2)( 2 xxf és 2 1010)( xxxg . a) Oldja meg a valós számok halmazán az f(x) + g(x) 8 egyenlőtlenséget! b) Igazolja, hogy a [2 8] intervallumon az f és a g függvény is csak pozitív értékeket vesz fel! c) Határozza meg azt a t valós számot a [2 8] intervallumban, amelyre teljesül, hogy az f függvény görbéje alatti terület a [2 t] intervallumon megegyezik a g függvény görbéje alatti területtel a [t 8] intervallumon. (Egy [a b] intervallumon folytonos függvény görbéje alatti terület ezen az interval- lumon megegyezik az x tengely, az x = a, az x = b egyenletű egyenesek és a függ- vény grafikonja által meghatározott síkidom területével.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2609

a) Egy számtani sorozat első tagja 4, differenciája 5. Egy mértani sorozat első tagja 3, hányadosa 2. Az 1000-nél kisebb pozitív egészek közül egyet véletlenszerűen kiválasztunk. Mek- kora a valószínűsége, hogy olyan számot választottunk, amely tagja valamelyik so- rozatnak? Válaszát q p alakban adja meg úgy, hogy p és q pozitív egészek és relatív prímek legyenek! b) Három teljes gráf pontjainak száma egy növekvő számtani sorozat három egymást követő tagja. Igazolja, hogy a három gráf éleinek száma ekkor nem lehet egy szám- tani sorozat három egymást követő tagja! (Teljes gráf: olyan egyszerű gráf, melynek bármely két pontja között van él.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2611

a) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert, ahol x és y pozitív valós számok! 2 lg 2 lglg 2,0 yxyx yx b) Oldja meg a [- ] halmazon a 2cossin2 2 xx egyenletet!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4303

a) Határozza meg a c számjegy lehetséges értékeit, ha tudjuk, hogy 281c nem osztható 6-tal, 693c nem osztható 36-tal, 53cc pedig nem osztható 15-tel! ( pqrs azt a négy- jegyű számot jelöli, melynek első számjegye p, további számjegyei pedig rendre q, r és s.) b) Igazolja, hogy nincs olyan n pozitív egész szám, amelyre 164 nn osztható 8-cal! c) Igazolja (teljes indukcióval vagy más módszerrel), hogy 164 nn minden n pozi- tív egész szám esetén osztható 9-cel!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4307

a) Mekkora területű síkidomot zár közre az 62 xxy egyenletű parabola és az x - y + 2 = 0 egyenletű egyenes? Az 62 xxy egyenletű parabola az x tengelyt az A és a B pontban metszi. b) Számítsa ki a parabola B pontbeli érintőjének meredekségét, ha tudjuk, hogy a B pont első koordinátája pozitív!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4321

a) Ha a|b igaz, akkor a|b2 is teljesül (a és b pozitív egész számok). Fogalmazza meg a fenti (igaz) állítás megfordítását, és állapítsa meg a megfordítás logikai értékét is! Válaszát indokolja! (a|b azt jelenti, hogy az a egész szám osztója a b egész számnak.) b) Hány olyan n pozitív egész szám van, amelyhez létezik olyan p (pozitív) prímszám, amelyre az pnn 2 különbség is egy (pozitív) prímszámmal egyenlő? Egy lapra 10 pontot rajzoltunk, majd ezeket megszámoztuk 1-től 10-ig. Ezután minden egyes pontot egy-egy vonallal összekötünk a lapon szereplő összes olyan ponttal, amelyhez írt szám a kiválasztott ponthoz írt számnak osztója. (Például azt a pontot, amelyhez a 6-ot írtuk, összekötöttük mind a négy ponttal, amelyhez a 6 valamelyik osz- tóját írtuk.) c) Igazolja, hogy az így kapott 10 csúcsú gráf nem egyszerű gráf! d) Igazolja, hogy a gráf éleinek száma páratlan!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 6264

A pozitív páratlan számokat háromszög alakban rendezzük el a következők szerint: az első oszlopba írjuk az első páratlan szá- mot, a második oszlopba a következő kettőt, a harmadik osz- lopba a következő hármat, és így tovább. Például az ötödik osz- lop negyedik helyén a 27 áll (lásd az ábrát is). a) Hányadik oszlop hányadik helyén áll a 99 ? b) Határozza meg a 2017. oszlopban álló első számot! c) Igazolja, hogy az n-edik oszlopban álló számok összege 3 n (n Z+ ). 29 2719 251711 231595 2113731

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 6267