Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD, és AB > CD. A trapéz átlóinak metszés- pontja K. Az ABK háromszög AB oldalához tartozó magassága kétszerese a CDK három- szög CD oldalához tartozó magasságának. Jelölje T az ADK háromszög területét. Hányszorosa az ABCD trapéz területe T-nek?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4331

Kartonpapírból kivágtunk egy 1,5 dm magasságú ABC szabályos háromszöglapot. A háromszöglapon párhuzamost húztunk a háromszög mindegyik oldalával, mindegyiktől ugyanakkora, 0,5 deciméternél kisebb x távolságra. Ezek az egyenesek az 111 CBA szabályos háromszög oldalegyenesei. a) Írja fel az 111 CBA háromszög területét x függvényében! b) Szeretnénk egy 111 CBA alapú, x magasságú, felül nyitott egyenes hasáb alakú íróasztali tolltartót létrehozni a lapból, ezért levágtuk a fölösleget, majd az 111 CBA háromszög élei mentén felhajtottuk a hasáb oldallapjait. Mekkora x esetén lesz a keletkezett hasáb térfogata maximális?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4334

Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: ( ) ( ) ++= cos:cossin:sin , akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1177

Egy húrnégyszög három szögéről tudjuk, hogy mértékük aránya 7 : 6 : 8. a) Mekkorák a húrnégyszög szögei? Matematika órán, miután minden diák megoldotta a feladatot, három tanuló a következőket állította: Zsófi: A húrnégyszög minden szöge egész szám. Peti: A húrnégyszögnek van derékszöge. Kata: A húrnégyszög egyik szöge 110°-nál is nagyobb. b) A három tanuló állítása közül melyik igaz a feltételnek megfelelő húrnégyszögre?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1181

Az ABC derékszögű háromszög BC befogójának hossza 18 cm, a CA befogójának hossza 6 cm. a) Mekkorák a háromszög hegyesszögei? A BC befogó egy P belső pontját összekötjük az A csúccsal. Tudjuk még, hogy PB = PA. b) Milyen hosszú a PB szakasz? Állítsunk merőleges egyenest az ABC háromszög síkjára a C pontban! A merőleges egyenes D pontjára teljesül, hogy CD hossza 15 cm. c) Mekkora az ABCD tetraéder térfogata?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1191

Egy családnak olyan téglalap alakú telke van, melynek két szomszédos oldala 68 m, illetve 30 m hosszú. A telek egyik sarkánál úgy rögzítettek egy kerti locsoló berendezést, hogy a telek rövidebb oldalától 4 m-re, a vele szomszédos oldaltól 3 m-re legyen. A locsoló berendezés körbe forgó locsolófeje azt a részt öntözi, amely a rögzítés helyétől legalább 0,5 m-re, de legfeljebb 4 m-re van. A telek mekkora területű részét öntözi a locsoló berendezés, és ez hány százaléka a telek területének?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4343

Az ABC háromszög körülírt körének sugara 26 cm, °= 60BAC . a) Számítsa ki a BC oldal hosszát! b) Hány fokos a háromszög másik két szöge, ha az AC oldal b cm, az AB oldal pedig 3b cm hosszúságú? A keresett értékeket egy tizedes jegyre kerekítve adja meg!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4346

Klári teasüteményt sütött. A meggyúrt tésztát olyan téglatest alakúra nyújtotta ki, amelynek a felülről látható lapja 30 cm × 60 cm méretű téglalap. Majd egy henger alakú szaggatóval (határoló körének sugara 3 cm) körlapokat vágott ki a tésztából. Ezután a körlapokból először holdacskákat vágott le úgy, hogy a szaggató határoló körének középpontját a már kivágott körlap középpontjától 2 cm távolságra helyezte el, és így vágott bele a körlapba. (Minden bevágásnál csakis egy körlapot vágott ketté.) Miután minden körlapból levágott egy holdacskát, a körlapokból visszamaradt részek mindegyikéből - egy másik szaggatóval - kivágott egy-egy lehető legnagyobb körlap alakú süteményt. a) Hány cm2 területű egy holdacska felülről látható felülete? (Az eredményt egy tizedes jegyre kerekítve adja meg!) Klári a holdacskák és a kis körlapok elkészítése után visszamaradt tésztát ismét összegyúrta, majd ugyanolyan vastagságúra nyújtotta ki, mint az első esetben, de most négyzet alakú lett a kinyújtott tészta. b) Hány cm hosszú ennek a négyzetnek az oldala, ha Klári a 30 cm × 60 cm-es téglalapból eredetileg 50 darab 3 cm sugarú körlapot szaggatott ki? (Az eredményt egészre kerekítve adja meg!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1228

Egy tengelyesen szimmetrikus érintőtrapéz alapjainak hossza 5, illetve 20 egység. a) Számítsa ki a trapéz területét és átlójának hosszát! b) Számítsa ki annak a forgástestnek a térfogatát, amelyet úgy kapunk, hogy a trapézt megforgatjuk a hosszabbik alapja körül. c) Bizonyítsa be általánosan a következő állítást: Ha egy húrtrapéz érintőnégyszög, akkor magasságának hossza az alapok hosszának mértani közepe.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1240

A könyvkiadó szerkesztője egy könyv nyomtatási formáját tervezi. Minden lap alsó, felső és külső szélén kettő centiméteres margót szeretne hagyni, a belső szélen a kötés miatt négy centiméterest. A teljes lap területe 600 cm2 . a) Mekkorák legyenek a lap méretei, ha a szerkesztő a lehető legnagyobb nyomtatási területet szeretné elérni a lapokon? b) A nyomtatott oldalak száma 120, és a nyomtatott oldalak számozása 3-mal kezdődik. Ha véletlenszerűen kiválasztunk egy nyomtatott oldalt, mekkora valószínűséggel lesz az oldalszámban 2-es számjegy?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1242

Az ABC háromszögben 2=AB , 1=AC , a BC oldal hossza pedig megegyezik az A csúcsból induló súlyvonal hosszával. a) Mekkora a BC oldal hossza? A hossz pontos értékét adja meg! b) Mekkora a háromszög területe? A terület pontos értékét adja meg!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4360

A K középpontú és R sugarú kört kívülről érinti az O középpontú és r sugarú kör (R>r). A KO egyenes a nagy kört A és E, a kis kört E és D pontokban metszi. Forgassuk el a KO egyenest az E pont körül hegyesszöggel! Az elforgatott egyenes a nagy kört az E-től különböző B pontban, a kis kört C pontban metszi. a) Készítsen ábrát! Igazolja, hogy az ABDC négyszög trapéz! b) Igazolja, hogy az ABC háromszög területe 2sin)( += rRRt ! c) Mekkora szögnél lesz az ABC háromszög területe maximális, adott R és r esetén?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1257

István örömmel mesélte Péter barátjának, hogy egy négyszög alakú telket vett, amire majd házat akar építeni. Elmondása szerint a négyszög egyik szöge derékszög, és az ezt közrefogó mindkét oldal 20,0 m hosszú. A telek másik két oldala is egymással egyenlő hosszú, ezek °120 -os szöget zárnak be. a) Hány méter hosszú drót szükséges az üres telek bekerítéséhez? Mekkora házat szeretnél rá építeni? - kérdezte Péter. Négyzet alapú sarokházat, és körülbelül 100 m2 alapterületűt. Úgy gondoltuk a párommal, hogy a házat a derékszögű sarokba építtetjük - válaszolt István. Ha jól képzelem el a telek alakját, akkor az nagyon furcsa alakú lehet. Oda még egy kis faház sem fér el - szólt nevetve Péter. b) Rajzolja le, hogy milyen alakú az István által megvett telek, és milyennek képzelte el Péter! c) Legfeljebb mekkora alapterületű, négyzet alapú sarokház férne el a telek derék- szögű sarkába az egyik és mekkora a másik esetben? (Válaszát m2 -re kerekítve adja meg!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4373

Egy egyenlő szárú háromszög szárainak metszéspontja a ( )7 0C pont, a szárak hossza 53 egység. A háromszög másik két csúcsa (A és B) illeszkedik az 1 4 1 2 += xy egyenletű parabolára. a) Számítsa ki az A és a B pont koordinátáit! b) Írja fel az ABC háromszög egyik száregyenesének egyenletét! Ennek az egyenesnek és a parabolának a további közös pontja D. Határozza meg a D pont koordinátáit! c) Mekkora területű részekre bontja az ABC háromszöget a parabola íve?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4379

Egy 90 m² területű, trapéz alakú virágágyás párhuzamos oldalainak aránya 2:3: =DCAB . Az ágyást tavasszal és ősszel is az évszaknak megfelelő virágokkal ültetik be. Mindkét alkalommal mindegyik fajta virágból átlagosan 50 virágtövet ültetnek négyzetméterenként. Tavasszal az átlókkal kijelölt négy háromszögre bontották a virágágyást. Az ABM háromszögbe sárga virágokat, a DMC háromszögbe fehéret, a maradék két részbe piros virágokat ültettek. a) A tavaszi parkosításkor hány darab fehér, hány piros és hány sárga virágot ültettek be? Ősszel a másik ábra alapján tervezték meg a virágok elhelyezését. (Az E, F, G és H pontok a trapéz oldalainak felezőpontjai.) Ekkor is fehér (f), piros (p) és sárga (s) virágokat ültettek a tervrajz alapján. b) Az őszi parkosításkor hány darab fehér, hány piros és hány sárga virágot ültettek? Válaszait az alábbi táblázatban tüntesse fel! fehér piros sárga tavasszal ősszel

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1288

Megrajzoltuk az ABCDE szabályos ötszöget, és berajzoltuk minden átlóját. Az átlók metszéspontjait az ábra szerint betűztük meg: P, Q, R, S, T. a) Hány olyan háromszög látható az ábrán, amelynek mindhárom csúcsa a megjelölt 10 pont közül való, és mindhárom oldalegyenese az ABCDE ötszög oldalegyenesei és átlóegyenesei közül kerül ki? Hány lényegesen különböző háromszög van ezek között, ha az egymáshoz hasonló háromszögeket nem tekintjük lényegesen különbözőknek? b) Tudjuk, hogy az ABCQ négyszög területe 120 2 cm . Mekkora az ABCDE ötszög területe? Válaszát egész értékre kerekítve adja meg! c) Tekintsük azt a tíz csúcsú gráfot, amelyet a megadott ábra szemléltet. Erről a gráfról fogalmaztunk meg két állítást. Állapítsa meg mindkét állításról, hogy igaz vagy hamis! Adjon rövid magyarázatot válaszára! 1. állítás: Ennek a gráfnak 20 éle van. 2. állítás: Ebben a gráfban van olyan részgráf, amely nyolc élű kör.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1315

Az A1C0C1 derékszögű háromszögben az A1 csúcsnál 30°-os szög van, az A1C0 befogó hossza 1, az A1C1 átfogó felezőpontja A2 . Az A2C1 szakasz fölé az A1C0C1 három- szöghöz hasonló A2C1C2 derékszögű három- szöget rajzoljuk az ábra szerint. Az A2C2 átfogó felezőpontja A3 . Az A3C2 szakasz fölé az A2C1C2 három- szöghöz hasonló A3C2 C3 derékszögű három- szöget rajzoljuk. Ez az eljárás tovább folytatható. a) Számítsa ki az így nyerhető végtelen sok derékszögű háromszög területének összegét (az összeg első tagja az A1C0C1 háromszög területe)! b) Igazolja, hogy a C0C1C2 ...Cn töröttvonal hossza minden pozitív egész n-re kisebb, mint 1,4.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1329

Pali és Zoli közösen egy 60 m × 30 m-es, téglalap alakú telket vásárolt. A telket egymás között két olyan egybevágó derékszögű trapézra osztották fel, amelynek a rövidebb alapja 20 m. Jelölje EF a közös határvonalszakaszt! a) Számítsa ki a közös EF határvonal hosszát! (Az eredményt méterben, egy tizedes jegyre kerekítve adja meg!) A közös határvonalon Palinak kellett volna kerítést építtetni, de nem volt erre a célra pénze. Ezért Zolinak a következő ajánlatot tette: átad neki a telkéből egy háromszög alakú részt, ha Zoli csináltatja meg a telküket elválasztó kerítést. Zoli szerette volna telkének 20 m-es határát maximum 8 méterrel megnövelni, így elfogadta az ajánlatot, és az új közös határvonalnak az EG szakaszt jelölte meg. A telek négyzetméterének ára 30 000 Ft, a kerítés megépíttetésének költsége 15 000 Ft/m. Az egyéb felmerülő költségeket egyenlő arányban osztották meg. b) Legalább hány m hosszú legyen a FG szakasz, hogy Zoli járjon jobban? (Az eredményt egy tizedesre kerekítve adja meg!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1347

a) Egy derékszögű háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást követő tagjai, a legrövidebb oldala 4 egység hosszú. Számítsa ki a háromszög másik két oldalának hosszát! b) Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást követő tagjai, a leg- rövidebb oldala 4 egység hosszú. Tudjuk, hogy a háromszög nem szabályos. Igazolja, hogy a háromszögnek nincs 60º-os szöge!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1378

Egy háromszög a, b és c oldalairól tudjuk, hogy: bc 2= 422 =+ ba 222 = ba . a) Mekkorák a háromszög oldalai? b) Mekkorák a háromszög szögei? c) Mekkora a beírt körének sugara? Az eredmények pontos értékét adja meg!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1385

A Csendes-óceán egyik kis szigetétől keletre, a szigettől 16 km távolságban elsüllyedt egy föld körüli úton járó vitorlás. A legénység egy mentőcsónakban segítségre vár, a náluk lévő jeladó készülék hatósugara mindössze 6 km. Amikor a vitorlás elsüllyedt, akkor a szigettől délre, a szigettől 24 km távolságra volt egy tengerjáró hajó. Ez a hajó állandóan északkeleti irányba halad, a hajótöröttek pedig a vitorlás elsüllyedésének helyéről folyamatosan küldik a vészjeleket. a) Igazolja, hogy a tengerjáró legénysége észlelheti a segélykérő jelzést! Egy 1,5 km magasságban haladó repülőgép éppen a sziget felett van, amikor a repülő- gép fedélzeti műszerei észlelik a tengerjáró hajót, amely a vitorlás elsüllyedése óta 20 km-t tett meg. b) Mekkora depresszió szög (lehajlási szög) alatt észlelik a műszerek a tengerjárót? Válaszát fokban, egészre kerekítve adja meg! Számításai során a Föld görbületétől tekintsen el!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1403

Az ábrán egy mosógép vázlatos rajza látható. A kisebb, 1 cm sugarú kerék a motor tengelyéhez kapcsolódik, és egy hajtószíj segítségével forgatja meg a mosógép dobjához rögzített, 20 cm sugarú kereket, amitől a dob és benne a ruhák forognak mosás közben. A két kerék tengelye párhuzamos, a tengelyek távolsá- ga 46 cm. (A hajtószíj a tengelyekre merőleges síkban van.) Milyen hosszú a feszes hajtószíj?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1416

Egy 1 méter oldalú négyzetbe egy második négyzetet rajzoltunk úgy, hogy a belső négyzet minden csúcsa illeszkedjen a külső négyzet egy-egy oldalára. A belső és a külső négyzet oldalainak aránya 5 : 7. a) Milyen arányban osztja két részre a belső négyzet csúcsa a külső négyzet oldalát? Az arány pontos értékét adja meg! A belső négyzetbe egy újabb, harmadik négyzetet rajzolunk úgy, hogy a harmadik és a második négyzet oldalainak aránya is 5 : 7. Ezt az eljárást aztán gondolatban végtelen sokszor megismételjük. b) Mekkora lesz a kapott négyzetek kerületeinek az összege, ha a kiindulási négyzet kerülete is tagja a (végtelen sok tagú) összegnek?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1420

Egy 15°-os emelkedési szögű hegyoldalon álló függőleges fa egy adott időpontban a hegyoldal emelkedésének irányában 3 méter hosszú árnyékot vet. Ugyanebben az idő- pontban a közeli vízszintes fennsíkon álló turista árnyékának hossza éppen fele a turista magasságának. Hány méter magas a fa? Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1446

Az ABCDEF szabályos hatszögben a rövidebb átló hossza 25 . a) Számítsa ki a hatszög területének pontos értékét! b) Az ABCDEF hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét jelölje 1t , a 1t területű hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét 2t , és így tovább, képezve ezzel a { }nt sorozatot. Számítsa ki a ( )n n ttt +++ ...lim 21 határértéket! (Pontos értékekkel számoljon!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1451

Egy körvonalon felvettünk öt pontot, és behúztuk az általuk meghatározott 10 húrt. Jelölje a pontokat pozitív körüljárási irányban rendre A, B, C, D és E. a) Véletlenszerűen kiválasztunk 4 húrt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ezek a húrok egy konvex négyszöget alkotnak? b) Hányféleképpen juthatunk el a húrok mentén A-ból C-be, ha a B, D és E pontok mindegyikén legfeljebb egyszer haladhatunk át? (Az A pontot csak az út kezde- tén, a C pontot csak az út végén érinthetjük.) c) A 10 húr mindegyikét kiszínezzük egy-egy színnel, pirosra vagy sárgára vagy zöldre. Hány olyan színezés van, amelyben mindhárom szín előfordul?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1453

a) Egy téglalapot 720 darab egybevágó kis téglalapra daraboltunk szét. A kis tégla- lapok oldalai közül az egyik 1 cm-rel hosszabb, mint a másik. Hány cm hosszúak egy-egy kis téglalap oldalai, ha a nagy téglalap területe 2025 cm2 ? b) Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből összesen 720 olyan hatjegyű szám képezhető, melynek számjegyei között nincsenek egyenlők. Ezek között hány 12-vel osztható van?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1460

Egy üzemben olyan digitális műszert gyártanak, amely kétféle adat mérésére alkalmas: távolságot és szöget lehet vele meghatározni. A gyártósor meghibásodott, de ezt hosz- szabb ideig nem vették észre. Ezalatt sok mérőeszközt gyártottak, ám ezeknek csak a 93%-a adja meg hibátlanul a szöget, a 95%-a méri hibátlanul a távolságot, sőt a gyártott mérőeszközök 2%-a mindkét adatot hibásan határozza meg. a) Az egyik minőségellenőr 20 darab műszert vizsgál meg visszatevéses mintavétel- lel a meghibásodási időszak alatt készült termékek közül. Mekkora annak a való- színűsége, hogy legfeljebb 2 darab hibásat talál közöttük? (Egy műszert hibásnak tekintünk, ha akár a szöget, akár a távolságot hibásan méri.) Vízszintes, sík terepen futó patak túlpartján álló fa magasságát kell meghatároznunk. A síkra merőlegesen álló fát megközelíteni nem tudjuk, de van egy kisméretű, digitális műszerünk, amellyel szöget és távolságot is pontosan tudunk mérni. A patakparton ki- tűzzük az A és B pontokat, amelyek 10 méterre vannak egymástól. Az A pontból 55o -os, a B-ből 60o -os emelkedési szög alatt látszik a fa teteje. Szögméréssel még megállapítjuk, hogy °=< 90)ATB , ahol T a fa talppontja. b) Milyen magas a fa?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1465

Megadtunk három egyenest, és mindegyiken megadtunk öt-öt pontot az ábra szerint. a) Hány olyan szakasz van, amelynek mindkét végpontja az ábrán megadott 15 pont valamelyike, de a szakasz nem tar- talmaz további pontot a megadott 15 pont közül? Az egyenlő oldalú ABC háromszög 18 egység hosszúságú olda- lait hat-hat egyenlő részre osztottuk, és az ábra szerinti osztó- pontok összekötésével megrajzoltuk a PQR háromszöget. b) Számítsa ki a PQR háromszög területének pontos értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1495

Egy televíziókészülék termékleírásában szereplő 16 : 9-es típus azt adja meg, hogy mennyi a téglalap alakú tv-képernyő két szomszédos oldalhosszának aránya, a 40 colos jellemző pedig a képernyő átlójának a hosszát adja meg col-ban (1 col 2,54 cm). a) Számítsa ki a 40 colos, 16 : 9-es képernyő oldalainak hosszát! Válaszát cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! b) Két 16 : 9-es képernyő közül az elsőnek 69%-kal nagyobb a területe, mint a máso- diknak. Hány százalékkal nagyobb az első képernyő átlója, mint a másodiké?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1506

Egy hegy és a tetején álló kilátótorony magasságát szeretnénk meghatározni. Legyen a kilátótorony legmagasabban lévő pontja A, a kilátó talppontja B. A hegy lábánál elterülő vízszintes, sík mezőn a toronytól ugyanabban az irányban felvesszük az egymástól 30 méterre lévő P és Q pontokat úgy, hogy az A, B, P és Q pontok ugyanabban a (függőleges) síkban legyenek. A P pontból a torony alját (a B pontot) 29 o -os, a tetejét (az A pontot) 33o -os, a Q pontból a torony alját 27o -os emelkedési szög alatt látjuk. a) Hány méterrel emelkedik a mező fölé a hegy, amelynek tetején a kilátó áll? b) Milyen magas a kilátó? Válaszait egész méterre kerekítve adja meg!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1522

Egy 40 cm × 25 cm-es kartonlapból ki- vágunk két egybevágó téglalapot, az áb- rán ezek vonalkázva láthatók. A meg- maradt kartonlapból ezután (a berajzolt élek mentén) egy olyan téglatestet haj- togatunk, melynek magassága a kivágott téglalapok rövidebb oldalával egyenlő. a) Mekkora lesz a kapott téglatest felszíne, ha a kivágott téglalapok rövidebb oldala 2 cm-es? b) Hogyan válasszuk meg a kivágott téglalapok rövidebb oldalának hosszát, ha azt szeretnénk, hogy az elkészített téglatest térfogata maximális legyen? Mekkora a maximális térfogat?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1524

A fénymásoló gépekhez is használt téglalap alakú papírlapok mindegyikének olyan a méretezése, hogy a hosszabb és a rövidebb oldal aránya (megközelítőleg) 2 . Ezt a számot röviden a téglalap alakú papírlap méretarányának is nevezik. a) Mutassa meg, hogy ha egy 2 méretarányú papírlapot félbevágunk úgy, hogy a vágási él merőleges a papírlap hosszabb oldalára, akkor az így keletkező két egy- bevágó papírlap ugyancsak 2 méretarányú lesz! A szabványos papírlapok méretét egy nagybetűvel és a betű után írt természetes szám- mal jelölik (például A0, A1, B5). Az A0-s papírlap méretaránya 2 , a területe pedig éppen 1 m2 . b) Számítsa ki az A0-s papírlap oldalainak hosszát egész milliméterre kerekítve! Ha az A0-s papírlapot a hosszabb élére merőlegesen félbevágjuk, akkor két A1-es papír- lapot kapunk. Ha az A1-es papírlapot a hosszabb élére merőlegesen félbevágjuk, akkor két A2-es papírlapot kapunk. Az eljárást tovább folytatva kapjuk az A3-as, A4-es, A5-ös papírlapokat. A leggyakrabban használt irodai másolópapír A4-es méretű és 80 g-os. A 80 g-os jelzés azt jelenti, hogy 1 m2 területű másolópapír tömege 80 gramm. c) Egy csomagban 500 darab A4-es, 80 g-os papírlap van. Hány kg egy ilyen cso- mag tömege, ha a csomagolóanyag tömege 20 g?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1536

Egy kör középpontja egy derékszögű háromszög b hosszúságú befogójára illeszkedik. A kör érinti a c hosszúságú átfogót és az a hosszúságú befogó egyenesét is. Andrea és Petra egymástól függetlenül kifejezték a kör sugarának hosszát a háromszög oldalainak hosszával. Andrea szerint a kör sugara ca ab R A + = , Petra szerint pedig b aac RP 2 = . a) Igazolja, hogy PA RR = ! b) Bizonyítsa be, hogy Andrea képlete helyes! Egy derékszögű háromszög oldalai a = 6 cm, b = 8 cm és c = 10 cm. Megrajzoljuk azt a két kört, melyek középpontja a háromszög egyik, illetve másik befogójára illeszkedik, és amelyek érintik a háromszög másik két oldalegyenesét. c) Számítsa ki, hogy a két körnek a háromszög belsejébe eső M metszéspontja milyen messze van a derékszögű C csúcstól!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1543

a) A PQRS húrnégyszöget a PR és a QS átlók megrajzolásával négy háromszögre bontottuk. Igazolja, hogy ezek közül a két-két szemközti háromszög hasonló egymáshoz! Az ABCD húrnégyszög AB oldala a négyszög körülírt körének egyik átmérője. A négyszög BC oldala 3 cm, a CD oldala 5 cm hosszú, továbbá BCD = 120°. b) Számítsa ki a négyszög BD átlójának, AB oldalának és AD oldalának hosszát, valamint a négyszög többi szögét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1553

Egy színházban a jegyek az I., a II. vagy a III. árkategóriába tartoznak. Az egyik esti előadásra összesen 200 jegyet adtak el. Az eladott jegyek között a III. árkategóriájúak száma a másik két árkategóriába tartozó jegyek együttes számának kétharmada, az I., illetve II. árkategóriájú jegyek számának aránya pedig 9:11 volt. a) Hány jegyet adtak el az egyes árkategóriákban? Egy várrom területén szabadtéri színházat alakítanak ki. A tervrajz szerint a téglalap alakú színpadot az egyik bástya félkör alakban elhelyezkedő falmaradvá- nyai közé helyeznék el. A bástya belső átmérője 12 méter. (Az ábrán a tervrajz egy részlete látható: O a félkör középpontja, a téglalap csúcsába vezető sugár és az átmérő közötti szög pedig 2 <<0 .) b) Hogyan kell megválasztani az szöget, hogy a színpad területe a lehető legnagyobb legyen? Mekkora ez a legnagyobb terület?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2610

a) Az ABCD négyzet körülírt körén felvettünk egy olyan P pontot, amelyik nem csúcsa a négyzetnek. Bizonyítsa be, hogy 2222 DPBPCPAP . Egy cég az általa forgalmazott poharakat négyesével cso- magolja úgy, hogy a poharakhoz még egy tálcát is ad aján- dékba. A 20 cm (belső) átmérőjű, felül nyitott forgáshen- ger alakú tálcára négy egyforma (szintén forgáshenger alakú) poharat tesznek úgy, hogy azok szorosan illeszked- nek egymáshoz és a tálca oldalfalához is. b) Igazolja, hogy a poharak alapkörének sugara nagyobb 4,1 cm-nél! A pohár fala 2,5 mm vastag, belső magassága 11 cm. c) Igaz-e, hogy a pohárba belefér 5 dl üdítő?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4305

a) Ha egy háromszög szabályos, akkor a körülírt körének középpontja megegyezik a beírt körének középpontjával. Fogalmazza meg a fenti (igaz) állítás megfordítását, és igazolja, hogy a megfordított állítás is igaz! Az egységnyi oldalú ABC szabályos háromszög minden csúcsánál behúztunk egy-egy szögharmadoló egyenest, így az ábrán látható PQR szabályos háromszöget kaptuk. b) Számítsa ki a PQR háromszög oldalának hosszát! A piros, kék, zöld és sárga színek közül három szín felhasz- nálásával úgy színezzük ki az ábrán látható ABQ, BCQ, CQR, ACP és PQR háromszögek belsejét, hogy a közös határszakasszal rendelkező háromszögek különböző színű- ek legyenek. (Egy-egy háromszög színezéséhez csak egy- egy színt használunk.) c) Összesen hány különböző színezés lehetséges?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4310

Az interneten érdekes hírként jelent meg 2015-ben, hogy a matematikusok újabb, egybe- vágó ötszögekből álló hézagmentes síklefedést (parkettázást) fedeztek fel. (A két ábrán a parkettázás egy részlete, illetve a parketta egyik ötszögének néhány adata látható: EA = AB = CD = 1, BC = 2, EAB = 90º, ABC = 150º, BCD = 60º.) a) Igazolja, hogy az ábrán megadott ötszög B csúcsából húzott két átló 75°-os szöget zár be egymással! b) Igazolja (például addíciós tételek segítségével), hogy 4 26 75cos . c) Igazolja, hogy az ötszög DE oldala hosszának pontos értéke 32 . d) Igazolja, hogy 2 26 32 .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4322

a) Hány olyan különböző hegyesszögű háromszög van, melynek szögei fokban mérve különböző egész számok, és a szögek egy növekvő számtani sorozat egymást követő tagjai? (Két háromszöget különbözőnek tekintünk, ha nem hasonlók egymáshoz.) b) Igazolja, hogy nincs olyan szabályos n-szög, amelynek a belső szögei n fokosak! c) Egy szabályos n-szögről tudjuk, hogy a belső szögei fokban mérve egész számok. Hányféle lehet az n értéke?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4324

Egy háromszög oldalainak hossza 7 cm, 9 cm és 11 cm. a) Igazolja, hogy a háromszög hegyesszögű! Egy derékszögű háromszög oldalainak centiméterben mért hossza egy számtani sorozat három egymást követő tagja. b) Igazolja, hogy a háromszög oldalainak aránya 3 : 4 : 5. c) Ennek a derékszögű háromszögnek a területe 121,5 cm2 . Számítsa ki a háromszög oldalainak hosszát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7698

Adott az 2 2 4 16 34 0x y x y egyenletű k kör. a) Igazolja, hogy az E(-7 5) pont rajta van a k körön! b) Írja fel a k kör E pontjában húzható érintőjének egyenletét! c) Határozza meg az m valós paraméter összes lehetséges értékét úgy, hogy az y mx egyenletű e egyenesnek és a k körnek ne legyen közös pontja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7703

Az iskolai karácsonyi vásárra készülődve Blanka, Csenge és Dóri feladata az volt, hogy különböző figurákat hajtogassanak színes papírból. Összesen 70 figurát hajtogattak. A figurák kétheted részét Dóri készítette, a maradékot pedig fele-fele arányban Blanka és Csenge. a) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a 70 figura közül véletlenszerűen kivá- lasztott két figurát ugyanaz a lány készítette! A Blanka által készített figurák 40%-a volt karácsonyfa, a Csenge által készített figurák- nak 60%-a, a Dóri által készített figuráknak pedig 30%-a. Az első vásárló a vásáron Blanka édesanyja volt ő megvett egy véletlenszerűen kiválasz- tott karácsonyfa-figurát. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a figurát éppen Blanka készítette! A gyerekek másfajta díszeket is készítettek úgy, hogy színes kar- tonlapra nyomtatott kör alakú képeket négy-négy egyenes vágással vágtak körül. Az egyik ilyen módon kapott érintőnégyszög alakú függődísz oldalainak hossza (valamilyen sorrendben) egy számtani sorozat négy szomszédos tagja. A négyszög egyik oldala 23 cm, a kerülete pedig 80 cm. c) Mekkora lehet a négyszög másik három oldalának hossza?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7704

a) Döntse el, hogy igaz-e a következő kijelentés! Válaszát indokolja! Van olyan G1 , illetve G2 fagráf, amelyre igaz, hogy a G2 csúcsainak száma kétsze- rese a G1 csúcsai számának, és a G2 éleinek száma is kétszerese a G1 élei számának. (A fagráfnak van legalább egy csúcsa.) Az A, B, C, D, E, F kereskedőcégek mindegyike mind az öt másik céggel kötött egy-egy üzletet az előző hónapban (bármelyik két cég között pontosan egy üzletkötés jött létre). Az ellenőrző hatóság véletlenszerűen kiválaszt a hat cég előző havi (egymás közötti) üz- letkötései közül négyet, és azokat ellenőrzi. b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy az A vagy a B cég üzletkötései közül is ellen- őriznek legalább egyet? Az egyik cég azzal bízott meg egy reklámügynökséget, hogy tervezzen egy nagy méretű, függőlegesen leomló hirdetővásznat a budapesti Lánchíd fő tartóláncának egy részére. A híd két támpillérének PV távolsága kb. 200 méter. A fő tartólánc alakja jó közelítéssel egy olyan (függőleges síkú) parabolának az íve, amelynek a tengelypontja a PV felező- pontja (U), a tengelye pedig a PV felezőmerőlegese. A lánc tartópillérnél becsült legna- gyobb magassága PQ 16 méter, a vászon tervezett szélessége PS 50 méter. A tervek szerint a QR íven felfüggesztett hirdetővászon az ábrán sötétített PQRS területet fedi majd be (RS merőleges PS-re). c) Hány m2 területű vászon beszerzésére lesz szükség, ha a rögzítések miatt 8% vesz- teséggel számol a tervező?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7705

Egy cirkuszi sátor alsó része szabályos tizenkétszög alapú egyenes hasáb, a felső része pedig szabályos tizenkétszög alapú gúla, amelynek alaplapja a hasáb fedőlapjára illeszkedik. Az alapélek hossza 5 méter, a hasáb alakú rész magassága 8 méter, a felső, gúla alakú rész magassága 3 méter. A téli időszakban a sátrat olyan (egyforma) fűtőtestekkel fű- tik, amelyek egyenként 200 m3 befűtésére elegendők. a) Legalább hány ilyen fűtőtestre van szükség? Titi és Jeromos zsonglőrök az egyik műsorszámukban több buzogányt dobálnak egymásnak. Mindkét zsonglőr nagyon ügyes, hiszen mindegyikük átlagosan csak háromszor hibázik ezer esetből a buzogány elkapásakor (ezt úgy tekintjük, hogy minden elkapáskor 0,003 a hibázás valószínűsége). A két zsonglőr legújabb műsorszámában összesen 72 buzogányelkapás szerepel. b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy legfeljebb egy buzogányelkapási hiba csúszik az előadásukba? Válaszát két tizedesjegyre kerekítve adja meg!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7747

a) Mely egész számokra teljesül a [0 2] intervallumban a 2 1 cos x egyenlőtlenség? b) Hány olyan egész szám van, amelyre teljesül a 201515202 xx egyenlőt- lenség? c) Adott a valós számok halmazán értelmezett 1 2 1 )( 4 x xf függvény. Hány rács- pontot tartalmaz az f függvény grafikonja és a koordinátatengelyek által az első sík- negyedben közbezárt síkidom? (A síkidom határolóvonalait is a síkidomhoz tarto- zónak tekintjük.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7748

a) Számítsa ki az a, b és c értékét, ha az cxxxf 2 ba)( (x R, a, b, c R és 0a ) függvényről tudjuk, hogy 6)2( `f és 2)6( `f , valamint 3 50 )( 2 0 dxxf . b) Határozza meg annak a P(0 35) ponton átmenő egyenesnek az egyenletét, amely érinti az 38 2 1 2 xxy egyenletű parabolát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7750

Egy négyzetes oszlopnak (négyzet alapú egyenes hasábnak) pontosan négy olyan éle van, amelyik 10 cm hosszú. Az oszlop testátlójának hossza 12,5 cm. a) Számítsa ki a négyzetes oszlop felszínét! Négyzetes oszlop alakú üveg akváriumot vettünk. A választott akvárium felülről nyitott, négyzetlapjai függőleges síkúak (az ábra szerint), és pontosan 288 liter víz fér bele. Azt szeretnénk tudni, hogy a belső üvegfelületek káros algásodása szempontjá- ból kedvező volt-e a választásunk. b) Számítsa ki, hogy - a megadott feltételek mellett - hány deciméter hosszúak a lehető legkisebb belső felületű akvárium (belső) élei!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7751

Egy nagy méretű, köztéren felállítandó óra számlapját szabályos 12-szög alakúra tervezik. Az A1A2...A12 számlapot egy 260 cm × 180 cm-es téglalap alakú alu- míniumlemezből vágják ki az ábra szerint. a) Mekkora tömegű az óralap, ha az alumíniumle- mez vastagsága 2 mm, és 1 m3 alumínium tömege 2700 kg? b) Jelöljük meg a szabályos tizenkétszög A1 csúcsát! Hány olyan derékszögű három- szög van, amelynek egyik csúcsa az A1 , a másik két csúcsa pedig szintén a tizenkét- szög valamelyik két csúcsával azonos? (Két háromszöget akkor tekintünk különbö- zőnek, ha legalább az egyik csúcsuk különböző.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8923

a) Határozza meg az alábbi két állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszait in- dokolja! I. Ha egy trapéznak 2-2 szöge egyenlő, akkor a trapéz húrtrapéz. II. Ha egy háromszögben a b, akkor sin 3 sin 3. (A háromszög oldalai a, b és c, a velük szemközti szögek rendre , és .) b) Fogalmazza meg a II. állítás megfordítását, és a megfordított állításról is döntse el, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! Egy matematika-vizsgafeladatban három állítás logikai értékét kell meghatározni (igaz vagy hamis). Három helyes válasz esetén 2, két helyes válasz esetén 1, kettőnél kevesebb helyes válasz esetén 0 pontot kap a vizsgázó. Béla tanult egy keveset, de bizonytalan a tudása: mindegyik kérdésnél 0,6 valószínűséggel találja el a helyes választ. c) Számítsa ki annak a négy eseménynek a valószínűségét, hogy Béla sikeres tippjei- nek száma 3, 2, 1, illetve 0, és határozza meg Béla pontszámának várható értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8926

A római katonák az úgynevezett taxillus-szal játszottak kockajá- tékot. (A taxillus a kecske vagy a juh térdkalácsából faragott csontocska ld. a képen.) Dobás után egy taxillus négy különböző oldalára eshetett. Jelölje ezt a négy különböző helyzetet A, B, C és D. Az egyes dobáski- menetelek nem voltak egyformán valószínűek: az A, illetve a B helyzet egyaránt 4 10 , a C, illetve a D helyzet pedig egyaránt 1 10 valószínűséggel következett be. A rómaiak általában négy taxillust dobtak fel egyszerre. A Venus-dobás volt az egyik legértékesebb, ekkor a négy csontocska mindegyike más-más oldalára esett.1 a) Mennyi a Venus-dobás valószínűsége? b) Az alábbi két esemény közül melyiknek nagyobb a valószínűsége? I. Négy feldobott taxillus között lesz olyan, amelyik C helyzetben érkezik le. II. Négy feldobott taxillus között pontosan egy érkezik le az A helyzetben. Thalész, a hét görög bölcs egyike, egy nevezetes, neki tu- lajdonított mérés során egy folyóban lévő sziget AB hosz- szát a folyóparton maradva határozta meg. Először felvett egy e egyenest a parton. Ezen az e egyene- sen megkereste azt a C, illetve D pontot, amelyekben a CA, illetve a DB irány merőleges az e egyenesre. Ezután a CD szakasz F felezőpontját is megjelölte egy jelzőkaróval. Ezt követően az AC egyenesen haladva megjelölte azt a G pon- tot, amelyre B, F és G egy egyenesre illeszkedik és hason- lóan az AF és BD egyenesek H metszéspontját is megje- lölte. Thalész azt állította, hogy a sziget hossza a GH távolsággal egyezik meg. c) Igazolja Thalész állításának helyességét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8927

Az ABCDEFGH négyzetes oszlop AE, BF, CG, DH élei merőlegesek az ABCD alaplapra. Az A csúcsból kiinduló három él hossza AB AD 8 egység, AE 15 egység. a) Számítsa ki az EF és AH vektorok skaláris szorzatát! A négyzetes oszlop köré egy P csúcspontú forgáskúpot illesztünk úgy, hogy az A, B, C, D csúcsok a kúp alaplapjára, az E, F, G, H csúcsok pedig a kúp palástjára illeszkedjenek. (A kúp és a négyze- tes oszlop tengelye egybeesik.) A kúp magassága 45 egység. b) Számítsa ki a kúp felszínét! c) Hány olyan derékszögű háromszög van, amelynek egyik befogója 15 egység hosszú, és a másik két oldala is egész szám hosszúságú? (Az egybevágó háromszögeket nem tekintjük különbözőknek.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8928

Az ABCD négyzet oldalai 4 méter hosszúak. A négyzetbe az ábrán látható módon az EFGH paralelogrammát írjuk. Az AH és a CF szakasz hossza x méter, a BE és a DG szakasz hossza 2x méter (0 < x < 2). a) Igazolja, hogy a beírt paralelogramma területe (m2 -ben mérve): T(x) = 2 4 12 16x x + . b) Határozza meg az x értékét úgy, hogy a beírt paralelo- gramma területe a lehető legkisebb legyen! c) Számítsa ki a beírt paralelogramma szögeit, ha x = 1,25.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8936

Egy 33 × 18 cm-es kartonlapból (kivágással, hajtogatással) tégla- test alakú dobozt készítenek. A doboz (sötétre színezett) kite- rített hálóját és méreteit az ábra szerint választják meg. a) Határozza meg a doboz tér- fogatát, ha a = 7 cm! b) Hogyan kell megválasztani az a, b, c élek hosszát ahhoz, hogy a doboz térfogata maximális legyen? Egy téglatest bármely három csúcsa egy háromszöget határoz meg. c) A téglatest csúcsai által meghatározott háromszögek között hány olyan van, amely- nek a síkja nem esik egybe a téglatest egyik lapjának síkjával sem?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8940

Egy egyenlő szárú háromszög oldalai hosszúságának átlaga 10, szórása 3 2 . a) Határozza meg a háromszög oldalainak hosszát! Egy háromszög csúcsai a derékszögű koordináta-rendszerben A(-6 0), B(6 0) és C(0 8). b) Igazolja, hogy a 3x - 4y = -12 egyenletű e egyenes felezi az ABC háromszög kerü- letét és területét is!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8941

Tekintsük az összes olyan hétjegyű természetes számot, amely az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 szám- jegyek mindegyikét tartalmazza. a) Az összes ilyen hétjegyű számot felírjuk egy-egy 0,5 cm × 2 cm-es téglalap alakú papírdarabra (minden papírdarabra egy hétjegyű számot írunk). Elegendő lesz-e a kis téglalapok elkészítéséhez 8 darab A4-es papírlap? (Az A4-es papírlap téglalap alakú, mérete 21 cm × 29,7 cm.) b) A megadott tulajdonságú hétjegyű számokat nagyság szerint növekvő sorba rendez- zük. Igazolja, hogy a 721. helyen a 2 134 567 áll! Egy 21 cm × 29,7 cm-es téglalap alakú (A4-es) papírlapot összehajtottunk az egyik átlója mentén (az ábra szerint). c) Számítsa ki, hogy mekkora az összehajtás után kétszeresen fedett síkrész területe!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8953

A tengerpart közelében, a vízszintes tengerfenékre négy érzékelő egységet telepítenek (A, B, C, D). A tervrajzon derékszögű koordináta-rendszerben adták meg három érzékelő helyzetét: A(0 -12,5), B(10 -7,5), C(48 14). a) Igazolja, hogy az A, B, C pontok nem illeszkednek egy egyenesre! A tervrajzon a koordinátatengelyeken megadott 1 egység távolság a valóságban 20 mé- ternek felel meg. b) Hány méter lehet az A és D érzékelők valódi távolsága, ha a D érzékelőt úgy telepí- tik, hogy az A-tól és a B-től egyenlő távolságra, C-től pedig 1000 méter távolságra legyen?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8954

A Balaton vízfelületének hossza kb. 76,5 km, átlagos szélessége kb. 7,7 km. a) Számítsa ki a Balaton átlagos vízmélységét, ha a tóban levő vízmennyiség becsült térfogata 2 milliárd m3 ! Válaszát méterben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! Ádám és Misi szeretnék kerékpárral egy nap alatt megkerülni a Balatont. A tó körüli ke- rékpárút hossza 205 km. Reggel 7-kor indulnak. Mikor ebédszünetet tartanak, megálla- pítják, hogy átlagsebességük az ebédszünetig 16 km/h volt. A 60 perces ebédszünet után továbbindulnak. Hogy még sötétedés előtt célba érjenek, átlagsebességüket 20 km/h-ra növelik a hátralevő úton. Így valóban visszaérnek a kiindulási pontjukra este fél 8-ra. b) Mikor tartottak a fiúk ebédszünetet? A tó szélessége Balatonvilágos és Balatonalmádi között a legnagyobb, kb. 12,7 km. c) Legalább hány méterrel kell a vízfelszín fölé emelkednie a balatonvilágosi kikötő- ben elhelyezett jelzőoszlopnak ahhoz, hogy az oszlop tetején rögzített viharjelző ké- szülék fényjelzése - a Föld görbületét is figyelembe véve - látható legyen a bala- tonalmádi strandon fürdőzők számára is? (A Földet tekintsük egy 6370 kilométer sugarú gömbnek.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8958

Az ábrán az ]x1 x2 [ nyílt intervallumon értelmezett f függvény grafikonja, valamint az f első derivált- függvényének és az f második deriváltfüggvényé- nek grafikonja látható. A három függvény grafi- konját valamilyen sorrendben az a, b, c betűkkel jelöltük. Az alábbi táblázat A jelű állítása szerint az ábrán a jelöli az f függvényt, b jelöli az f első derivált- függvényét ( f ), és c jelöli az f második derivált- függvényét ( f ). Ehhez hasonlóan felsoroltuk az összes többi lehet- séges megfeleltetést is. a) Állapítsa meg a B, C, D, E, F állítások logikai értékét! Válaszait itt nem kell indokolnia. (Az A állítás hamis, ezt már megadtuk.) f f f az állítás igaz/hamis A a b c hamis B a c b C b a c D b c a E c a b F c b a b) A függvény és deriváltfüggvényei közötti kapcsolatokra alapozva indokolja meg, miért hamis az A állítás! Adottak a derékszögű koordináta-rendszerben az A, B, C, D pontok: A(0 4), B(0 1), C(p 1), D(p 4), ahol p > 0. Az 2 4 x y = egyenletű görbe felezi az ABCD téglalap területét. c) Igazolja, hogy p > 4, majd számítsa ki p értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8959

A p, q, r pozitív számok összege 180. Tudjuk továbbá, hogy p : q = 7 : 8 és r : p = 5 : 3. a) Határozza meg ezeket a számokat! A H halmaz az első 90 pozitív egész szám halmaza. H-ból véletlenszerűen kiválasztunk két különböző számot. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a két kiválasztott szám egy derékszögű háromszög (fokban mért) valamelyik két szöge!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8968

a) Az ábrán a harmadfokú f függvény grafikonjának egy részlete látható. A függvény értelmezési tartományában megjelöltünk öt helyet. Mindegyik esetben döntse el, hogy az adott helyen az f első, illetve második deri- váltjának előjele pozitív (P) vagy negatív (N)! Válaszát írja a megadott táblázat meg- felelő cellájába! (Tudjuk, hogy 4 ( ) 0f x = .) b) Adott az 21 ( 2) 8 4 y x= + egyenletű parabola. Határozza meg a k valós paraméter értékét úgy, hogy a 4x - y = k egyenletű egyenes érintse a parabolát, és határozza meg az érintési pont koordinátáit is! hely x1 x2 x3 x4 x5 f előjele P 0 f előjele

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8969

a) Döntse el, hogy igaz-e a következő állítás! Válaszát indokolja! Ha egy háromszög két magassága egyenlő hosszúságú, akkor a háromszög egyenlő szárú. Egy háromszögben a szokásos jelölésekkel a = 3, b = 27 és = 2. b) Számítsa ki a háromszög szögeit! Az egységnyi oldalú, szabályos ABC háromszögbe olyan PQRS téglalapot írunk, melynek PQ oldala az AB oldalra illeszkedik, R a BC oldal pontja, S pedig a CA oldalé. c) Határozza meg a PQRS téglalap területének maximális értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8970

Legyen az U alaphalmaz a legalább 4 pontú egyszerű gráfok halmaza. Az F halmaz az U elemei közül pontosan azokat tartalmazza, amelyek fagráfok, a G halmaz pontosan azo- kat, amelyek összefüggő gráfok, a H halmaz pedig pontosan azokat, amelyek 6 pontú gráfok. a) Az alábbi ábrán satírozással jelölje meg, és halmazműveletekkel is adja meg az U-nak azt a részhalmazát, amelyik üres halmaz! b) A megadott Venn-diagram minden egyes további részébe rajzoljon pontosan egy lehetséges gráfot! Egy telephely K, L, M, N, O, P, Q épületei közül az éjszakai első ellenőrzés során ötöt ellenőriz a biztonsági őr. c) Hányféleképpen tervezheti meg az útvonalát, ha a K és L épületeket mindenképpen ellenőrzi? (Két útvonal különböző, ha a két út során más épületeket, vagy ugyan- azokat az épületeket, de más sorrendben ellenőriz a biztonsági őr.) Megrajzoltuk az ABCDE konvex ötszög oldalait és átlóit, majd a megrajzolt szakaszok mindegyikét vagy kékre, vagy zöldre színeztük. A színezés befejezése után észrevettük, hogy nincs olyan háromszög, amelynek csúcsai az A, B, C, D, E pontok közül valók, és mindhárom oldala azonos színű. d) Igazolja (például indirekt módszerrel), hogy nincs olyan csúcsa az ötszögnek, amelyből legalább három azonos színű szakasz indul ki!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8971

Egy kétszemélyes társasjátékot olyan négyzet alakú táblán játszanak, amelyet fehér és szürke mezőkre osztottak fel az ábra szerint. Ha a táblát egy olyan koordináta-rendszerbe helyez- zük, amelyben a négyzet csúcsainak koordinátái (1 1), (-1 1), (-1 -1), illetve (1 -1), akkor ebben a koordináta-rendszerben az a jelű ív egyenlete: 3 (1 )y x= , 0 x 1. A tábla középpontosan és ten- gelyesen is szimmetrikus. a) Írja fel a másik három (az ábrán b, c, illetve d jelű) ív egyenletét is! A társasjáték gyártója a 2 dm oldalú tábla fehér színű részének bevonásához egy speciális anyagot használ. Ebből 1 kg mennyiség 12 m2 terület bevonásához elegendő. b) Számítsa ki, hogy 4000 darab tábla elkészítéséhez hány kg speciális anyag szük- séges! A kétszemélyes társasjátékban minden játszma csak valamelyik játékos győzelmével vég- ződhet, döntetlen nincs. Minden játszmában 1 pontot kap a győztes, a vesztes pedig 0 pontot. Anna és Bori nagyon szereti ezt a társasjátékot, sok játszmát lejátszottak már. Ha egymás ellen játszanak, akkor Anna 0,4 valószínűséggel, Bori pedig 0,6 valószínűséggel nyer meg egy játszmát. Egyik alkalommal megállapodnak, hogy addig játszanak újabb játsz- mákat, amíg valamelyikük először éri el a 10 pontot (és így megnyeri a játékot). c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Bori legfeljebb 12 játszma után megnyeri a játékot? (Kezdéskor mindkettőjüknek 0 pontja van.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8973

A mellékelt ábrán egy kereszt alakú lemez látható, amely 5 db 10 cm oldalú négyzetből áll. A lemezből egy 10 cm alapélű, sza- bályos négyoldalú gúla hálóját szeretnénk kivágni úgy, hogy a kö- zépső négyzet legyen a gúla alaplapja. a) Igazolja, hogy a lehetséges hálók kivágása során keletkező hulladék legalább 200 cm2 , de kevesebb 300 cm2 -nél! Tekintsük az ábrán látható nyolcpontú gráfot. b) A gráfban véletlenszerűen kiválasztunk két csúcsot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két csúcsot él köti össze a gráfban? c) A gráf 9 élét kékre, 3 élét pedig zöldre színezzük. Igazolja, hogy bármelyik ilyen színezésnél lesz a gráfban egyszínű (gráfelméleti) kör!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8983

Adott az 2 (4 1) 2 0x p x p + + = másodfokú egyenlet, ahol p valós paraméter. a) Igazolja, hogy bármely valós p érték esetén az egyenletnek két különböző valós gyöke van! b) Ha az egyenlet egyik gyöke 3, akkor mennyi a másik gyöke? c) Határozza meg a p paraméter értékét úgy, hogy az egyenlet gyökeinek négyzetösz- szege 7 legyen!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8984

Az északi félteke 50. szélességi körén egy adott napon a nappal hosszát (a napkelte és a napnyugta között eltelt időt) jó közelítéssel a következő f függvénnyel lehet modellezni: 8 ( ) 5,2cos 11,2 58 n f n + = + , ahol n az adott nap sorszámát jelöli egy adott éven belül, f (n) pedig a nappal hossza órá- ban számolva (1 n 365, n N). Az alábbi ábra a [ ] 8 : 1 365 ( ) 5,2cos 11,2 58 x g g x + = + R függvényt szemlélteti. (A g függvény az f-nek egy folytonos kiterjesztése.) a) Ha x = 1, akkor 8 58 x + helyettesítési értéke 9 58 . Adja meg a 9 58 radián értékét fokban mérve! b) Számítsa ki a modell alapján, hogy az év 50. napján milyen hosszú a nappal! Válaszát óra:perc formátumban, egész percre kerekítve adja meg! c) Igazolja, hogy (a modell szerint) egy évben 164 olyan nappal van, amelyik 12 óránál hosszabb! Adott egy másik, az y = -5,2cos(x) + 11,2 egyenletű görbe, valamint az x = 0, az y = 0 és az x = 2 egyenletű egyenesek. d) Számítsa ki a görbe és a három egyenes által határolt korlátos síkidom területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8985

Az ABCD húrnégyszögben AB = 20, BC = 18, ABC = 70°, CAD = 50°. a) Milyen hosszú a CD oldal, és mekkora a húrnégyszög területe? A derékszögű koordináta-rendszerben adottak a P(-2 0), Q(6 0) és R(0 5) pontok, a H pedig a PQ szakasz tetszőleges pontja. b) Számítsa ki a és azPH RH vektorok skaláris szorzatát, ha H(-1,8 0). c) Adja meg a H pont koordinátáit úgy, hogy a és azPH RH vektorok skaláris szorzata maximális, illetve úgy is, hogy minimális legyen!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8987

Az ABCD téglalap oldalainak hossza AB = 17 cm és AD = 8 cm. a) Mekkora területű részt fed le a téglalapból az A középpontú, 17 cm sugarú kör? b) Az APCQ rombusz P csúcsa a téglalap AB oldalának belső pontja, Q csúcsa pedig a CD oldal belső pontja. Számítsa ki a rombusz kerületét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8996

Adott az 1 7 2 y x= egyenletű e egyenes. a) Egy négyzet egyik csúcsa az origó, egyik átlójának egyenese pedig az e. Számítsa ki a négyzet középpontjának koordinátáit és a négyzet területét! b) Számítsa ki annak a korlátos síkidomnak a területét, amelyet az 2 ( 4) 7 4 x y = + egyenletű parabola és az e egyenes határol!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8999

Egy társasjátékban a játékosok egyforma méretű golyókból négy ré- tegű piramist építenek (ábra). A piramist 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 30 golyó alkotja, amelyek közül 15 sötét, a többi 15 pedig világos. A piramis építéséhez szükséges 30 golyót először kikészítik egy do- bozba, majd az építés során a golyókat véletlenszerűen veszik ki a do- bozból. a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a fölülről számított második rétegbe kerülő 4 golyó mindegyike sötét színű lesz? Az n rétegű piramis 2 2 2 1 2 ... n+ + + darab golyóból áll (n N+ ). b) Bizonyítsa be (például teljes indukcióval), hogy 2 2 2 ( 1)(2 1) 1 2 ... 6 n n n n + + + + + = . A kétrétegű piramis 5 golyóból áll (ábra). Az alsó réteget alkotó 4 go- lyót egy vízszintes síklapon helyezzük el úgy, hogy az egymás melletti golyók érintsék egymást, középpontjaik pedig egy négyzet csúcsai le- gyenek. A golyók sugara 1 cm. c) Számítsa ki a kétrétegű piramis magasságát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9002

Ha András az asztalra ejti a pingponglabdáját, akkor a labda az ejtési magasság kb. 84%- ára pattan vissza. Ezután tovább pattog úgy, hogy minden asztalra érkezés után az előző felpattanás magasságának 84%-áig emelkedik fel. a) András egy alkalommal (az asztal lapjától mérve) 1 méter magasságból ejtette az asztalra a pingponglabdát. Mekkora utat tesz meg összesen a pingponglabda az első asztalra érkezésétől a tizenötödikig? (Feltételezzük, hogy a labda csak függőleges irányban mozog, a vízszintes irányú elmozdulása elhanyagolható.) András azt állítja, hogy az összes pingponglabdájának száma 6-tal osztva 2 maradékot, 15-tel osztva pedig 1 maradékot ad. b) Mutassa meg, hogy András állítása hamis! Dóri olyan pingponglabda-készletet vásárolt, amelynek dobozába három egyforma labda - az ábrán látható elrendezésben - szorosan belefér. A doboz hengeres test, melynek alaplapját három egybe- vágó körív és három egyenlő hosszúságú szakasz határolja. (Az ábrán a dobozt felülnézetből látjuk.) c) A doboz térfogatának hány százalékát tölti ki a három pingponglabda, ha a labdák átmérője 40 mm? (A doboz falvastagsága elhanyagolható.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9789

Ádám balatoni telkén áll egy kis hétvégi ház. A ház felülnézete egy 7 m × 4 m-es téglalap. Ha esik az eső, akkor a tetőre lehulló csapadékot a tető négy oldalán körbefutó ereszcsa- tornák gyűjtik össze és vezetik be négy nagy, kezdetben üres (fedett) hordóba. A hordók forgáshenger alakúak, belső átmérőjük 40 cm, magasságuk 90 cm. Egy nyári zivatar alkalmával 15 mm csapadék hullott a településen (ez azt jelenti, hogy minden vízszintes felületen 15 mm magasan állna az esővíz, ha nem szivárogna el). A zi- vatar közben a tetőre lehullott csapadék 95%-a összegyűlt a hordókban. a) A zivatar után mindegyik hordóban ugyanolyan magasan állt a víz. Mekkora ez a magasság? A ház cserépteteje elöregedett, cserélni kell. A tető felülete négy síkidomból áll. A háztető 7 méteres oldalaihoz két egybevágó húrtrapéz csatlakozik, amelyek síkja a vízszintessel egy- aránt 30 fokos szöget zár be. A trapézok egy- máshoz csatlakozó, rövidebb oldala 3 méter hosszú. A háztető 4 méteres oldalaihoz két egy- bevágó, egyenlő szárú háromszög csatlakozik. b) Hány darab cserepet kell vásárolnia Ádámnak a tető újracserepezéséhez, ha a tető- felület egy négyzetméterére 30 darabra van szükség, és a megvásárolt mennyiség 8%-a hulladék lesz?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9792

Az ABC szabályos háromszög mindhárom oldalát 3-3 osztó- ponttal négy egyenlő részre osztottuk. a) Hány olyan négyszög van, melynek mind a négy csúcsa a háromszög oldalain kijelölt 9 pont közül való úgy, hogy a négyszögnek a háromszög mindegyik oldalán van legalább egy csúcsa? (Két négyszöget különbözőnek tekintünk, ha legalább egy csúcsukban különböznek.) Jelölje a 4 egység oldalú ABC szabályos háromszög BC ol- dalának B-hez közelebbi negyedelőpontját P, a CA oldal C-hez közelebbi negyedelőpontját Q, az AB oldal A-hoz kö- zelebbi negyedelőpontját pedig R. Jelölje továbbá AP és BQ szakaszok metszéspontját X, BQ és CR szakaszok metszés- pontját Y, végül CR és AP szakaszok metszéspontját Z. b) Határozza meg az XYZ háromszög területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9794

Az ABCD konvex négyszögben AB = 50 m, BC = 60 m, CD = 70 m, továbbá BAD = BCD = 100,3°. a) Számítsa ki a négyszög területét! Az ABCD konvex négyszöget az átlói négy háromszögre bontják. Ezeket pirosra, kékre, sárgára vagy zöldre színezzük úgy, hogy bármely két szomszédos háromszög különböző színű legyen, de az egymással szemben fekvők azonos színűek is lehetnek. (Két három- szög szomszédos, ha van közös oldaluk.) b) Hány olyan különböző színezés lehetséges, amelyhez pontosan 3 színt használunk?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10129

Adott az 2 0, 25 ( 5) (0 5)y x x x= egyenletű görbe. a) Igazolja, hogy az origó és az (5 0) pont is rajta van a görbén! Az ABCD derékszögű trapéz egyik szárának két vég- pontja az A(1 0), illetve a B(3 0) pont, a másik két csúcsa pedig a megadott görbén van, az ábra szerint. A megadott görbe és az x tengely [0 5] szakasza egy korlátos síkidomot fog közre. b) Ha véletlenszerűen kiválasztjuk ennek a korlátos síkidomnak egy pontját, akkor mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott pont a trapéznak is pontja lesz?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10131

Egy nyolcfős csapat kosárlabdaedzése közben mind a nyolcan 10-szer kíséreltek meg há- rompontost dobni. A sikeres dobások számát mind a nyolc főnél felírták. A feljegyzett számok: 6, 3, 7, 6, 4, 7, 8 és 7. a) Határozza meg a sikeres dobások számának átlagát, mediánját és szórását! A kosárlabda büntetődobást 4,6 méter távolságról kell elvégezni, a gyűrű 3 méter maga- san van. Petra a dobás pillanatában 2 méter magasságból engedi el a labdát, és az ideális, vízszintessel bezárt 45°-os szögre törekszik a dobás indításánál. b) Petra dobásának modellezéséhez határozza meg annak a parabolának az egyenletét, amely áthalad a P(0 2) és a Q(4,6 3) ponton, a P pontban húzott érintőjének irány- szöge pedig 45°! A parabola egyenletét y = ax2 + bx + c alakban adja meg! Az ábrán a [-2 3] intervallumon értelmezett szigorúan monoton, folytonos f függvény grafikonja látható. c) Adja meg az f inverzfüggvényének értelmezési tar- tományát, értékkészletét, zérushelyét, és jellemezze az inverzfüggvényt monotonitás szempontjából!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10134

Adott az 2 4 0x y = egyenletű parabola és az x - y = 5 egyenletű g egyenes. a) Igazolja, hogy a parabola fókuszpontja az F(0 1) pont! b) Írja fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a g egyenesen van, valamint átmegy a P(0 -1) ponton és a parabola F fókuszpontján is! c) Adja meg a parabola g egyenessel párhuzamos érintőjének egyenletét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10146

a) Egy tömör fából készült forgáshenger magassága 30 cm, felszíne 10 000 cm2 . A hengerből egy olyan forgáskúpot készítenek, amelynek az alapköre és a magas- sága megegyezik a hengerével. A henger térfogatának hány százaléka lesz forgács, és mekkora a kúp térfogata? b) Határozza meg a 10 000 cm2 felszínű forgáshengerek közül a legnagyobb térfogatú henger alapkörének a sugarát és a henger magasságát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10149

A rejtvényújságok egyik kedvelt feladattípusa a számpiramis. Az előírás szerint a számpiramis üres mezőibe pozitív egész számokat kell írni úgy, hogy az egymás mellé kerülő számok ösz- szege megegyezzen a föléjük írt számmal. Az ábrán látható számpiramisban a 13, 7, 36, 29, 32 és a 65 kezdőszámok adottak. a) Számítsa ki a, b és c értékét! 1852-ben egy londoni diák az Anglia megyéit áb- rázoló térkép színezése közben úgy találta, hogy a megyék helyes színezéséhez legfeljebb négy színre van szükség. (Helyes színezés esetén a kö- zös határszakasszal rendelkező megyék külön- böző színűek.) A diák sejtésének általánosítása tetszőleges térképek esetére (négyszín-tétel) so- káig megoldatlan matematikai probléma volt. A térképrészleten Tolna megye és négy megye- szomszédja látható. Az öt megyét legfeljebb négy színnel színezzük ki (piros, sárga, kék és zöld). b) Hányféleképpen színezhető helyesen ez a térképrészlet? (Két színezés különböző, ha van legalább egy megye, melynek a két színezésben más a színe.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10150

Egy többnapos nemzetközi matematikakonferencia minden résztvevője belépőkártyát kap, amelyen a PQRST konvex öt- szög és annak átlói láthatók. A szervezők úgy tervezik, hogy egy-egy belépőkártyán az ötszög oldalai és átlói közül vala- hányat (egyet vagy többet, akár az összeset, de az is lehet, hogy egyet sem) megvastagítanak, így a különböző szemé- lyek különböző ábrájú kártyát kapnak. Az elektronikus kapu optikai leolvasója ez alapján engedélyezi a belépést, és el- végzi a személy regisztrációját. (Két belépőkártya külön- böző, ha az egyiken szerepel olyan megvastagított szakasz, amelyik a másikon nem.) A konferenciának 400 résztvevője lesz. a) Jut-e mindenkinek különböző belépőkártya? A konferencia épülete egy háromszög alakú területen van. Ha a háromszög csúcsai A, B és C, akkor AB = AC = 130 méter, és BC = 100 méter. A háromszög alakú területet ketté- osztja az egyenes CD kerítés úgy, hogy a BCD háromszög alakú rész területe 2000 m2 . (D az AB oldalon van.) b) Milyen hosszú a CD kerítés? A konferencián 200 magyar, 70 angol és 130 német matematikus vesz részt. Az angolok életkorának átlaga 44 év, a németeké 48 év, az összes résztvevő életkorának átlaga 45,7 év. c) Mennyi a magyar résztvevők életkorának átlaga?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10248

Az ókori egyiptomiak az egyenlő szárú háromszög területét (közelítő módszerrel) úgy számolták ki, hogy az alap és a szár szorzatának a felét vették.1 a) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 18 cm hosszú. Mekkora lehet a szára, ha az ókori egyiptomiak módszere e háromszög valódi területét 25%-nál kisebb hibával adja meg? Az ókori Egyiptom matematikájában a számok négyzetének is jelentős szerep jutott. b) Hány olyan 1000-nél kisebb pozitív egész szám van, amellyel az 1 2 3 4 5 6 szá- mot megszorozva négyzetszámot kapunk?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10250

A statisztikai értékelések során szükség van az adatokat és összefüggéseket szemléltető pontok és egyenesek köl- csönös helyzetének jellemzésére. Egy ilyen jellemző lehet a pontnak egy megadott egyenestől mért függőleges tá- volsága. Az ábrán látható P1 , P2 , P3 , P4 pontok esetén a függőleges távolságok rendre a d1 , d2 , d3 , d4 szakaszok hosszával egyenlők. (A távolságokat megadó szakaszok párhuza- mosak az y tengellyel.) a) Határozza meg az R(4 2) és az S(4 5) pontok füg- gőleges távolságát az 1 5 3 3 y x= + egyenestől! Ha a derékszögű koordináta-rendszerben az adatokat pontokkal jelenítjük meg, és külön- böző egyeneseket veszünk fel, akkor mindegyik egyeneshez kiszámítható a pontok füg- gőleges távolságainak négyzetösszege (az ábrán látható példában 2 2 2 2 1 2 3 4d d d d+ + + ). Tekintsük azt az egyenest a pontokra legjobban illeszkedő egyenesnek, amelyre ez a négy- zetösszeg a lehető legkisebb. Adott három pont a koordináta-rendszerben: A(1 3), B(3 5) és C(4 4). b) Adja meg az m értékét úgy, hogy az y = mx egyenletű (origón átmenő) egyenes a megadott módszer szerint a legjobban illeszkedjen az A, B és C pontokra! (m R) Az 21 ( 2 11 ) 3 y x x= + egyenletű g görbe áthalad a megadott A és B pontokon, a h egyenes pedig az origón és a C ponton. c) Mekkora a g és h által közbezárt korlátos alakzat területe?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10251

Egy áruházláncban minden Kocka csokoládé vásárlásakor a csoki mellé ajándékba adnak egy zsákbamacska csomagot, amelyben egy kis fémkocka van. A fémkocka mindegyik lapja sárga vagy kék színűre van festve úgy, hogy mind a két színű lap előfordul. a) Igazolja, hogy (színezés szerint) összesen 8-féle kocka van, ha a forgatással egy- másba vihető színezéseket nem tekintjük különbözőnek! b) Dórinak 7 különböző színezésű kockája van, így már csak egy hiányzik a teljes kész- lethez, hogy abból nyakláncot készítsen magának. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha 3 darab Kocka csokoládét vesz, akkor meglesz a teljes készlete? (Feltételezhetjük, hogy mindegyik kockafajta ugyanakkora valószínűséggel fordul elő a csomagokban.) Az ábrán látható ABCDEFGH kocka élhosszúsága 10 egység. c) Számítsa ki az ABG háromszög beírt körének sugarát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10252

Egy társasházban 50-en laknak. A lakók 38%-a nő, 32%-a szemüveges. a) Legalább, illetve legfeljebb hányan lehetnek a lakók között a nem szemüveges fér- fiak? A társasház kertje egy 15 méter hosszú, 10 méter széles téglalap alakú földterület, amely az egyik átlója mentén ketté van osztva: az egyik fele füvesítve van, a másik felén virágágyás található. A füvesített rész derékszögű csúcsában van egy öntöző, amely egy 10 méter sugarú negyedkör alakú területet locsol a kertben. b) Mekkora az a füvesített terület, amelyet nem ér el az öntöző?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10262

Egy egyenlőszárú háromszög csúcsai a derékszögű koordináta-rendszerben A(0 0), B(82 0) és C(41 71). Géza szerint ez a háromszög szabályos. a) Határozza meg a háromszög szögeit fokban, három tizedesjegyre kerekítve! b) Határozza meg a háromszög AC és AB oldalainak arányát négy tizedesjegyre kere- kítve! Egy csonkakúp alapkörének sugara 14 cm, fedőkörének sugara 8 cm, alkotója 10 cm hosszú. Géza szeretné gyorsan megbecsülni a csonkakúp térfogatát, ezért azt egy henger térfogatával közelíti. A közelítő henger alapkörének sugara megegyezik a csonkakúp alap- és fedőköre sugarának számtani közepével, magassága pedig egyenlő a csonkakúp magasságával. c) Határozza meg Géza közelítésének relatív hibáját! (Relatív hibának nevezzük a kö- zelítő értéknek a pontos értéktől mért százalékos eltérését.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10265

Adott az 2 2 16x y+ = egyenletű parabola és az 2 2 ( 3) 9x y+ = egyenletű kör. a) Határozza meg a parabola fókuszpontjának és a kör középpontjának a koordinátáit! b) Igazolja, hogy a Q (2 2 4) pont a parabolának és a körnek is pontja, és a kör Q-ban húzott érintője érinti a parabolát is! c) Határozza meg a parabola és az x tengely által közrezárt korlátos síkidom területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10268

a) Adottak az A, B, C kijelentések. Az A és B kijelentések logikai értéke igaz, a C kije- lentés logikai értéke hamis. Határozza meg az alábbi állítások logikai értékét! (Válaszait itt nem szükséges in- dokolnia.) (1) A C (2) ¬A B (3) B C (4) (A ¬B) C Jelölje x és y a derékszögű koordináta-rendszer egy tetszőleges pontjának első, illetve második koordinátáját, és legyen c egy valós szám. b) Igaz-e a következő állítás? Ha c 12, akkor 2 2 4 6 0x x y y c+ + + = egy kör egyenlete. (Válaszát indokolja!) c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását, és a megfordított állításról is döntse el, hogy igaz vagy hamis! (Válaszát indokolja!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10276

Egy háromszög három oldalának hossza (valamilyen sorrendben) tekinthető egy mértani sorozat három szomszédos tagjának. Két oldal hosszát ismerjük, az egyik 12 cm, a másik 27 cm. a) Milyen hosszú lehet a harmadik oldal? Az ABC derékszögű háromszög befogóinak hossza AC = 30 egység és BC = 40 egység. Megrajzoljuk a derékszögű csúcsból induló magasságvonalat, szögfelezőt és súlyvonalat. Ezek metszéspontját az átfogóval jelölje rendre P, Q és R. b) Írja fel egész számokkal az AP : PQ : QR : RB arányt! Pontos értékekkel számoljon!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10277

Egy háromszög oldalai a, a + 1 és a + 2 egység hosszúak. a) Igazolja, hogy ha a háromszög legnagyobb szöge , akkor a a 2 3 cos = . b) Határozza meg a háromszög oldalainak hosszát, ha a háromszög legnagyobb szöge 120 fokos! Egy derékszögű háromszög oldalainak hossza 8 cm, 15 cm és 17 cm. A háromszöglemez egy pontját véletlenszerűen kiválasztjuk. c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy ez a pont mindegyik csúcstól legalább 3 cm távolságra lesz?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10279

Adott a C(-6 -2) és a P(-3 2) pont. a) Írja fel a C középpontú, P ponton átmenő k kör egyenletét! b) Írja fel a k kör P pontra illeszkedő érintőegyenesének egyenletét! A C és P pontokon áthaladó egyenes és a két koordinátatengely egy derékszögű három- szöget határoz meg. c) Határozza meg a háromszög köré írható kör sugarának hosszát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10456

Egy téglalapot hat tartományra osztottak fel az ábrán látható módon. Az A, B, C, D, E, F tartományokat úgy kell kiszínezni, hogy azonos színű tartományok ne érintkezzenek egymással. A színezéshez a piros, kék, zöld és sárga színek használhatók. (Mindegyik tartományt ki kell színezni a megadott színek egyikével, de nem kötelező mind a négy színt felhasználni.) a) Hányféleképpen színezhető ki a téglalap úgy, hogy az A és C tartományok színe különböző legyen? Az A, B, C, D, E és F nemnegatív számokról a következőket tudjuk: (1) A = 6 és D = 8 (2) B számtani közepe A-nak és C-nek (3) F mértani közepe D-nek és E-nek (4) F 1-gyel nagyobb B-nél (5) E 2-vel nagyobb C-nél. b) Határozza meg az ismeretlen számok értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10460

Egy ingatlanhirdetésben sík területen fekvő legelőt kínálnak eladásra. A legelő alakja kon- vex négyszög, ennek csúcsait jelölje A, B, C és D. A négyszög három oldala AB = 126 m, BC = 65 m, CD = 80 m, két szöge ABC = 122,5° és ADC = 90°. A legelőt 0,9 hektár területűnek hirdeti az eladó. a) Hány százalékkal nagyobb a legelő valódi területe a meghirdetettnél? (1 ha = 10 000 m2 ) Egy itatóvályú alakja háromszög alapú egyenes hasáb. Vízszintes helyzetében a vályú felül nyitott, a hasábnak ez a lapja párhuzamos a vízszintes talaj síkjával, a háromszög alakú lapok pedig a talaj síkjára merőlegesek (ld. az ábrát). A szabályos háromszög alakú lemezek oldalai 38 cm hosz- szúak, a két téglalap alakú oldallap pedig 38 cm × 72 cm-es. A vízszintes helyzetű vályú kezdetben tele van vízzel. A vá- lyú egyik végét megemeljük, ezért a víz egy része kifolyik belőle. A vályúban ekkor a vízfelszín a bal oldali szabályos háromszög alsó csúcsától a jobb oldali szabályos három- szög felső éléig ér, ahogyan az ábra mutatja. b) Igazolja, hogy ekkor a vályúban (egészre kerekítve) 15 liter víz van! A vályút ezután visszafektetjük eredeti, vízszintes helyzetébe. c) Hány cm magasan áll a víz a vályúban ekkor?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10461

a) Az f függvény hozzárendelési szabálya ( ) 3 x f x = (x R). Helyezze el az alábbi halmazábra megfelelő részeibe az f (-2), f (0,5) és f (5) függvényértékeket! Egy ötpontú egyszerű gráf A, B, C, D, E pontjaihoz rendre a 3-2 , 3 -7 , 3 -12 , 1 2 és 1 2 1 számokat írtuk. A gráfban két pont akkor és csak akkor van éllel összekötve, ha a két ponthoz írt számok összege racionális szám. b) Hány éle van ennek az ötpontú gráfnak? A koordinátatengelyek és a ( ) 3 x g x = (x 0) függvény grafikonja által határolt tartományba olyan egymáshoz csatlakozó téglalapokat írunk, amelyek egyik oldala az x-tengelyen van és egységnyi hosszúságú, egyik csúcsa pe- dig a g függvény grafikonjára illeszkedik. Az első beírt téglalap egyik csúcsa az origó, ezzel szem- közti csúcsa pedig az (1 g(1)) pont. A további téglalapok egy-egy csúcsa rendre (2 g(2)), (3 g(3)), és így tovább, az ábra szerint (az ábra nem méretarányos). Legyen n az a legnagyobb pozitív egész szám, amelyre g(n) - g(n + 1) > 10 - 6 teljesül. c) Számítsa ki az első n téglalap területének összegét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10462

Egy téglatest egyik éle 4 dm, egy másik éle 2 dm hosszú. A téglatest térfogata 72 dm3 . a) Határozza meg a téglatest felszínét! Egy téglatest térfogata 72 dm3 . A téglatest egyik éle kétszer olyan hosszú, mint egy másik éle. b) Határozza meg az ilyen tulajdonságú téglatestek közül a minimális felszínű téglatest éleinek hosszát! c) Hányféleképpen választhatunk ki egy téglatest csúcsai közül hármat úgy, hogy a kiválasztott három csúcs által meghatározott sík ne tartalmazza a téglatest egyetlen további csúcsát sem?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10463

Az ábrán látható trapéz alakú kert alapjainak hoszsza: AB = 36 m, CD = 8 m. A 11 méter hosszú AC átló merőleges a trapéz alapjaira. a) Mekkora a kert kerülete és területe? A kert tulajdonosa egy 10 cm átmérőjű, henger alakú kutat fúratott a kertben. b) Hány méter mély lett a kút, ha a térfogata 0,1 köbméter? Az e egyenes párhuzamos a fenti ABCD trapéz alapjaival, és az AD szárat az E pontban, a BC szárat pedig az F pontban metszi. Az AC átló felezi az EF szakaszt. c) Az A ponttól mekkora távolságra metszi az e egyenes az AC átlót?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10818

Pali és a testvére, Lilla együtt szeretnének filmet nézni. Három film közül választanak: az egyik a Kocka, a másik A kör, a harmadik pedig a Képlet című film. Pali ezek közül az egyik filmnek 1 pontot, egy másiknak 2 pontot, a harmadiknak pedig 3 pontot ad, majd (Palitól függetlenül) ugyanezt teszi Lilla is. A két pontszámot mindegyik film esetében összeadják, majd a legkisebb pontösszegű filmet nézik meg. Ha több ilyen film is van, akkor filmnézés helyett társasjátékoznak. a) Melyik filmet néznék meg a testvérek, ha az alábbi táblázat szerint adnák a pontjaikat? Pali Lilla 1 pont A kör Képlet 2 pont Kocka A kör 3 pont Képlet Kocka b) Hányféleképpen oszthatják ki a pontokat a testvérek úgy, hogy mindhárom film pontösszege ugyanannyi legyen? c) Ha Pali és Lilla is véletlenszerűen osztja ki a pontszámokat a filmek között, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy filmnézés lesz a pontozás eredménye? Egy filmes portálon a Parabola című filmet 83-an értékelték 1-10-ig egy-egy egész számmal. A film erősen megosztotta a nézőket: 46-an 1-essel értékelték azt, ugyanakkor a kapott értékelések átlaga pontosan 5 lett. d) Számítsa ki a 83 értékelés szórását!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10820

Egy felül nyitott doboz vízszintes asztallapon áll. A dobozt három téglalap és két derékszögű trapéz határolja. A doboznak a vízszintes síkra illeszkedő lapja 8 cm× 6 cm méretű, két egymással szemközti függőleges síkú lapja pedig 6 cm× 5 cm, illetve 6 cm× 2 cm méretű téglalap. a) Számítsa ki a doboz testátlóinak hosszát! A test kiterített hálóját az ábra sötétített tartománya szemlélteti. Ezt a hálót egy 15 cm× 16 cm-es téglalapból vágjuk ki (ennek oldalai párhuzamosak a test 8 cm× 6 cm-es alaplapjá- nak oldalaival). b) Hány százalék hulladék keletkezik? Egy téglalap alakú kartonlap oldalhosszait úgy szeretnénk megválasztani, hogy alul és felül 4-4 cm-es, jobb és bal oldalon 2-2 cm-es margót hagyva a lap közepén megmaradó téglalap alakú terület 50 cm2 nagyságú legyen. c) Mekkorának válasszuk a kartonlap oldalainak hosszát, hogy a területe a lehető legkisebb legyen?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10821

Az ábrán egy medence méretarányos (kicsinyített) felülnézeti tervrajza látható. A medencét az y = x és az y = -2x + 2 egyenletű egyenes, valamint az y x x = 3 (0 x 1) egyenletű görbe fogja közre. a) Számítsa ki, hogy mekkora a tervezett medence alapterülete, ha a tervrajzon látható (0 0) és (1 0) pontok tá- volsága a valóságban 12 méter lesz! Adott az f f x x kx : ( ) R R + = + 3 függvény (k valós paraméter). Az f függvény grafikonjához egy-egy érintőt húzunk az x = 1, illetve az x = 2 abszcisszájú pontjában. b) Igazolja, hogy a két érintő metszéspontjának első koordinátája (a k paraméter érté- kétől függetlenül) 14 9 .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10824

Egy vízszintesen futó egyenes alagút függőleges ke- resztmetszete egy olyan 8,1 m magas körszelet, amely egy 6 m sugarú körből származik. Az alagút hossza 340 m. (A kép illusztráció.) a) Mutassa meg, hogy a körszelet körívéhez (egész fokra kerekítve) 221°-os középponti szög tartozik a körben! b) Számítsa ki az alagút térfogatát! Az eredményt ezer m3 -re kerekítve adja meg! Az alagút íves belső felületét kerámiaburkolattal látták el. c) Hány m2 a kerámiával burkolt felület?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10833

Az ABCD húrnégyszögben AB = 15, BC = 10. Az ABC szöget a DB átló két részre osztja: ABD = 20°, DBC = 40°. a) Igazolja, hogy az AC átló hossza pontosan 5 7 ! b) Igazolja, hogy az ACD háromszög szögei 20°, 40° és 120°! c) Számítsa ki az ABCD négyszög területét! A KLMN deltoidban a K és az M csúcsnál derékszög van, a KM átló hossza 9,6 cm. Az LN szimmetriaátlót az átlók metszéspontja két olyan szakaszra osztja, amelyek hosszának különbsége 2,8 cm. d) Számítsa ki a deltoid területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10835

a) Három lány és négy fiú moziba megy. Egy sorba szól a jegyük, hét egymás melletti székre. Hányféle sorrendben ülhetnek le, ha két lány nem ülhet egymás mellé? b) A nézőtéren az első és a második sorban már csak 3-3 szabad ülőhely van. A máso- dik sor szabad ülései pontosan az első sor szabad ülései mögött vannak. Hányféleképpen tud leülni egy hatfős társaság a hat szabad helyre úgy, hogy a má- sodik sorban mindenki magasabb legyen a közvetlenül előtte ülőnél? (A hat személy magassága különböző.) c) Egy 8 pontú egyszerű gráfnak 13 éle van, és az egyik pontjának a fokszáma 6. Igazolja, hogy van hárompontú kör (gráfelméleti háromszög) a gráfban!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10836

Egy családi ház egy téglatest alakú földszinti részből és a rá illeszkedő, háromoldalú egyenes hasáb alakú tetőtérből áll. A ház néhány méretét elölnézetben és oldalnézetben mutatja az alábbi ábra. (A falvastagságtól mindenütt eltekintünk.) Az ábrán megadott méretek alapján számolva válaszoljon az alábbi kérdésekre! a) A teljes tetőfelületet cseréppel fedik. Mekkora ez a felület? Válaszát m2-ben, egészre kerekítve adja meg! b) Hány köbméter a ház teljes térfogata (földszint és tetőtér összesen)? A beépített tetőtér alapterületének csak az a része számít lakóterületnek, ahol a belmagasság legalább 1,9 méter. c) Hány négyzetméter a ház teljes lakóterülete (a földszinti és tetőtérbeli lakóterület összesen)?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10896

Az ABCDE konvex ötszögben AB AE 20 cm és BC CD DE. A BCDE négyszög egy húrtrapéz, amelynek a B-nél fekvő belső szöge 40°-os. Az A csúcs és az EB átló távolsága 10 cm. a) Mekkorák az ötszög (belső) szögei? b) Mekkora az ötszög területe? c) Hányféleképpen járható be az ábrán látható ABCDE ötpontú gráf, ha mindegyik élén pontosan egyszer kell végighaladnunk? (A bejárás kezdőpontja a gráf egyik csúcsa; egy csúcsba érkezve csak olyan élen haladhatunk tovább, amely szintén az adott csúcsból indul.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10899

Egy hatfős baráti társaság, Attila, Boróka, Csaba, Dóra, Emil és Fanni három csapatot alkot. Mindhárom csapat 2 tagú, és mind a hatan pontosan egy csapatnak lesznek a tagjai. a) Igazolja, hogy 15 különböző lehetőség van a három csapat kialakítására! (Két lehetőség különböző, ha van olyan tag, akinek az egyik esetben más a csapattársa, mint a másikban.) b) Ha véletlenszerűen (például sorsolással) hozzák létre a három csapatot, akkor menynyi a valószínűsége annak, hogy mindhárom csapatba egy fiú és egy lány kerül? Végül Attila Borókával, Csaba Dórával, Emil pedig Fannival került egy csapatba. A há- rom csapat tagjai egyéni asztalitenisz-mérkőzéseket játszanak. Mindhárom csapat mindkét tagja egyszer játszik a másik két csapat mindkét tagjával. (Az egy csapatba tartozók nem játszanak egymás ellen.) Az egyes mérkőzéseket egymás után bonyolítják le. Az egyik mérkőzés után Attila megfigyelte, hogy a többi öt játékos mind különböző számú mérkőzést játszott eddig. c) Hány mérkőzést játszott eddig Boróka?