Egy dolgozatnál az elérhető legmagasabb pontszám 100 volt. 15 tanuló eredményeit tartalmazza a következő táblázat: Elért pontszám 100 95 91 80 65 31 17 8 5 A dolgozatok száma 3 2 1 2 1 2 2 1 1 a) Határozza meg az összes dolgozat pontszámának átlagát (számtani közepét), móduszát és mediánját! b) A dolgozatok érdemjegyeit az alábbi táblázat alapján kell megállapítani! Pontszám Osztályzat 80 - 100 jeles 60 - 79 jó 40 - 59 közepes 20 - 39 elégséges 0 - 19 elégtelen Ennek ismeretében töltse ki a következő táblázatot! Osztályzat jeles jó közepes elégséges elégtelen A dolgozatok száma c) Készítsen kördiagramot az osztályzatok megoszlásáról! Adja meg az egyes körcikkekhez tartozó középponti szögek értékét is!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 15

A fizika órai tanulókísérlet egy tömegmérési feladat volt. A mérést 19 tanuló végezte el. A mért tömegre gramm pontossággal a következő adatokat kapták: 37, 33, 37, 36, 35, 36, 37, 40, 38, 33, 37, 36, 35, 35, 38, 37, 36, 35, 37. a) Készítse el a mért adatok gyakorisági táblázatát! b) Mennyi a mérési adatok átlaga gramm pontossággal? c) Mekkora a kapott eredmények mediánja, módusza? d) Készítsen oszlopdiagramot a mérési eredményekről!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 69

Egy osztály történelem dolgozatot írt. Öt tanuló dolgozata jeles, tíz tanulóé jó, három tanulóé elégséges, két tanuló elégtelen dolgozatot írt. a) Hányan írtak közepes dolgozatot, ha tudjuk, hogy az osztályátlag 3,410-nál nagyobb és 3,420-nál kisebb? b) Készítsen gyakorisági táblázatot, és ábrázolja oszlop-diagrammal az osztályzatok gyakoriságát! c) A párhuzamos osztályban 32 tanuló írta meg ugyanezt a dolgozatot, és ott 12 közepes dolgozat született. Melyik osztályban valószínűbb, hogy a dolgozatok közül egyet véletlenszerűen elővéve éppen közepes dolgozat kerül a kezünkbe?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 88

Vízilabdacsapatunk játékosainak évekre kerekített életkor szerinti megoszlását mutatja az alábbi táblázat: Életkor (év) 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Játékosok száma (fő) 1 1 3 2 3 1 4 3 1 3 a) Az edzésterv szerint a játékosokat három csoportban foglalkoztatják: A 22 év alattiak tartoznak az utánpótlás kategóriába, a 25 év felettiek a rangidősöket alkotják, míg a többiek a húzóemberek csoportját képezik. Ábrázolja a három kategóriába tartozó játékosok számát oszlopdiagramon! b) Számítsa ki a csapat átlagéletkorát! c) Egy sajtófogadásra a csapat két 25 éves, két 28 éves és egy 20 évesnél fiatalabb játékosát sorsolják ki. Hányféle kimenetele lehet a sorsolásnak?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2826

Egy tanulmányi verseny döntőjében 8 tanuló vett részt. Három feladatot kellett megoldaniuk. Az első feladat maximálisan elérhető pontszáma 40, a másodiké 50, a harmadiké 60. A nyolc versenyző feladatonkénti eredményeit tartalmazza az alábbi táblázat: versenyző sorszáma I. II. III. összpontszám teljesítmény százalékos 1. 28 16 40 2. 31 35 44 3. 32 28 56 4. 40 42 49 5. 35 48 52 6. 12 30 28 7. 29 32 45 8. 40 48 41 a) Töltse ki a táblázat hiányzó adatait! A százalékos teljesítményt egészre kerekítve adja meg! Melyik sorszámú versenyző nyerte meg a versenyt, ki lett a második, és ki a harmadik helyezett? b) A nyolc versenyző dolgozata közül véletlenszerűen kiveszünk egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy 75%-osnál jobb teljesítményű dolgozat került a kezünkbe? c) Egy tanuló betegség miatt nem tudott megjelenni a döntőn. Másnap megkapta, és megoldotta a feladatokat. Eredményét később összehasonlította a nyolc döntős versenyző eredményével. Észrevette, hogy az első feladatot a versenyzők I. feladatra kapott pontszámainak a mediánjára teljesítette (egészre kerekítve), a második feladatot pedig a nyolc versenyző II. feladata pontszámainak a számtani közepére (szintén egészre kerekítve). A III. feladatot 90%-ra teljesítette. Mennyi lett ennek a tanulónak az összpontszáma? Ezzel hányadik helyen végzett volna?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 122

Egy gimnáziumban 50 diák tanulja emelt szinten a biológiát. Közülük 30-an tizenegyedikesek és 20-an tizenkettedikesek. Egy felmérés alkalmával a tanulóktól azt kérdezték, hogy hetente átlagosan hány órát töltenek a biológia házi feladatok megoldásával. A táblázat a válaszok összesített eloszlását mutatja. A biológia házi feladatok megoldásával hetente eltöltött órák száma* 0-2 2-4 4-6 6-8 8-10 Tanulók száma 3 11 17 15 4 * A tartományokhoz az alsó határ hozzátartozik, a felső nem. a) Ábrázolja oszlopdiagramon a táblázat adatait! b) Átlagosan hány órát tölt a biológia házi feladatok megoldásával hetente ez az 50 tanuló? Az egyes időintervallumok esetében a középértékekkel (1, 3, 5, 7 és 9 órával) számoljon! Egy újságíró két tanulóval szeretne interjút készíteni. Ezért a biológiát emelt szinten tanuló 50 diák névsorából véletlenszerűen kiválaszt két nevet. c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy az egyik kiválasztott tanuló tizenegyedikes, a másik pedig tizenkettedikes? d) Mennyi a valószínűsége annak, hogy mindkét kiválasztott tanuló legalább 4 órát foglalkozik a biológia házi feladatok elkészítésével hetente?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 143

Egy televíziós vetélkedőn 20 játékos vesz részt. A műsorvezető kérdésére a lehetséges három válasz közül kell a játékosoknak az egyetlen helyes megoldást kiválasztani, melyet az A, a B vagy a C gomb megnyomásával jelezhetnek. A vetélkedő három fordulóból áll, minden fordulóban négy kérdésre kell válaszolni. Amelyik versenyző hibásan válaszol, 0 pontot kap. A helyes válaszért annyi pont jár, ahány helytelen válasz született (pl. ha Péter jól válaszol és 12-en hibáznak, akkor Péter 12 pontot szerez). a) Töltse ki az első forduló táblázatának hiányzó adatait! Első forduló eredményei 1. kérdés 2. kérdés 3. kérdés 4. kérdés Anikó válasza helyes hibás helyes Jó válaszok száma 7 10 8 Anikó elért pontszáma 5 0 b) Hány százalékkal növekedett volna Anikó összpontszáma az első fordulóban, ha a második kérdésre is jól válaszolt volna? (A többi játékos válaszát változatlannak képzeljük.) c) Ha Anikó valamelyik másik fordulóban mind a négy kérdésre találomra válaszol, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy minden válasza helyes? d) Hány játékosnak kell helyesen válaszolnia egy adott kérdésre ahhoz, hogy a 20 játékosnak erre a kérdésre kapott összpontszáma a lehető legtöbb legyen? Válaszát indokolja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 160

Egy szerencsejáték a következőképpen zajlik: A játékos befizet 7 forintot, ezután a játékvezető feldob egy szabályos dobókockát. A dobás eredményének ismeretében a játékos abbahagyhatja a játékot ez esetben annyi Ft-ot kap, amennyi a dobott szám volt. Dönthet azonban úgy is, hogy nem kéri a dobott számnak megfelelő pénzt, hanem újabb 7 forintért még egy dobást kér. A játékvezető ekkor újra feldobja a kockát. A két dobás eredményének ismeretében annyi forintot fizet ki a játékosnak, amennyi az első és a második dobás eredményének szorzata. Ezzel a játék véget ér. Zsófi úgy dönt, hogy ha 3-nál kisebb az első dobás eredménye, akkor abbahagyja, különben pedig folytatja a játékot. a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Zsófi tovább játszik? b) Zsófi játékának megkezdése előtt számítsuk ki, mekkora valószínűséggel fizet majd neki a játékvezető pontosan 12 forintot? Barnabás úgy dönt, hogy mindenképpen két dobást kér majd. Áttekinti a két dobás utáni lehetséges egyenlegeket: a neki kifizetett és az általa befizetett pénz különbségét. c) Írja be a táblázat üres mezőibe a két dobás utáni egyenlegeket! második dobás eredménye 1 2 3 4 5 6 1 -13 2 3 4 10 5 első dobás eredménye 6 d) Mekkora annak a valószínűsége, hogy Barnabás egy (két dobásból álló) játszmá- ban nyer?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 180

Az alábbi táblázat százasokra kerekítve feltünteti, hogy a 100 000 főnél nagyobb lélekszámú hét magyar vidéki város lakossága hogyan alakult a XX. század utolsó húsz évében: 1980 2000 Debrecen 198 200 203 600 Győr 124 100 127 100 Miskolc 208 100 172 400 Nyíregyháza 108 200 112 400 Pécs 169 100 157 300 Szeged 164 400 158 200 Székesfehérvár 103 600 105 100 a) Ugyanebben a témakörben egy újság a következő adatokat jelentette meg: 1980 2000 Debrecen 198 198 203 617 Győr 124 170 127 149 Pécs 169 173 157 243 Fogadjuk el, hogy a feladat elején szereplő adatok helyesek. Ennek alapján az újság által közölt adatok közül melyik lehet pontos, és melyik téves? b) Hány százalékkal változott a hét vidéki város lélekszámának átlaga a húsz év alatt az első táblázat adatai alapján? (A választ egy tizedes pontossággal adja meg!) c) Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó adatait, és a kiszámolt értékek alapján válaszoljon az alábbi kérdésekre: Melyik város fejlődött leginkább, ha ezt a népesség növekedésének aránya alapján ítéljük meg? Melyik városban változott a lakosság létszáma a legnagyobb arányban? A változás aránya Százalékos jellege Debrecen 1,027 Győr Miskolc Nyíregyháza Pécs Szeged 3,8 %-os csökkenés Székesfehérvár írásbeli vizsga, II. összetevő 13 / 20 2008. május 6. 0801 Matematika középszint Név: ........................................................... osztály:...... d) Oszlopos grafikonon jelenítse meg a 7 város lélekszámának százalékos változását!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2877

Egy 2000. január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon élők kor és nem szerinti megoszlása (ezer főre) kerekítve az alábbi volt: korcsoport (év) férfiak száma (ezer fő) nők száma (ezer fő) 0 - 19 1 214 1 158 20 - 39 1 471 1 422 40 - 59 1 347 1 458 60 - 79 685 1 043 80 - 75 170 a) Melyik korcsoport volt a legnépesebb? A táblázat adatai alapján adja meg, hogy hány férfi és hány nő élt Magyarországon 2000. január 1-jén? b) Ábrázolja egy közös oszlopdiagramon, két különböző jelölésű oszloppal a férfiak és a nők korcsoportok szerinti megoszlását! c) Számítsa ki a férfiak százalékos arányát a 20 évnél fiatalabbak korcsoportjában, valamint a legalább 80 évesek között!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 211

A PIROS iskola tanulóinak száma tízesekre kerekítve 650. A tanulók között pontosan 10-szer annyian vannak a 180 cm-nél alacsonyabbak, mint azok, akik legalább 180 cm magasak. a) Pontosan hány tanulója van az iskolának? A szomszédos KÉK iskolában a tanulók magasságának eloszlását az alábbi táblázat mutatja: 180 cm-nél alacsonyabb pontosan 180 cm magas 180 cm-nél magasabb 560 tanuló 8 tanuló 48 tanuló A KÉK iskolában a legalább 180 cm magas tanulók 75%-a kosarazik, és ők alkotják a kosarasok 70%-át. b) Hány kosaras jár a KÉK iskolába? c) A KÉK iskolában az iskolanapon az egyik szponzor sorsolást tartott. Az összes sorsjegyet a tanulók között osztották ki, minden tanuló kapott egy sorsjegyet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az egyetlen főnyereményt egy legfeljebb 180 cm magas tanuló nyeri meg?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2905

Ha az eredetileg I0 2 m watt intenzitású lézersugár x mm ( 0x ) mélyre hatol egy bizonyos anyagban, akkor ebben a mélységben intenzitása ( ) 6 0 1,0 x IxI = 2 m watt lesz. Ezt az anyagot 8000 =I 2 m watt intenzitású lézersugárral világítják meg. a) Töltse ki az alábbi táblázatot! (Az intenzitásra kapott mérőszámokat egészre kerekítve adja meg!) x (mm) 0 0,3 0,6 1,2 1,5 2,1 3 ( )xI 2 m watt 800 b) Mekkora mélységben lesz a behatoló lézersugár intenzitása az eredeti érték (I 0) 15%-a? (A választ tizedmilliméterre kerekítve adja meg!) c) Egy gyermekszínház műsorának valamelyik jelenetében dekorációként az ábrán látható elrendezés szerinti négy csillag közül egyeseket zöld vagy kék lézer- fénnyel rajzolnak ki. Hány különböző dekorációs terv készülhet, ha legalább egy csillagot ki kell rajzolni a lézerrel?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 234

a) Rajzolja meg derékszögű koordinátarendszerben a ] ]61 intervallumon értelmezett, 32 + xx a hozzárendelésű függvény grafikonját! b) Állapítsa meg a függvény értékkészletét, és adja meg az összes zérushelyét! c) Döntse el, hogy a ( )85,1 2,3P pont rajta van-e a függvény grafikonján! Válaszát számítással indokolja! d) Töltse ki az alábbi táblázatot, és adja meg a függvényértékek (a hét szám) mediánját! x -0,5 0 1,7 2 2,02 4 5,5 32 + x

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 249

Megkérdeztek 25 családot arról, hogy hány forintot költöttek az elmúlt hónapban friss gyümölcsre. A felmérés eredményét mutatja az alábbi táblázat: 3500 4500 5600 4000 6800 4000 3400 5600 6200 4500 500 5400 2500 2100 1500 9000 1200 3800 2800 4500 4000 3000 5000 3000 5000 (Az adatokat tekintsük pontos értékeknek!) a) Hány forintot költöttek átlagosan ezek a családok friss gyümölcs vásárlására az elmúlt hónapban? b) Ossza 1000 Ft terjedelmű osztályokba a fenti értékeket, kezdve a 0-1000 Ft, 1001-2000 Ft stb. osztályokkal, és ábrázolja ezeknek az osztályoknak a gyakoriságát oszlopdiagramon! c) Az 500 Ft és a 9000 Ft kiugró értékek. Mennyi a megmaradt adatok átlaga, ha ezeket a kiugró értékeket elhagyjuk az adatok közül? Hány százalékos változást jelent ez az eredeti átlaghoz képest, és milyen irányú ez a változás? Mennyi az így keletkezett új adatsor terjedelme? (Az átlagot forintra, a százaléklábat két tizedesjegyre kerekítve adja meg!) d) Az eredeti mintát a vizsgálatot végző cég két új család megfelelő adatával bővítette. Az egyik az eredeti átlagnál 1000 Ft-tal többet, a másik ugyanennyivel kevesebbet költött havonta friss gyümölcsre. Mutassa meg számítással, hogy így az átlag nem változott!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 288

Egy iskolai tanulmányi verseny döntőjébe 30 diák jutott be, két feladatot kellett megol- daniuk. A verseny után a szervezők az alábbi oszlopdiagramokon ábrázolták az egyes feladatokban szerzett pontszámok eloszlását: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 1. feladat kapott pontszám tanulók száma 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 2. feladat kapott pontszám tanulók száma a) A diagramok alapján töltse ki a táblázat üres mezőit! Az első feladatra kapott pontszámok átlagát két tizedes jegyre kerekítve adja meg! 1. feladat 2. feladat pontszámok átlaga 3,10 pontszámok mediánja b) A megfelelő középponti szögek megadása után ábrázolja kördiagramon a 2. feladatra kapott pontszámok eloszlását! c) A versenyen minden tanuló elért legalább 3 pontot. Legfeljebb hány olyan tanuló lehetett a versenyzők között, aki a két feladat megoldása során összesen pontosan 3 pontot szerzett?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 301

András, Balázs, Cili, Dóra és Enikő elhatározták, hogy sorsolással döntenek arról, hogy közülük ki kinek készít ajándékot. Úgy tervezték, hogy a neveket ráírják egy-egy papír- cetlire, majd a lefelé fordított öt cédulát összekeverik, végül egy sorban egymás mellé leteszik azokat az asztalra. Ezután, keresztnevük szerinti névsorban haladva egymás után vesznek el egy-egy cédulát úgy, hogy a soron következő mindig a bal szélső cédu- lát veszi el. a) Mennyi a valószínűsége, hogy az elsőnek húzó Andrásnak a saját neve jut? b) Írja be az alábbi táblázatba az összes olyan sorsolás eredményét, amelyben csak Enikőnek jut a saját neve! A táblázat egyes soraiban az asztalon lévő cédulák megfelelő sorrendjét adja meg! (A megadott táblázat sorainak a száma lehet több, kevesebb vagy ugyanannyi, mint a felsorolandó esetek száma. Ennek megfelelően hagyja üresen a felesleges mezőket, vagy egészítse ki újabb mezőkkel a táblázatot, ha szükséges!) c) Az ajándékok átadása után mind az öten moziba mentek, és a nézőtéren egymás mellett foglaltak helyet. Hány különböző módon kerülhetett erre sor, ha tudjuk, hogy a két fiú nem ült egymás mellett?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 306

a) Szélsőérték szempontjából vizsgálja meg az alábbi függvényeket! Írja a meg- adott függvények betűjeleit a táblázatba a megfelelő helyekre! (Ennél a feladat- résznél válaszát nem kell indokolnia.) 2sin,: + xxf aRR xxg a,: RR { } x xh 3 ,0: aRR xxj a,[ 0[: R+ x xm 2,: aRR . csak maximuma van csak minimuma van minimuma és maximuma is van nincs szélsőértéke b) A k függvény értelmezési tartománya a [ ]4 0 zárt intervallum, és 56)( 2 += xxxk . b1) Ábrázolja a függvényt a megadott koordináta-rendszerben! b2) Adja meg a függvény értékkészletét! (Ezt a válaszát nem kell indokol- nia.) b3) Adja meg a függvény zérushelyét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 321

Az újkori olimpiai játékok megrendezésére 1896 óta kerül sor, ebben az évben tartották az első (nyári) olimpiát Athénban. Azóta minden negyedik évben tartanak nyári olimpi- át, és ezeket sorszámmal látják el. Három nyári olimpiát (az első és a második világhá- ború miatt) nem tartottak meg, de ezek az elmaradt játékok is kaptak sorszámot. a) Melyik évben tartották a 20. nyári olimpiai játékokat? b) Számítsa ki, hogy a 2008-ban Pekingben tartott nyári olimpiának mi volt a sor- száma! A nyári olimpiák szervezőinek egyik fő bevételi forrása a televíziós jogok értékesítésé- ből származó bevétel. Rendelkezésünkre állnak a következő adatok (millió dollárban számolva): Olimpia sorszáma 20. 22. Bevétel a televíziós jogok értékesítéséből 75 192 Eszter úgy véli, hogy a televíziós jogok értékesítéséből származó bevételek - a 20. olimpiától kezdve - az egymás utáni nyári olimpiákon egy számtani sorozat egymást követő tagjait alkotják. Marci szerint ugyanezek a számok egy mértani sorozat egymást követő tagjai. A saját modelljük alapján mindketten kiszámolják, hogy mennyi lehetett a televíziós jogok értékesítéséből származó bevétel a 27. nyári olimpián. Ezután megkere- sik a tényleges adatot, amely egy internetes honlap szerint 1383 (millió dollár). c) Számítsa ki, hogy Eszter vagy Marci becslése tér el kisebb mértékben a 27. nyári olimpia tényleges adatától!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 357

Tekintsük a következő halmazokat: A = {a 100-nál nem nagyobb pozitív egész számok} B = {a 300-nál nem nagyobb 3-mal osztható pozitív egész számok} C = {a 400-nál nem nagyobb 4-gyel osztható pozitív egész számok}. a) Töltse ki a táblázatot a minta alapján, majd a táblázat alapján írja be az 52, 78, 124, 216 számokat a halmazábra megfelelő tartományába! A halmaz B halmaz C halmaz 114 nem eleme eleme nem eleme 52 78 124 216 b) Határozza meg az CBA halmaz elemszámát! c) Számítsa ki annak valószínűségét, hogy az A halmazból egy elemet véletlensze- rűen kiválasztva a kiválasztott szám nem eleme sem a B, sem a C halmaznak!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 358

Az alábbi táblázat András és Bea érettségi érdemjegyeit mutatja. András Bea Cili Magyar nyelv és irodalom 3 4 Matematika 4 5 Történelem 4 4 Angol nyelv 3 5 Földrajz 5 5 a) Számítsa ki András jegyeinek átlagát és szórását! Cili érettségi eredményéről azt tudjuk, hogy jegyeinek átlaga András és Bea jegyeinek átlaga közé esik, továbbá Cili jegyeinek a szórása 0. b) Töltse ki a táblázatot Cili jegyeivel! Dávid is ebből az 5 tárgyból érettségizett, az 5 tárgy az ő bizonyítványában is a fenti sorrendben szerepel. Eredményeiről azt tudjuk, hogy jegyeinek mediánja 4, átlaga pedig 4,4 lett. c) Határozza meg Dávid osztályzatait és azt, hogy hányféleképpen lehetne ezekkel az osztályzatokkal kitölteni az érettségi bizonyítványát! Az ábra a 24 fős osztály érettségi eredményeinek meg- oszlását mutatja matematikából. Tudjuk, hogy jeles osztály- zatot 4 tanuló ért el. d) Az osztály tanulói közül hányan érettségiztek közepes eredménnyel matematikából?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 359

Legyenek f és g a valós számok halmazán értelmezett függvények, továbbá: 25,55)( += xxf és 5,32)( 2 ++= xxxg a) Számítsa ki az alábbi táblázatok hiányzó értékeit! b) Adja meg a g függvény értékkészletét! c) Oldja meg az 5,3225,55 2 ++>+ xxx egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 393

Az egyik világbajnokságon részt vevő magyar női vízilabdacsapat 13 tagjának életkor szerinti megoszlását mutatja az alábbi táblázat. Életkor 17 18 19 21 22 23 24 25 26 31 Gyakoriság 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 a) Számítsa ki a csapat átlagéletkorát! Jelölje A azt az eseményt, hogy a csapatból 7 játékost véletlenszerűen kiválasztva, a kiválasztottak között legfeljebb egy olyan van, aki 20 évnél fiatalabb. b) Számítsa ki az A esemény valószínűségét! A világbajnokság egyik mérkőzésén a magyar kezdőcsapat 6 mezőnyjátékosáról a következőket tudjuk: a legidősebb és a legfiatalabb játékos életkorának különbsége 12 év, a játékosok életkorának egyetlen módusza 22 év, a hat játékos életkorának mediánja 23 év, a hat játékos életkorának átlaga 24 év. c) Adja meg a kezdőcsapat hat mezőnyjátékosának életkorát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 396

Egy élelmiszerbolt vezetője az árufeltöltőt azzal bízta meg, hogy a bejárat melletti alsó polcon lévő 6 rekeszt töltse fel a következő árucikkekkel: rizs, cukor, liszt, só, búzadara és zsemlemorzsa. A vezető figyelmeztette az árufeltöltőt, hogy minden rekeszbe egyféle árut tegyen, továbbá, hogy a búzadara és a zsemlemorzsa ne kerüljön egymás melletti rekeszbe, mert az új csomagolásuk nagyon hasonló, ezért könnyen összekeverhetők. Egyébként a hatféle árut bármilyen sorrendben kirakhatja. a) Hányféle sorrendben rendezhette el az árufeltöltő ezt a hatféle árut? Az üzletvezető úgy kötött szerződést egy sütödével, hogy minden este zárás után meg- mondja, hogy mennyi kenyeret és mennyi péksüteményt kér másnapra. Minden alka- lommal háromféle kenyeret (1 kg-os fehér kenyér, ½ kg-os fehér kenyér, rozskenyér) és kétféle péksüteményt (zsemle és kifli) rendelt. A 32. héten öt munkanapon keresztül (hétfőtől péntekig) feljegyezte, hogy a megrendelt pékáruból mennyi fogyott el, és mennyi maradt meg, amit vissza kellett küldenie. Az alábbi táblázatban az egyes napokról készült kimutatás látható: Pékáru darabszáma 1. nap 2. nap 3. nap 4. nap 5. nap eladott vissza- küldött eladott vissza- küldött eladott vissza- küldött eladott vissza- küldött eladott vissza- küldött 1 kg-os fehér kenyér 32 6 28 4 30 4 29 5 36 2 1/2 kg-os fehér kenyér 19 1 20 4 18 2 20 5 18 2 rozskenyér 7 3 6 1 6 2 6 0 8 1 zsemle 56 4 58 2 58 6 54 6 68 2 kifli 68 2 75 0 74 6 68 3 82 3 c) Az 5 napból véletlenszerűen megjelölünk 2 napot. Mekkora annak a valószínű- sége, hogy két olyan napot jelölünk meg, amikor mindkét napon legalább 130 péksüteményt adtak el? Az egyes pékárukból a következő, 33. hét minden napján ugyanannyit rendelt a keres- kedő, mégpedig mindhárom fajta kenyérből a 32. héten naponta eladott mennyiségeik- nek egészre kerekített átlagát, zsemléből és kifliből pedig a 32. héten eladott mennyi- ségek móduszát. d) Mennyit rendelt ekkor naponta az egyes pékárukból?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 432

Egy végzős osztály diákjai projektmunka keretében különböző statisztikai felméréseket készítettek az iskola tanulóinak körében. a) Éva 150 diákot kérdezett meg otthonuk felszereltségéről. Felméréséből kiderült, hogy a megkérdezettek közül kétszer annyian rendelkeznek mikrohullámú sütővel, mint mosogatógéppel. Azt is megtudta, hogy 63-an mindkét géppel, 9-en egyik géppel sem rendelkeznek. A megkérdezettek hány százalékának nincs otthon mikrohullámú sütője? b) Jóska a saját felmérésében 200 diákot kérde- zett meg arról, hogy hány számítógépük van a háztartásban. A válaszokat a következő táblá- zatban összesítette: Jóska felmérése alapján töltse ki az alábbi táblázatot az egy háztartásban található számítógépek számáról! A számítógépek számának átlaga A számítógépek számának mediánja A számítógépek számának módusza c) Tamás a saját felmérése alapján a következőt állítja: Minden háztartásban van televízió. Az alábbi négy állítás közül válassza ki azt a kettőt, amely Tamás állításának tagadása! A) Semelyik háztartásban nincs televízió. B) Van olyan háztartás, ahol van televízió. C) Van olyan háztartás, ahol nincs televízió. D) Nem minden háztartásban van televízió. A számítógépek szá- ma a háztartásban Gyakoriság 0 3 1 94 2 89 3 14 Tamás állításának tagadását jelen- tő állítások betűjele:

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 447

Kóstolóval egybekötött termékbemutatót tartottak egy új kávékeverék piaci megjelené- sét megelőzően. Két csoport véleményét kérték úgy, hogy a terméket az 1-től 10-ig ter- jedő skálán mindenkinek egy-egy egész számmal kellett értékelnie. Mindkét csoport lét- száma 20 fő volt. A csoportok értékelése az alábbi táblázatban látható. pontszám 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 gyakoriság az 1. csoportban 0 0 1 0 6 8 2 2 1 0 gyakoriság a 2. csoportban 0 8 0 2 0 1 0 0 0 9 a) Ábrázolja közös oszlopdiagramon, különböző jelölésű oszlopokkal a két csoport pontszámait! A diagramok alapján fogalmazzon meg véleményt arra vonatkozóan, hogy melyik csoportban volt nagyobb a pontszámok szórása! Véleményét a diag- ramok alapján indokolja is! b) Hasonlítsa össze a két csoport pontszámainak szórását számítások segítségével is! Kétféle kávéból 14 kg 4600 Ft/kg egységárú kávékeveréket állítanak elő. Az olcsóbb kávéfajta egységára 4500 Ft/kg, a drágábbé pedig 5000 Ft/kg. c) Hány kilogramm szükséges az egyik, illetve a másik fajta kávéból?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 467

A Matematika Határok Nélkül versenyre a középiskolák 9. osztályai jelentkezhetnek. A versenyen résztvevő minden osztály ugyanabban az időben, ugyanazt a feladatsort oldja meg. Az alábbi táblázat 28 osztálynak a versenyen elért eredményét tartalmazza. Elért pontszám: 83 76 69 67 65 61 60 58 56 55 Gyakoriság: 2 4 2 2 4 3 2 4 4 1 a) Számítsa ki, hogy eltér-e egymástól legalább 1 ponttal a pontszámok átlaga és mediánja! Kiváló minősítést érdemelnek, akik 70 vagy annál több pontot értek el a versenyen, Nagyon jó-t, akik 60 vagy annál több, de 70-nél kevesebb pontot, és Jó minősítést kapnak, akik 50 vagy annál több, de 60-nál kevesebb pontot szereztek. b) A megadott táblázat adatainak felhasználásával ábrázolja a három minősítés gyakoriságát oszlopdiagramon! A versenyszervezők a táblázatban felsorolt 28 osztály dolgozatai közül a hat legjobban sikerült dolgozat javítását ellenőrzik. Ezt a hat dolgozatot véletlenszerű sorrendben egymásra helyezik. c) Mekkora a valószínűsége annak, hogy legfelül 83 pontos, közvetlenül alatta pedig 76 pontos dolgozat fekszik?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 482

Egy család személyautóval Budapestről Keszthelyre utazott. Útközben lakott területen belül, országúton és autópályán is haladtak. Az utazással és az autóval kapcsolatos ada- tokat a következő táblázat tartalmazza: megtett út hossza (km) átlagsebesség (km/h) átlagos benzinfogyasztás 100 km-en (liter) lakott területen belül 45 40 8,3 országúton 35 70 5,1 autópályán 105 120 5,9 a) Mennyi ideig tartott az utazás? b) Hány liter ezen az utazáson az autó 100 km-re eső átlagfogyasztása? Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! Útközben elfogyott az autóból a benzin. A legközelebbi benzinkútnál kétféle benzines- kannát lehet kapni. A nagyobbra rá van írva, hogy 20 literes, a kisebbre nincs ráírva semmi. A két kanna (matematikai értelemben) hasonló, a nagyobb kanna magassága éppen kétszerese a kisebb kanna magasságának. c) Hány literes a kisebb kanna?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 500

A népszámlálások során felmérik a Magyarországon élő családok számát és jellemzőit. Mindegyik népszámlálásnál minden egyes családról feljegyzik, hogy mennyi a család- ban az eltartott gyermekek száma, majd az így kapott adatokat összesítik. Az 1990-es és a 2011-es adatok összesítésének eredményét az alábbi táblázat mutatja. (Például 2011-ben az összes család 5%-ában volt 3 az eltartott gyermekek száma.) A családok megoszlása Az eltartott gyermekek száma 1990 2011 0 48% 52% 1 26% 25% 2 21% 16% 3 4% 5% 4 vagy több 1% 2% Azt tudjuk még, hogy a családok száma 1990-ben 2 896 ezer, 2011-ben 2 713 ezer volt. a) Számítsa ki, hogy 1990-ről 2011-re hány százalékkal változott azoknak a csalá- doknak a száma, amelyekben nem volt eltartott gyermek! b) Számítsa ki, hogy átlagosan hány eltartott gyermek jutott egy családra 2011-ben! (A 4 vagy több eltartott gyermeket nevelő családokban a gyermekek számát te- kintse 4-nek.) A népszámlálások során a háztartások számát is felmérték. A háztartások száma 1990-ről 2001-re 0,7%-kal csökkent, majd 2001-ről 2011-re 6,3%-kal nőtt, és így 2011-ben 4 106 ezer lett. c) Mennyi volt a háztartások száma ezerre kerekítve 1990-ben? Az egyszemélyes háztartások száma 1990-ben 946 ezer volt, majd 2011-re ez a szám 1 317 ezerre nőtt. Szeretnénk ezeket az adatokat egy plakáton két olyan körlappal ábrázolni, amelyek területe az adatok nagyságával egyenesen arányos. Az 1990-es év adatát egy 4,5 cm suga- rú körlappal jelenítjük meg. d) Mekkora legyen a 2011-es adatot ábrázoló körlap sugara?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 538

A kereskedelemmel foglalkozó cégek között több olyan is van, amely állandóan emelke- dő fizetéssel jutalmazza a dolgozók munkavégzését. Péter munkát keres, és két cég aján- lata közül választhat: I. ajánlat: Az induló havi fizetés 200 000 Ft, amit havonta 5000 Ft-tal emelnek négy éven át. II. ajánlat: Az induló havi fizetés 200 000 Ft, amit havonta 2%-kal emelnek négy éven át. a) Melyik ajánlatot válassza Péter, ha tervei szerint négy évig a választott munkahe- lyen akar dolgozni, és azt az ajánlatot szeretné választani, amelyik a négy év alatt nagyobb összjövedelmet kínál? A Péter szerződésében szereplő napi 8 óra munkaidő rugalmas, azaz lehetnek olyan na- pok, amikor 8 óránál többet, és olyanok is, amikor kevesebbet dolgozik. 6 óránál keve- sebbet, illetve 10 óránál többet sosem dolgozik egy nap. Az alábbi táblázatban Péter ja- nuári munkaidő-kimutatásának néhány adata látható. Napi munkaidő (óra) 6 7 8 9 10 Hány munkanapon dolgozott ennyi órát? 4 5 3 b) Számítsa ki a táblázatból hiányzó két adatot, ha tudjuk, hogy január hónap 22 mun- kanapján Péter átlagosan naponta 8 órát dolgozott!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 573

Ismert, hogy négyféle vércsoport van: 0 (nullás), A, B és AB, továbbá azt is tudjuk, hogy egy adott vércsoporton belül kétféle lehet az Rh-faktor: pozitív vagy negatív. Egy vérellátó központ legutóbbi akciójában 400 véradó vett részt. Mindegyik véradótól egy egység vért vettek le. Az így összegyűjtött 400 egység vérről az alábbi táblázatot készítették: Vércsoport 0 A B AB Rh-pozitív 100 148 51 26 Rh-negatív 25 31 13 6 a) A táblázat alapján számítsa ki az egyes vércsoportok relatív gyakoriságát a 400 elemű mintában, és írja az eredmények két tizedesjegyre kerekített értékét az alábbi táblázat megfelelő mezőibe! Vércsoport 0 A B AB Relatív gyakoriság b) A nullás vércsoportú véradók közül kettőt véletlenszerűen kiválasztva mekkora annak a valószínűsége, hogy egyikük Rh-pozitív, a másikuk Rh-negatív lesz? Válaszát két tizedesjegyre kerekítve adja meg! c) Egy alkalmazott a 400 véradóról kimutatást készített, és ezt az itt látható kördiagramon szemléltette. Mielőtt a diagramot nyilvánosságra hoznák, ellenőrizni kell a rajta szereplő adatokat. Ellenőrizze a kördiagramon szereplő adatokat, és utána töltse ki az alábbi táblázatot! (A táblázat sötétített mezőit már ellenőriztük, azokba ne írjon!) Helyes-e a diagramon megadott érték? (igen-nem) Ha a diagramon megadott érték nem helyes, akkor a helyes érték ennyi Az Rh-pozitív vércsoportúak százalékos aránya Az Rh-negatív vércsoportúak százalékos aránya igen - Az Rh-pozitív vércsoportúakat szemléltető körcikk középponti szöge Az Rh-negatív vércsoportúakat szemléltető körcikk középponti szöge

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 590

A Központi Statisztikai Hivatal 2012-ben kiadta a 2011-es népszámlálás néhány előze- tes adatát. a) Az alábbi táblázatban a nyugat-dunántúli régiót alkotó három megye népességé- nek változása látható. Számítsa ki, hogy a teljes nyugat-dunántúli régióban hány százalékkal változott a népesség 2001 és 2011 között! Válaszában a változást tized százalékra kerekítve adja meg! Népesség 2011-ben (ezer fő) Változás a 2001-es adathoz viszonyítva (%) Győr-Moson-Sopron megye 449 2,4 Vas megye 258 -3,8 Zala megye 283 -4,7 b) Egy másik táblázat a közép-magyarországi régiót alkotó Budapest és Pest megye népességéről készült. Számítsa ki az ezer férfira jutó nők számát a teljes közép- magyarországi régiót tekintve! Népesség 2011-ben (ezer fő) Ezer férfira jutó nők száma 2011-ben Budapest főváros 1737 1210 Pest megye 1223 1084

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 594

A 2016-os nyári olimpián a magyar sportolók 8 arany, 3 ezüst és 4 bronzérmet szereztek. a) Készítsen kördiagramot, amely az érmek el- oszlását szemlélteti! Egy 32 fős osztályban kétszer annyian nézték 2016 nyarán a női kajak négyesek olimpiai döntőjét, mint a labdarúgó Európa-bajnokság döntőjét. 10 diák mindkét sportesemény közvetítését nézte. b) Hányan nézték az osztályból csak a női kajak négyesek olimpiai döntőjét, ha min- denki nézte legalább az egyik sporteseményt? Egy iskolai vetélkedőn az alábbi szelvényen kell eltalálni a 2016-os nyári olimpia női kajak négyes számában az első hat helyezett nemzet sorrendjét. Péter azt tudja, hogy holt- verseny nem volt, a magyarok lettek az elsők, a többi helyezettre viszont egyáltalán nem emlékszik. TIPPSZELVÉNY Dánia Fehérorosz- ország Magyar- ország Német- ország Új-Zéland Ukrajna Helyezés 1. Péter az üres mezőkbe beírja a tippjét: valamilyen sorrendben a 2, 3, 4, 5, 6 számokat. c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy Péter - a magyarokon kívül - még legalább három nemzet helyezését eltalálja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2600

Az alábbi kördiagram egy balatoni strandon a júliusban megvásárolt belépőjegyek típu- sának eloszlását mutatja. Júliusban összesen 16 416 fő vásárolt belépőjegyet. A belépőjegyek árát az alábbi táblázat tartalmazza. gyerek, diák 350 Ft/fő felnőtt 700 Ft/fő nyugdíjas 400 Ft/fő a) Mennyi volt a strand bevétele a júliusban eladott belépőkből? A tapasztalatok szerint júliusban folyamatosan nő a strandolók száma. Ezért a strandbü- fében bevált rendszer, hogy a július 1-jei megrendelést követően július 2-től kezdve július 31-ig minden nap ugyanannyi literrel növelik a nagykereskedésből megrendelt üdítő mennyiségét. A könyvelésből kiderült, hogy július 1-jén, 2-án és 3-án összesen 165 litert, július 15-én pedig 198 litert rendeltek. b) Hány liter üdítőt rendeltek júliusban összesen?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4255