Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 5162

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 5164

Az alábbi táblázat egy ország munkaképes lakosságának foglalkoztatottság szerinti megoszlását mutatja. Az adatok ezer főre kerekítettek. Ágazatok 2003. év (ezer fő) 2004. év (ezer fő) Mezőgazdaságban dolgozó 1020 Iparban dolgozó 1870 1926Foglalkoztatottak Szolgáltatásban dolgozó 5015 Munkanélküli 595 Munkaképes lakosság összesen 8500 2004-ben az ország munkaképes lakosságának száma 3 ezrelékkel nőtt 2003-hoz képest, a munkanélküliek aránya a munkaképes lakosságban változatlan maradt, a szolgáltatásban dolgozók száma a 2003-ban ott dolgozók számának 2%-ával megnőtt. a) Számítsa ki a táblázat hiányzó adatait (ezer főre kerekítve)! b) Ábrázolja kördiagramon a foglalkoztatottak ágazatok szerinti megoszlását 2003-ban! c) Hány százalékkal változott a mezőgazdaságban dolgozók száma 2004-re a 2003-as állapothoz képest? Nőtt vagy csökkent?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1122

A következő táblázat egy 30 fős kilencedik osztály első félév végi matematikaosztályzatainak megoszlását mutatja. Érdemjegy 5 4 3 2 1 Tanulók száma 4 7 9 8 2 a) Ábrázolja az érdemjegyek eloszlását oszlopdiagramon! b) Mennyi a jegyek átlaga? c) Véletlenszerűen kiválasztjuk az osztály egy tanulóját. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a tanuló legalább 3-ast kapott félév végén matematikából? d) Két tanulót véletlenszerűen kiválasztva mennyi a valószínűsége annak, hogy érdemjegyeik összege osztható 3-mal?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1135

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 5194

A világhírű GAMMA együttes magyarországi koncertkörútja során öt vidéki városban lépett fel. Az alábbi táblázat tartalmazza a körút néhány üzleti adatát. város fizető nézők száma egy jegy ára (Ft) bevétel a jegyeladásból (ezer Ft) Debrecen 12350 14820 Győr 8760 12264 Kecskemét 1600 22272 Miskolc 9970 1500 Pécs 1300 15405 a) A koncertturné során melyik városban adták el a legtöbb jegyet? b) Mennyi volt az összes eladott jegy átlagos ára? Bea elment Budapesten a GAMMA együttes koncertjére, és becslése szerint ott 50 000 ember hallgatta a zenét. Peti Prágában volt ott az együttes koncertjén, ahol a nézők számát 60 000 főre becsülte. A GAMMA együttes menedzsere, aki ismerte a tényleges nézőszámokat, elárulta, hogy: Budapesten a tényleges nézőszám nem tér el 10 %-nál többel a Bea által adott becsléstől. Peti becslése nem tér el 10 %-nál többel a tényleges prágai nézőszámtól. c) Mekkora a budapesti nézőszám és a prágai nézőszám közötti eltérés lehetséges legnagyobb értéke, a kerekítés szabályainak megfelelően ezer főre kerekítve? d) A fenti adatok ismeretében előfordulhatott-e, hogy Budapesten és Prágában ugyanannyi ember volt a GAMMA együttes koncertjén?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1151

A Szegedről Budapestre közlekedő vonat hétfőn Cegléd és Budapest között pályaépítési munkálatok miatt harmadára volt kénytelen csökkenteni az addigi átlagsebességét. Hét- végén a Ceglédtől számított 19 km-es szakaszon újra a régi átlagsebességével mehetett, viszont utána Budapestig megint harmad akkora lehetett csak a vonat átlagsebessége. Így hétfőn 30 perccel többet késett, mint a hétvégén. a) Mekkora a vonat eredeti átlagsebessége km/h-ban? A MÁV költségvetésének összeállításához gyakran készít statisztikát arról, hogy az egyes vonalakon utazó utasok között hogyan oszlanak meg a kedvezmények, a menetjegy árak. Az egyik Budapestről Szegedre közlekedő vonaton, ahol csak II. osztályú kocsik voltak, összesen 400 utas utazott Budapesttől Szegedig (tehát az induló állomástól a vég- állomásig). Erre a távolságra nézve a teljes árú II. osztályú menetjegy közelítőleg 2 000 Ft. (Az egyszerűség kedvéért ezzel az árral számolunk.) A jegyellenőrök minden utas esetében feljegyezték, hogy milyen jeggyel, milyen kedvezménnyel utazott. Az adatokat a következő táblázat foglalja össze. (x %-os mérséklésű a menetjegy, ha a teljes ár x %-kal csökkentett értékét kell fizetni érte.) Menetjegy jellege Teljes árú 20%-os mérséklésű 33%-os mérséklésű 50%-os mérséklésű 67,5%-os mérséklésű 75%-os mérséklésű 90%-os mérséklésű 95%-os mérséklésű Ingyenes Utasok száma 84 18 44 110 11 35 31 29 38 Tényleges jegyár (Ft) b) Töltse ki a táblázatot, és határozza meg, hogy az átlagos jegyár hány százalékos mérséklésű jegyárnak felel meg!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1166

Egy önkormányzatnál 220 dolgozó bruttó bére augusztus hónapban az alábbi táblázat szerint alakult: bér (ezer forintban) 68 108 154 184 225 dolgozók száma 25 65 70 44 16 a) Ábrázolja a 220 dolgozó bérének eloszlását oszlopdiagramon! b) Mennyi az augusztusi bruttó bérek átlaga és szórása? c) Mennyi az augusztusi nettó bérek átlaga? (A bruttó bér a nettó bér 165 %-a.) d) Szeptemberben minden dolgozó bruttó bére 2500 Ft-tal nő. Hogyan változik a bruttó bérek szórása?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1211

Egy utazási iroda az országos hálózatának 55 értékesítő helyén kétféle utat szervez Párizsba. Az egyiket autóbusszal (A), a másikat repülővel (R). Egy adott turnusra nézve összesítették az egyes irodákban eladott utak számát. Az alábbi táblázatból az összesített adatok olvashatók ki. Pl. az (1 2) koordinátájú 5-ös szám azt jelöli, hogy 5 olyan fiókiroda volt, amelyik az adott turnusra 1 db autóbuszos és 2 db repülős utat adott el. A típusú eladott utak száma 0 1 2 3 4 0 1 1 0 1 2 1 1 2 2 3 1 2 1 5 2 4 3 3 0 3 1 9 2 R típusú eladott utak száma 4 1 3 3 2 2 a) Összesen hány autóbuszos és hány repülős utat adtak el a vizsgált turnusra az 55 fiókban? b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy 55 fiókiroda közül véletlenszerűen választva egyet, ebben az irodában 5-nél több párizsi utat adtak el?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1222

Egy 26 fős osztályban felmérték, hogy hetente átlagosan ki hány órát tölt otthoni tanulással. A felmérés eredményét a következő táblázat tartalmazza: A tanulással töltött órák száma 3 4 5 6 7 8 9 10 A diákok száma 6 3 1 2 0 5 5 4 a) Számolja ki, hogy az osztályban egy diák hetente átlagosan hány órát tölt otthoni tanulással! Határozza meg az osztályban az otthoni tanulással töltött órák számának további középértékeit (móduszát, illetve mediánját) is! b) Készítsen oszlopdiagramot a táblázat adataiból!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1265

gy könyvkiadó minden negyedévben összesíti, hogy három üzletében melyik szépirodalmi kiadványából fogyott a legtöbb. A legutóbbi összesítéskor mindhárom üzletben ugyanaz a három szerző volt a legnépszerűbb: Arany János, Márai Sándor és József Attila. Az alábbi kördiagramok szemléltetik, hogy az üzletekben milyen arányban adták el ezeknek a szerzőknek a műveit. A kördiagramok az első üzletből 408, a másodikból 432, a harmadikból 216 eladott könyv eloszlásait szemléltetik. a) A kördiagramok adatai alapján töltse ki az alábbi táblázatot! Melyik szerző műveiből adták el a vizsgált időszakban a legtöbb könyvet? 1. üzlet 2. üzlet 3. üzlet Összesített forgalom Arany János Márai Sándor József Attila Összesen 408 432 216 b) Készítsen olyan oszlopdiagramot a táblázat alapján, amely a vizsgált időszakban a szerzők szerinti összesített forgalmat szemlélteti! A könyvkiadó a három üzletében minden eladott könyvhöz ad egy sorsjegyet. Ezek a sorsjegyek egy közös sorsoláson vesznek részt negyedévenként. A vizsgált időszakban azok a sorsjegyek vesznek részt a sorsoláson, amelyeket a fenti három szerző műveinek vásárlói kaptak. Két darab 50 ezer forintos könyvutalványt sorsolnak ki köztük. c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a vizsgált időszak sorsolásán mind a két nyertes sorsjegyet Márai Sándor egy-egy könyvéhez adták, és mindkét könyvet a 2. üzletben vásárolták? Válaszát három tizedesjegy pontossággal adja meg!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1283

Egy 90 m² területű, trapéz alakú virágágyás párhuzamos oldalainak aránya 2:3: =DCAB . Az ágyást tavasszal és ősszel is az évszaknak megfelelő virágokkal ültetik be. Mindkét alkalommal mindegyik fajta virágból átlagosan 50 virágtövet ültetnek négyzetméterenként. Tavasszal az átlókkal kijelölt négy háromszögre bontották a virágágyást. Az ABM háromszögbe sárga virágokat, a DMC háromszögbe fehéret, a maradék két részbe piros virágokat ültettek. a) A tavaszi parkosításkor hány darab fehér, hány piros és hány sárga virágot ültettek be? Ősszel a másik ábra alapján tervezték meg a virágok elhelyezését. (Az E, F, G és H pontok a trapéz oldalainak felezőpontjai.) Ekkor is fehér (f), piros (p) és sárga (s) virágokat ültettek a tervrajz alapján. b) Az őszi parkosításkor hány darab fehér, hány piros és hány sárga virágot ültettek? Válaszait az alábbi táblázatban tüntesse fel! fehér piros sárga tavasszal ősszel

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1288

Egy felmérés során megkérdeztek 640 családot a családban élő gyermekek számáról, illetve azok neméről. A felmérés eredményét az alábbi táblázat mutatja: fiúk száma 0 1 2 3 4 5 lányok száma 0 160 103 61 8 5 0 1 121 58 11 4 1 1 2 54 15 3 2 2 2 3 9 3 1 1 0 1 4 6 3 1 1 1 0 5 1 0 1 0 0 0 (Tehát pl. a gyermektelen családoknak a száma 160, és 15 olyan család volt a megkér- dezettek között, amelyben 1 fiú és 2 lány van.) a) Hány fiúgyermek van összesen a megkérdezett családokban? b) A felmérésben szereplő legalább kétgyermekes családokban mennyi a leggya- koribb leányszám? c) A családsegítő szolgálat a megkérdezett családok közül a legalább négy gyerme- ket nevelőket külön támogatja. Az alábbi táblázat kitöltésével készítsen gyakori- sági táblázatot a külön támogatásban részesülő családokban lévő gyermekek számáról! gyermekszám egy családban 4 5 6 7 8 9 10 gyakoriság Hány családot és összesen hány gyermeket támogat a családsegítő szolgálat?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1313

Az ENSZ 1996-ban megjelent táblázatának egy részlete a nyolc legnagyobb népesség- számú ország népességi adatait tartalmazza 1988-ban, és egy népesedésdinamikai modell előrejelzése alapján 2050-ben. 1988 2050 (előrejelzés) Sorrend Ország Népességszám (millió fő) Ország Népességszám (millió fő) 1 Kína 1255 India 1533 2 India 976 Kína 1517 3 Egyesült Államok 274 Pakisztán 357 4 Indonézia 207 Egyesült Államok 348 5 Brazília 165 Nigéria 339 6 Oroszország 148 Indonézia 318 7 Pakisztán 147 Brazília 243 8 Japán 126 Banglades 218 (World Population Prospects: The 1996 Revision) Feltételezzük, hogy Pakisztán lakossága 1988 és 2050 között minden évben ugyanannyi százalékkal nő, mint amennyi százalékkal az előző évben növekedett. a) Ezzel a feltételezéssel élve - millió főre kerekítve - hány lakosa lesz Pakisztán- nak 2020-ban? (Az évi százalékos növekedés két tizedesjegyre kerekített értéké- vel számoljon!) b) A táblázat mindkét oszlopában szereplő országok népességi adataira vonatko- zóan mennyivel változik az átlagos lakosságszám és a medián 1988 és 2050 kö- zött? (Válaszát millió főben, két tizedesjegyre kerekítve adja meg.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1356

Egy 32 fős érettségiző osztály tanulói három különböző táncot mutatnak be a szalag- avató bálon. Az alábbi táblázat az egyes táncokban fellépő diákok számát mutatja nemenkénti bontásban. Keringő Kán-kán Hip-hop Egyik sem Lány 9 6 10 2 Fiú 9 0 4 2 Van 2 olyan lány, aki mindhárom táncban fellép, ugyanakkor nincs olyan fiú az osztály- ban, aki egynél több produkcióban részt venne. a) A lányok közül kettőt véletlenszerűen kiválasztva, mennyi annak a valószínű- sége, hogy mindketten táncolnak a kán-kánban? b) Az osztály tanulói közül egyet véletlenszerűen kiválasztva, mennyi a valószínű- sége annak, hogy az illető pontosan két táncban szerepel?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1357

Egy új típusú sorsjegyből 5 millió darab készült, egy sorsjegy ára 200 Ft. Minden egyes sorsjegyen vagy a Nyert vagy a Nem nyert felirat található, és a nyertes sorsjegyen feltüntetik a nyertes szelvény tu- lajdonosa által felvehető összeget is. A gyártás során a mellékelt táblázat szerinti eloszlásban készült el az 5 millió sorsjegy. a) Ha minden sorsjegyet eladnának és a nyertesek minden nyereményt felvenné- nek, akkor mekkora lenne a sorsjegyek eladásából származó bevétel és a kifizetett nyeremény különbözete? b) Aki a kibocsátás után az első sorsjegyet megveszi, mekkora valószínűséggel nyer a sorsjegy áránál többet? c) Számítsa ki, hogy ebben a szerencsejátékban az első sorsjegyet megvásárló személy nyereségének mennyi a várható értéke! (A nyereség várható értékének kiszámításához nemcsak a megnyerhető összeget, hanem a sorsjegy árát is figyelembe kell venni.) sorsjegy (db) nyeremény (Ft) 4 10 000 000 40 50 000 800 10 000 150 000 1 000 400 000 500 1 000 000 200 3 449 156 0

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1400

Egy mobiltelefon-szolgáltató társaság több évi statisztikája azt mutatja, hogy a szabá- lyosan elküldött SMS-ek (szöveges telefonüzenetek) közül átlagosan minden hatvanadik nem jut el a címzettjéhez. A következőkben ezen szolgáltató által továbbított SMS-ekről lesz szó. a) Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, illetve melyik hamis! Tegyen a megfelelő mezőbe egy ×-et! ( A válaszokhoz indoklás nem kell.) Állítás IGAZ HAMIS 1. Ha egy hónap alatt 45 SMS-t küldünk, akkor biztos, hogy mindegyik megérkezik a címzettjéhez. 2. Ha minden SMS-t kétszer küldünk el, akkor legalább az egyik üzenet biztosan megérkezik mindegyik párból. 3. Lehetséges, hogy a tegnap elküldött 5 SMS-ből csak egy jutott el a címzetthez. 4. Ha tíz nap alatt 120 SMS-t küldünk, akkor lehet, hogy mindegyik megérkezik a címzettjéhez. 5. Ha két nap alatt 180 SMS-t küldtünk, akkor közülük három biztosan nem érkezett meg. A továbbiakban feltételezzük, hogy a sikeresen elküldött SMS-ek száma binomiális eloszlást követ. b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy három elküldött SMS-ből pontosan egy nem érkezik meg? Ha számításaihoz kerekített értékeket használ, akkor 4 tizedes jegyre kerekített alakjukkal számoljon! c) Legalább hány SMS elküldése esetén mondhatjuk, hogy legalább 98% a valószínűsége annak, hogy közülük legalább egy nem érkezett meg? Ha számításaihoz kerekített értékeket használ, akkor 4 tizedes jegyre kerekített alakjukkal számoljon!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1436

Egy cég a függőleges irány kijelölésére al- kalmas, az építkezéseknél is gyakran hasz- nált függőónt gyárt, amelynek nehezéke egy acélból készült test. Ez a test egy 2 cm oldalhosszúságú szabályos ötszög egyik szimmetriatengelye körüli forgatásával szár- maztatható (lásd az ábrán). a) Hány cm3 a nehezék térfogata? Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! A minőségellenőrzés 120 darab ter- méket vizsgált meg. Feljegyezték az egyes darabok egész grammokra ke- rekített tömegét is. Hatféle tömeg fordult elő, ezek relatív gyakoriságát mutatja az oszlopdiagram. b) Készítsen gyakorisági táblázatot a 120 adatról, és számítsa ki ezek átlagát és szórását!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1462

A tavaszi idény utolsó bajnoki mérkőzésén a Magas Fiúk Kosárlabda Klubjának (MAFKK) teljes csapatából heten léptek pályára. A mérkőzés után az edző elkészítette a hét játékos egyéni statisztikáját. Az alábbi táblázat mutatja a játékosok dobási kísérlete- inek számát és az egyes játékosok dobószázalékát egészre kerekítve. (A dobószázalék megmutatja, hogy a dobási kísérleteknek hány százaléka volt sikeres.) Játékos mezszáma Dobási kísérletek száma Dobószázalék 4 2 50 5 3 0 6 10 60 7 8 25 10 7 43 13 6 33 15 14 57 a) Számítsa ki, hogy mennyi volt a csapat dobószázaléka ezen a mérkőzésen! Az őszi idény kezdete előtt egy hónappal a MAFKK csapatához csatlakozott egy 195 cm magas játékos, így a csapattagok magasságának átlaga a korábbi átlagnál 0,5 cm-rel nagyobb lett. Pár nap múlva egy 202 cm magas játékos is a csapat tagja lett, emiatt a csapattagok magasságának átlaga újabb 1 cm-rel nőtt. b) Hány tagja volt a MAFKK-nak, és mekkora volt a játékosok magasságának átlaga a két új játékos csatlakozása előtt?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1494

Éva egy 7×7-es táblázat bal felső mezőjétől kezdve, balról jobbra haladva, sorról sorra beírta egy számtani sorozat első 49 tagját úgy, hogy a tagok sorrendjét nem változtatta meg. (A sorozat 1. tagja a bal felső sarokba került, a 8. tag a második sor első mezőjébe, a 49. tag pedig a jobb alsó sarokban áll.) a) Mennyi a táblázatba írt 49 szám összege, ha Éva a harmadik sor harmadik mezőjébe a 91-et, az ötö- dik sor ötödik mezőjébe pedig a 11-et írta? Péter a táblázat minden sorából kiválasztja a számtani sorozat egy-egy tagját úgy, hogy a hét kiválasztott szám közül semelyik kettő ne legyen egy oszlopban. b) Igazolja, hogy akárhogyan is választja ki Péter így a számokat, a hét szám összege minden esetben ugyanannyi lesz! c) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a 91 és a 11 is a Péter által kiválasz- tott számok között lesz!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1498

Egy városi piacon a piros almát 5 kg-os csomagolásban árulják. A csomagokon olvasha- tó felirat szerint egy-egy csomag tömege 5 kg ± 10 dkg. (Az almák nagy mérete miatt az 5 kg pontosan nem mérhető ki.) A minőség-ellenőrzés során véletlenszerűen kivá- lasztanak nyolc csomagot, és ezek tömegét méréssel ellenőrzik. Csak akkor engedélye- zik az almák árusítását, ha egyik csomag tömege sem kevesebb 4 kg 90 dkg-nál, és a nyolc mérési adat 5 kg-tól mért átlagos abszolút eltérése nem haladja meg a 10 dkg-ot. A mérések eredménye a következő: mérés sorszáma 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. mért tömeg (dkg) 506 491 493 512 508 517 493 512 a) A mérési eredmények alapján engedélyezik-e az almák árusítását? b) Határozza meg a nyolc mérési eredmény átlagát és szórását! A piac egyik eladójához friss eper érkezett. Az eladó eredetileg azt tervezte, hogy az I. osztályú epret 800 Ft/kg, a II. osztályút 650 Ft/kg, a III. osztályút pedig 450 Ft/kg egységáron értékesíti. A piacon azonban túlkínálat volt eperből, ezért úgy döntött, hogy az összes epret egy kupacba önti össze, és akciós egységáron árulja. Az akciós eladási egységár kialakításakor úgy számolt, hogy ha az összes epret ezen az egységáron adja el, akkor a bevétele (körülbelül) 15%-kal lesz csak kevesebb, mint azt eredetileg tervezte. c) Mennyi legyen az akciós egységár, ha az összeöntött eper 35%-a I. osztályú, 8 3 része II. osztályú, a többi 33 kg pedig III. osztályú volt eredetileg? Válaszát egész értékre kerekítve adja meg!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1550

Egy kisváros vasútállomásáról munkanapokon 16 vonat in- dul, ezek indulási időpontjáról kimutatást vezetnek. A mel- lékelt táblázat ezt mutatja egy adott munkanap esetében. A vasútvállalat pontosságra vonatkozó előírása szerint mun- kanapokon a vonatok legalább egyharmadának pontosan kell indulnia az állomásról, továbbá a késéseknek sem az átlaga, sem a mediánja nem haladhatja meg a 3 percet. a) Legfeljebb hány perc késéssel indulhat a választott munkanapon az utolsó két vonat, hogy mindegyik elő- írás teljesüljön? (A késéseket egész percekben mérik, a pontos indulást 0 perces késésnek számítják, a vonatok a menetrendben előírt indulási időpontjuknál korábban nem indulhat- nak el.) Egy külföldi utazás teljes árú vasúti menetjegye tavaly 209 euróba került. A menetjegy árát fél évvel ezelőtt p euróval felemelték, majd a múlt héten p százalékkal csökkentették (p > 0). Így a menetjegy ára 189 euró lett. b) Határozza meg p értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2605

Egy baráti társaság 8 tagjának tömegét mutatja az alábbi táblázat. név Albert Bori Csaba Dénes Elek Frigyes Gabi Helga tömeg (kg) 82 74 90 88 85 85 63 71 a) Adja meg a 8 adat mediánját, átlagát és szórását! Ez a 8 ember lifttel szeretne feljutni egy épület legfelső emeletére, ahol a baráti társaság rendezvényét tartják. A kisméretű lift ajtaján ez a felirat áll: Max. 3 személy vagy 230 kg (vagyis a liftben nem utazhat 3-nál több személy, továbbá a liftben utazók tömegének összege nem lehet több 230 kg-nál). b) Igazolja, hogy a lift három fordulója már elegendő ahhoz, hogy (az előírás betartá- sával) mind a 8 ember lifttel mehessen fel a rendezvény helyszínére! A lift felújításakor a liftben együtt utazók megengedett össztömegét 300 kg-ra növelik, de a személyek számára vonatkozó korlátozás megmarad (legfeljebb 3 fő utazhat együtt). c) Az új előírás figyelembevételével hányféleképpen mehetne fel a baráti társaság 8 tagja a lifttel, ha minden fordulóban legalább két személy utazna együtt? (Két fel- jutást különbözőnek tekintünk, ha legalább egy csoport összetétele nem azonos a két feljutásban, vagy a csoportok más sorrendben jutottak fel a legfelső emeletre.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4320

Negyven egyetemi hallgató férfi egész kilogrammra kerekített testtömegéről ad tájékoz- tatást az alábbi táblázat. tömeg (kg) 53-56 57-60 61-64 65-68 69-72 73-76 77-80 gyakoriság 2 3 4 11 9 6 5 a) A táblázat alapján, az osztályközepek segítségével számítsa ki a 40 hallgató testtö- megének átlagát és szórását! (Osztályközép: az osztály alsó és felső határának szám- tani közepe.) Egy reklámfilm forgatásához három pehelysúlyú és két nehézsúlyú fiatalt keresnek. A pehelysúlyúak tömege legfeljebb 64 kg lehet, a nehézsúlyúaké pedig legalább 77 kg. b) Hányféleképpen választhatják ki az öt szereplőt, ha mindegyikük a 40 egyetemista közül kerül ki? Péter - az egyik hallgató - öt érdemjegyet szerzett statisztika tantárgyból az előző félév- ben. Jegyeinek mediánja a 3, módusza a 2, átlaga pedig 3,2. (Érdemjegy az 1, 2, 3, 4, 5 számok valamelyike lehet.) c) Határozza meg Péter öt érdemjegyének az érdemjegyek átlagától számított átlagos abszolút eltérését!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7744

Az ábrán az ]x1 x2 [ nyílt intervallumon értelmezett f függvény grafikonja, valamint az f első derivált- függvényének és az f második deriváltfüggvényé- nek grafikonja látható. A három függvény grafi- konját valamilyen sorrendben az a, b, c betűkkel jelöltük. Az alábbi táblázat A jelű állítása szerint az ábrán a jelöli az f függvényt, b jelöli az f első derivált- függvényét ( f ), és c jelöli az f második derivált- függvényét ( f ). Ehhez hasonlóan felsoroltuk az összes többi lehet- séges megfeleltetést is. a) Állapítsa meg a B, C, D, E, F állítások logikai értékét! Válaszait itt nem kell indokolnia. (Az A állítás hamis, ezt már megadtuk.) f f f az állítás igaz/hamis A a b c hamis B a c b C b a c D b c a E c a b F c b a b) A függvény és deriváltfüggvényei közötti kapcsolatokra alapozva indokolja meg, miért hamis az A állítás! Adottak a derékszögű koordináta-rendszerben az A, B, C, D pontok: A(0 4), B(0 1), C(p 1), D(p 4), ahol p > 0. Az 2 4 x y = egyenletű görbe felezi az ABCD téglalap területét. c) Igazolja, hogy p > 4, majd számítsa ki p értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8959

a) Az ábrán a harmadfokú f függvény grafikonjának egy részlete látható. A függvény értelmezési tartományában megjelöltünk öt helyet. Mindegyik esetben döntse el, hogy az adott helyen az f első, illetve második deri- váltjának előjele pozitív (P) vagy negatív (N)! Válaszát írja a megadott táblázat meg- felelő cellájába! (Tudjuk, hogy 4 ( ) 0f x = .) b) Adott az 21 ( 2) 8 4 y x= + egyenletű parabola. Határozza meg a k valós paraméter értékét úgy, hogy a 4x - y = k egyenletű egyenes érintse a parabolát, és határozza meg az érintési pont koordinátáit is! hely x1 x2 x3 x4 x5 f előjele P 0 f előjele

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8969

a) Hány olyan 90-nél nem nagyobb pozitív egész szám van, amely a 2, a 3 és az 5 közül pontosan az egyikkel osztható? Az ötöslottó-játékban az első 90 pozitív egész számból kell öt különbözőt megjelölni. A sorsoláson öt (különböző) nyerőszámot húznak ki. (Sem a megjelölés, sem a kihúzás sorrendje nem számít.) Kati a 7, 9, 14, 64, 68 számokat jelölte meg. A sorsoláson az első három kihúzott nyerő- szám a 7, a 9 és a 14 volt. Kati úgy gondolja, hogy most nagy esélye van legalább négy találatot elérni. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a hátralevő két nyerőszám közül Kati legalább az egyiket eltalálja! Az egyik játékhéten összesen 3 222 831 lottószelvényt küldtek játékba a játékosok. Az alábbi táblázat mutatja a nyertes szelvények számát és nyereményét (2-nél kevesebb találattal nem lehet nyerni). Találatok száma Nyertes szelvények száma Nyeremény (Ft/nyertes szelvény) 5 0 0 4 17 3 113 255 3 1617 34 915 2 62 757 1970 c) Számítsa ki, hogy mennyi volt a játékosok egy lottószelvényre jutó átlagos veszte- sége ezen a héten, ha a játékba küldött szelvények egységára 250 Ft!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8986

Egy étteremben (hatósági engedély birtokában) az érvényes általános forgalmi adótól (áfa) kismértékben eltérő adókulcsok alkalmazásának hatását vizsgálták az ételek és ita- lok fogyasztására nézve. Az ételek esetében 4%, az italok esetében 30% áfát adtak hozzá a nettó árhoz, és az így kapott bruttó árat kellett a vendégnek kifizetnie. A kísérlet első napján az új számítógépes program hibája miatt a számlán éppen fordítva adták a nettó árakhoz az áfát: az ételek nettó árához 30%-ot, az italok nettó árához pedig 4%-ot számoltak hozzá, és ez a számlán is így, hibásan jelent meg. Egy család ebben a vendéglőben ebédelt, és a hibás program miatt 8710 Ft-os számlát kapott. A hibát észrevették, így végül a helyes összeget, 7670 Ft-ot kellett kifizetniük. a) Hány forint volt az elfogyasztott ételek, és hány forint volt az elfogyasztott italok helyes bruttó ára? Egy másik étteremben 12 és 14 óra között 3900 Ft befizetéséért annyit eszik és iszik a vendég, amennyit szeretne. A befizetendő összeget egy előzetes felmérés alapján állapították meg. A felmérés során minden vendég esetén összeadták az elfogyasztott étel és ital árát az adott fogyasztáshoz tartozó összes egyéb költséggel. Az összesített költségek alapján osztályokba sorolták a vendégeket aszerint, hogy az étteremnek hány forintjába kerültek. Az alábbi táblázat mutatja a felmérés eredményét. A táblázat első sorában az osztálykö- zepek láthatók. b) A felmérés eredményét felhasználva számítsa ki, hogy ennek az étteremnek 1000 vendég esetén mekkora a várható haszna! c) A fenti táblázat értékeivel számolva mennyi a valószínűsége, hogy két (ebédre be- térő) vendég együttes fogyasztása veszteséget jelent az étteremnek? (A táblázatba foglalt információkat tekinthetjük úgy, hogy egy véletlenszerűen be- térő vendég esetén pl. 0,25 annak a valószínűsége, hogy a vendég 2800 Ft-ba kerül az étteremnek.) a) 7 pont b) 3 pont c) 6 pont Ö.: 16 pont fejenként ennyi Ft-ba került az étteremnek 1000 1900 2800 3600 4400 5200 a vendégek ennyi %-a 10 20 25 30 10 5

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8988

Adott négy, a valós számok halmazán értelmezett függvény: f(x) = (x + 4)(2 - x) g(x) = x + 4 h(x) = 2 4x i(x) = 4x a) Határozza meg az f és g függvények grafikonja által közrezárt korlátos síkidom te- rületét! Egy négypontú gráf csúcsait megfeleltetjük e négy függvénynek. Két csúcsot pontosan akkor kötünk össze éllel, ha a két megfelelő függvénynek van közös zérushelye. b) Rajzolja fel az így kapott gráfot! A valós számok halmazán értelmezett k függvény zérushelyei -5 és 3, az m függvény zérushelyei 3 és -3, az n függvény zérushelyei pedig 5 és -5. A p elsőfokú függvény hozzárendelési szabálya p(x) = x + c, ahol c egy valós szám. c) Hányféleképpen választható meg a c konstans értéke úgy, hogy a k, m, n és p függ- vényekre a b) feladatban megadott szabály szerint elkészített négypontú gráf fagráf legyen?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9790

Egy sorsjegyből jelenleg havonta átlagosan 5000 darabot értékesítenek. Egy darab sors- jegy ára 500 Ft, de a forgalmazó cég ezt csökkenteni szeretné. A sorsjegy ára 10 Ft-os lépésekben csökkenthető. Azt feltételezik, hogy ha az ár n-szer 10 Ft-tal alacsonyabb lesz, akkor havonta 10n2 -tel több sorsjegyet tudnak eladni (n N+). Tekintsük ezt a feltétele- zést helytállónak. a) Határozza meg a sorsjegyek eladásából származó havi bevételt, ha a sorsjegy árát 300 Ft-ra csökkentik! b) Határozza meg azt az n értéket, amelyre a sorsjegyek eladásából származó havi be- vétel maximális lenne! Az összes sorsjegy 5%-a nyerő. Kétféle nyeremény van: 2500 Ft-os és 50 000 Ft-os. A 2500 Ft-os nyerő sorsjegyből pontosan 24-szer annyi van, mint az 50 000 Ft-osból. c) Töltse ki az alábbi táblázat üres mezőit, majd számítsa ki egy darab sorsjegy nyere- ményének várható értékét! 1 db sorsjegy nyereménye (Ft) 0 2500 50 000 nyeremény valószínűsége 0,95

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10135

Egy jótékonysági rendezvényen sorsjegyeket árulnak. 5 kék és 3 zöld sorsjegy 6700 Ft-ba, 3 kék és 2 zöld sorsjegy 4200 Ft-ba kerül. a) Mennyibe kerül külön-külön egy kék, illetve egy zöld sorsjegy? A sorsjegyek 40%-a kék, 60%-a zöld. A különböző színű sorsjegyekhez tartozó nyere- mények arányát mutatja a táblázat (például az összes kék sorsjegynek a 35%-a tárgynye- reményt nyer). Véletlenszerűen kiválasztunk egy sorsjegyet. Legyen az A esemény az, hogy ez a sorsjegy tárgynyereményt nyer, a B esemény pedig az, hogy ez a sorsjegy kék. b) Igazolja, hogy P(A) = 0,38. Számítsa ki a P(B | A) feltételes valószínűséget! Függetlenek-e az A és B események? c) Határozza meg az egy kék sorsjegyre eső nyeremény várható értékét, ha a tárgynye- reményt 500 Ft-os értéken vesszük figyelembe!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10464

Pali és a testvére, Lilla együtt szeretnének filmet nézni. Három film közül választanak: az egyik a Kocka, a másik A kör, a harmadik pedig a Képlet című film. Pali ezek közül az egyik filmnek 1 pontot, egy másiknak 2 pontot, a harmadiknak pedig 3 pontot ad, majd (Palitól függetlenül) ugyanezt teszi Lilla is. A két pontszámot mindegyik film esetében összeadják, majd a legkisebb pontösszegű filmet nézik meg. Ha több ilyen film is van, akkor filmnézés helyett társasjátékoznak. a) Melyik filmet néznék meg a testvérek, ha az alábbi táblázat szerint adnák a pontjaikat? Pali Lilla 1 pont A kör Képlet 2 pont Kocka A kör 3 pont Képlet Kocka b) Hányféleképpen oszthatják ki a pontokat a testvérek úgy, hogy mindhárom film pontösszege ugyanannyi legyen? c) Ha Pali és Lilla is véletlenszerűen osztja ki a pontszámokat a filmek között, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy filmnézés lesz a pontozás eredménye? Egy filmes portálon a Parabola című filmet 83-an értékelték 1-10-ig egy-egy egész számmal. A film erősen megosztotta a nézőket: 46-an 1-essel értékelték azt, ugyanakkor a kapott értékelések átlaga pontosan 5 lett. d) Számítsa ki a 83 értékelés szórását!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10820

Az interneten található adatok1 alapján a napenergiát elektromos energiává alakító eszkö- zök maximális összteljesítményének magyarországi alakulását az alábbi táblázat szem- lélteti (megawattban mérve). év 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 összteljesítmény (MW) 12 35 77 168 225 300 640 1277 a) A fenti táblázat adatai alapján készült a következő táblázat, amely azt mutatja, hogy hányszorosára változott a maximális összteljesítmény az egymást követő években az előző évi maximális összteljesítményhez viszonyítva. A még hiányzó három szá- mot írja az alábbi táblázat üres mezőibe, majd számítsa ki a kapott 7 szám átlagát és szórását! év 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 ebben az évben a maximális össztelje- sítmény az előző évinek ennyiszerese: 2,92 2,18 1,33 2,00 A maximális összteljesítmény alakulását exponenciális növekedésűnek feltételezve egy táblázatkezelő program az első táblázatban megadott adatok alapján a ( ) 17,84 1,848x c x = közelítő összefüggést adja, ahol x a 2012 óta el- telt évek száma (x természetes szám), c(x) pe- dig MW-ban adja meg a maximális összteljesít- ményt a modell szerint. b) Hány százalékkal tér el a 2018. évi 640 MW-os adattól a modell alapján kiszámít- ható 2018-as érték? c) Oldja meg a valós számok halmazán a 17,84 1,848 40000x = egyenletet!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10831

A valós számok halmazán értelmezett f függvény f deriváltfüggvényének hozzárende- lési szabálya: 2 ( ) ( 2) ( 5)f x x x = . a) Adja meg az f függvény összes lokális (helyi) szélsőértékének típusát és helyét! b) Határozza meg az f függvény hozzárendelési szabályát úgy, hogy az f grafikonja áthaladjon a (0 1) ponton! c) Igazolja, hogy a 3 2 3 : ( ) 1 x x g g x x + = + R R függvény szigorúan monoton növekedő!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10839

Adott a valós számok halmazán értelmezett másodfokú f függvény. Ismert, hogy egy adott aR helyen f a ( )> 0, f a ( )> 0 és f a ( )> 0 mindegyike teljesül. a) Az alábbi ábrákon négy másodfokú függvény grafikonja látható. Ezek alapján töltse ki a táblázat üres mezőit aszerint, hogy a megfelelő kijelentés igaz vagy hamis, majd döntse el, hogy a négy grafikon közül melyik lehet az f függvényé! (Válaszait itt nem kell indokolnia.) függvénygrafikon az a helyen a függvényérték pozitív az a helyen az első derivált értéke pozitív az a helyen a második derivált értéke pozitív I. hamis II. III. IV. Az f függvény grafikonja a(z) …… grafikon lehet. b) A másodfokú g függvény értékét az xR helyen a g x px qx r ( )    2 összefüggés adja meg (p, q, r  R, p ≠ 0). Határozza meg p, q és r értékét úgy, hogy g(1)  1, g(1) 2 és g(1) 4 teljesüljön! c) Számítsa ki 2 2 3 1 2 1 2 x x dx         értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10898

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 3 log ( 2) log (2 8)     2 2 x x Adott az f és a g függvény: f : R  R, f x ( ) 2  x3 g : R  R, g x ( ) 2 7   x b) A két függvény grafikonját egy számítógépes programmal közös koordináta-rendszerben ábrázoltuk. Határozza meg a két grafikon metszéspontjának koordinátáit! Legyen a h függvény értelmezési tartománya az egyjegyű pozitív prímszámok halmaza, és legyen h x ( ) 2  x3 . c) Határozza meg a h függvény inverzfüggvényének az értelmezési tartományát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10910

a) Legyen a és b két pozitív valós szám. Határozza meg az alábbi állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja! „Ha a  6 és b  8, akkor a és b számtani közepe nagyobb 7-nél.” b) Fogalmazza meg az előbbi állítás megfordítását, és határozza meg a megfordított állítás logikai értékét is! Válaszát indokolja! c) Határozza meg az x pozitív valós szám értékét úgy, hogy a 7-nek és az x-nek a harmonikus közepe 10 legyen! d) Tudjuk, hogy az (A  B)  (A  C) kijelentés logikai értéke igaz. Mit lehet tudni az A, B és C kijelentések logikai értékéről? Tegyen X-et az alábbi táblázat megfelelő celláiba! (Válaszait itt nem kell indokolnia.) a) 2 pont b) 3 pont c) 4 pont d) 3 pont Ö.: 12 pont biztosan igaz biztosan hamis nem lehet eldönteni A B C

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10940

Legyen a H alaphalmaz az egyváltozós valós függvények halmaza, M, K és A pedig a H alábbi részhalmazai: M  {az értelmezési tartományukon szigorúan monoton növekedő függvények}; K  {az értelmezési tartományukon konvex függvények}; A  {alulról korlátos függvények}. a) Helyezze el az alábbi hozzárendelésekkel megadott függvények betűjelét az ábra megfelelő részébe! f: R  R, x x  sin g: R\ {0}  R, 1 x x  h: R  R, x  2x i: R+{0}  R, x x  b) Jelölje az ábrán satírozással a (K  A) \ M halmazt, és hozzárendelési szabályával adjon meg egy olyan j függvényt, amely ebbe a halmazba tartozik! c) Határozza meg az R  R, x x bx c  2   függvény b és c paramétereinek értékét, ha tudjuk, hogy a függvénynek x  2-ben minimumhelye van, és a minimum értéke –1. d) Határozza meg azokat a p  [0; 2] értékeket, amelyekre 0 1 sin 2 p  x dx  .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11496

a) Satírozza be az alábbi ábrán a B \ (A  C) halmazt! b) Adja meg halmazműveletek segítségével az alábbi ábrán szürke színnel jelzett részhalmazt! Legyen a H alaphalmaz a függvények halmaza, Z, K és P pedig a H alábbi részhalmazai: Z  {zérushellyel rendelkező függvények}; K  {kölcsönösen egyértelmű függvények}; P  {páratlan függvények}. c) Helyezze el az alábbi hozzárendelésekkel megadott függvények betűjelét az ábra megfelelő részébe! f : R  R, x x  g: R  R, x x  2 2 h: R+  R, x x  lg i: R  R, x x  sin Egy négypontú gráf csúcsait megfeleltetjük a fenti f, g, h és i függvényeknek. Két csúcsot pontosan akkor kötünk össze éllel, ha a két megfelelő függvény értékkészletének van kö- zös eleme. d) Rajzolja fel az így kapott gráfot! Válaszát itt nem kell indokolnia.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11522