a) A KLMN derékszögű trapéz alapjai KL= 122 és MN= 753 egység hosszúak, a derékszögű szár hossza 210 egység. A trapézt megforgatjuk az alapokra merőleges LM szár egyenese körül. Számítsa ki a keletkezett forgástest térfogatát! ( két tizedesjegyre kerekített értékével számoljon, és az eredményt is így adja meg!) b) Az ABCD derékszögű érintőtrapéz AB és CD alapjai ( CDAB > ) hosszának összege 20. A beírt körnek az alapokra nem merőleges AD szárral vett érintési pontja negyedeli az AD szárat. Számítsa ki a trapéz oldalainak hosszát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1136

Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD, és AB > CD. A trapéz átlóinak metszés- pontja K. Az ABK háromszög AB oldalához tartozó magassága kétszerese a CDK három- szög CD oldalához tartozó magasságának. Jelölje T az ADK háromszög területét. Hányszorosa az ABCD trapéz területe T-nek?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4331

Egy tengelyesen szimmetrikus érintőtrapéz alapjainak hossza 5, illetve 20 egység. a) Számítsa ki a trapéz területét és átlójának hosszát! b) Számítsa ki annak a forgástestnek a térfogatát, amelyet úgy kapunk, hogy a trapézt megforgatjuk a hosszabbik alapja körül. c) Bizonyítsa be általánosan a következő állítást: Ha egy húrtrapéz érintőnégyszög, akkor magasságának hossza az alapok hosszának mértani közepe.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1240

Az ABCDE szabályos négyoldalú gúla alaplapja az ABCD négyzet. A gúla alapéle 28 egység hosszú. Legyen F a CE oldalélnek, G pedig a DE oldalélnek a felezőpontja. Az ABFG négyszög területe 504 területegység. Milyen hosszú a gúla oldaléle?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4364

A K középpontú és R sugarú kört kívülről érinti az O középpontú és r sugarú kör (R>r). A KO egyenes a nagy kört A és E, a kis kört E és D pontokban metszi. Forgassuk el a KO egyenest az E pont körül hegyesszöggel! Az elforgatott egyenes a nagy kört az E-től különböző B pontban, a kis kört C pontban metszi. a) Készítsen ábrát! Igazolja, hogy az ABDC négyszög trapéz! b) Igazolja, hogy az ABC háromszög területe 2sin)( += rRRt ! c) Mekkora szögnél lesz az ABC háromszög területe maximális, adott R és r esetén?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1257

Egy 90 m² területű, trapéz alakú virágágyás párhuzamos oldalainak aránya 2:3: =DCAB . Az ágyást tavasszal és ősszel is az évszaknak megfelelő virágokkal ültetik be. Mindkét alkalommal mindegyik fajta virágból átlagosan 50 virágtövet ültetnek négyzetméterenként. Tavasszal az átlókkal kijelölt négy háromszögre bontották a virágágyást. Az ABM háromszögbe sárga virágokat, a DMC háromszögbe fehéret, a maradék két részbe piros virágokat ültettek. a) A tavaszi parkosításkor hány darab fehér, hány piros és hány sárga virágot ültettek be? Ősszel a másik ábra alapján tervezték meg a virágok elhelyezését. (Az E, F, G és H pontok a trapéz oldalainak felezőpontjai.) Ekkor is fehér (f), piros (p) és sárga (s) virágokat ültettek a tervrajz alapján. b) Az őszi parkosításkor hány darab fehér, hány piros és hány sárga virágot ültettek? Válaszait az alábbi táblázatban tüntesse fel! fehér piros sárga tavasszal ősszel

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1288

a) Igazolja, hogy az A(0 1), B(4 2), C(3 6) és D(-5 4) pontokkal megadott négyszög trapéz! b) Kati megrajzolt egy olyan egyszerű teljes gráfot, amelynek 253 éle van, és csúcsai között szerepelnek a trapéz A B C D csúcsai is. Hány új gráfcsúcsot kellett ehhez felvennie? Legfeljebb hány éle törölhető ki ennek a teljes gráfnak, hogy még összefüggő maradjon?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1296

Pali és Zoli közösen egy 60 m × 30 m-es, téglalap alakú telket vásárolt. A telket egymás között két olyan egybevágó derékszögű trapézra osztották fel, amelynek a rövidebb alapja 20 m. Jelölje EF a közös határvonalszakaszt! a) Számítsa ki a közös EF határvonal hosszát! (Az eredményt méterben, egy tizedes jegyre kerekítve adja meg!) A közös határvonalon Palinak kellett volna kerítést építtetni, de nem volt erre a célra pénze. Ezért Zolinak a következő ajánlatot tette: átad neki a telkéből egy háromszög alakú részt, ha Zoli csináltatja meg a telküket elválasztó kerítést. Zoli szerette volna telkének 20 m-es határát maximum 8 méterrel megnövelni, így elfogadta az ajánlatot, és az új közös határvonalnak az EG szakaszt jelölte meg. A telek négyzetméterének ára 30 000 Ft, a kerítés megépíttetésének költsége 15 000 Ft/m. Az egyéb felmerülő költségeket egyenlő arányban osztották meg. b) Legalább hány m hosszú legyen a FG szakasz, hogy Zoli járjon jobban? (Az eredményt egy tizedesre kerekítve adja meg!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1347

a) A derékszögű koordináta-rendszerben adott egy téglalap, amelynek csúcsai: ( ),0 0A ( )0 4B , ( )1 4C és ( )1 0D . Véletlenszerűen kiválasztjuk a téglalap egy belső P ( x y ) pontját. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 2 1 3 1 + xy ? b) Marci a farsangi rendezvényre kibocsátott 200 darab tombolajegyből 4-et vásárolt. A tombolán 10 nyereménytárgyat sorsolnak ki. Minden tombolajeggyel legfeljebb egy tárgyat lehet nyerni. b1) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Marci pontosan egy tárgyat nyer a tombolán? b2) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Marci nyer a tombolán? Az eredményeket - a közbülsőket is - négy tizedesjegyre kerekítve számolja ki!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1389

Az ABCD húrtrapéz köré írt körének egyenlete 100)2()3( 22 =+ yx . A húrtrapéz szimmetriatengelyének egyenlete 2x - y = 4. A trapéz AB alapjának egy belső pontja P(-5 1), BC szárának hossza pedig 210 egység. Határozza meg a trapéz csúcsainak koordinátáit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1419

a) Igazolja a következő állítást: ha egy négyszög szögei valamilyen sorrendben egy számtani sorozat egymást követő tagjai, akkor a négyszög húrnégyszög vagy trapéz! b) Fogalmazza meg az előző állítás megfordítását, és döntse el a megfordított állítás- ról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! Egy geometriai építőkészletben csak olyan pálcikák vannak, amelyek hossza centimé- terben mérve egész szám, és mindenféle lehetséges hosszúság előfordul 1 cm-től 12 cm-ig. (Mindegyik fajta pálcikából elegendően sok van a készletben.) c) Hány különböző módon választhatunk ki 4 pálcikát a készletből úgy, hogy belőlük egy 24 cm kerületű érintőnégyszöget lehessen építeni? (Két kiválasztást különbözőnek tekintünk, ha az egyik kiválasztás 4 pálcikája nem állítható párba a másik kiválasztás 4 pálcikájával úgy, hogy mind a 4 párban egyenlő hosszú legyen a két pálcika. Tudjuk továbbá, hogy ha a, b, c, d pozitív számok, és a + c = b + d, akkor az a, b, c, d hosszúságú szakaszokból szerkeszthe- tő négyszög.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1512

Egy kisüzemi meggymagozó-adagoló gép 0,01 valószínűséggel nem távolítja el a magot a meggyből, mielőtt a meggyszemet az üvegbe teszi. A magozógépen áthaladt szemek közül 120-120 darab kerül egy-egy üvegbe. a) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy kiválasztott üvegben legalább 2 darab magozatlan szem van! A termelés során keletkezett hulladékot nagy méretű konténerbe gyűjtik, melyet minden nap végén kiürítenek és kitisztítanak. A konténer egyenes hasáb alakú. A hasáb magassága 2 m, alaplapja húrtrapéz, melynek méretei az 1. ábrán láthatók. A konténert vízszintes felületen, az 1,8 m × 2 m-es (tégla- lap alakú) lapjára állítva helyezik el (lásd a 2. ábrát). 1. ábra 2. ábra b) Számítsa ki a hasáb térfogatát! Határozza meg, hogy milyen magasan áll a konténerben a tisztításához beletöltött 2,7 m3 térfogatú folyadék!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1557

Egy 6 méter széles és 8 méter hosszú, téglalap alaprajzú épületre sátortetőt építettek. A tető 4 méter hosszú gerin- ce a mennyezet téglalapjának hosszab- bik középvonala fölött, attól 3,5 méter távolságra van. A mennyezet téglalap- jának négy csúcsában támaszkodó, négy egyenlő hosszúságú gerenda tart- ja a tetőgerincet. a) Számítsa ki a tartógerendák hosszát és a vízszintes síkkal bezárt szögüket! A tető déli irányba néző, trapéz alakú részére egy téglalap alakú napelemet fektetnek. A téglalap egyik oldala a tető alsó élére, az ezzel szemközti oldala pedig a trapéz közép- vonalára illeszkedik. A napelem sehol sem nyúlik túl a tetőn. b) Mekkora a legnagyobb területű napelem, amelyet a megadott módon el lehet he- lyezni a tetőn? Válaszát négyzetméterben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1567

a) Határozza meg az alábbi két állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszait in- dokolja! I. Ha egy trapéznak 2-2 szöge egyenlő, akkor a trapéz húrtrapéz. II. Ha egy háromszögben a b, akkor sin 3 sin 3. (A háromszög oldalai a, b és c, a velük szemközti szögek rendre , és .) b) Fogalmazza meg a II. állítás megfordítását, és a megfordított állításról is döntse el, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! Egy matematika-vizsgafeladatban három állítás logikai értékét kell meghatározni (igaz vagy hamis). Három helyes válasz esetén 2, két helyes válasz esetén 1, kettőnél kevesebb helyes válasz esetén 0 pontot kap a vizsgázó. Béla tanult egy keveset, de bizonytalan a tudása: mindegyik kérdésnél 0,6 valószínűséggel találja el a helyes választ. c) Számítsa ki annak a négy eseménynek a valószínűségét, hogy Béla sikeres tippjei- nek száma 3, 2, 1, illetve 0, és határozza meg Béla pontszámának várható értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8926

Adott az 2 0, 25 ( 5) (0 5)y x x x= egyenletű görbe. a) Igazolja, hogy az origó és az (5 0) pont is rajta van a görbén! Az ABCD derékszögű trapéz egyik szárának két vég- pontja az A(1 0), illetve a B(3 0) pont, a másik két csúcsa pedig a megadott görbén van, az ábra szerint. A megadott görbe és az x tengely [0 5] szakasza egy korlátos síkidomot fog közre. b) Ha véletlenszerűen kiválasztjuk ennek a korlátos síkidomnak egy pontját, akkor mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott pont a trapéznak is pontja lesz?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10131

Az ábrán látható trapéz alakú kert alapjainak hoszsza: AB = 36 m, CD = 8 m. A 11 méter hosszú AC átló merőleges a trapéz alapjaira. a) Mekkora a kert kerülete és területe? A kert tulajdonosa egy 10 cm átmérőjű, henger alakú kutat fúratott a kertben. b) Hány méter mély lett a kút, ha a térfogata 0,1 köbméter? Az e egyenes párhuzamos a fenti ABCD trapéz alapjaival, és az AD szárat az E pontban, a BC szárat pedig az F pontban metszi. Az AC átló felezi az EF szakaszt. c) Az A ponttól mekkora távolságra metszi az e egyenes az AC átlót?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10818

Egy felül nyitott doboz vízszintes asztallapon áll. A dobozt három téglalap és két derékszögű trapéz határolja. A doboznak a vízszintes síkra illeszkedő lapja 8 cm× 6 cm méretű, két egymással szemközti függőleges síkú lapja pedig 6 cm× 5 cm, illetve 6 cm× 2 cm méretű téglalap. a) Számítsa ki a doboz testátlóinak hosszát! A test kiterített hálóját az ábra sötétített tartománya szemlélteti. Ezt a hálót egy 15 cm× 16 cm-es téglalapból vágjuk ki (ennek oldalai párhuzamosak a test 8 cm× 6 cm-es alaplapjá- nak oldalaival). b) Hány százalék hulladék keletkezik? Egy téglalap alakú kartonlap oldalhosszait úgy szeretnénk megválasztani, hogy alul és felül 4-4 cm-es, jobb és bal oldalon 2-2 cm-es margót hagyva a lap közepén megmaradó téglalap alakú terület 50 cm2 nagyságú legyen. c) Mekkorának válasszuk a kartonlap oldalainak hosszát, hogy a területe a lehető legkisebb legyen?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10821