Oldja meg az alábbi egyenletrendszereket a rendezett valós számpárok halmazán! a) = = yx yx 2 122 b) = + = + 0 3 1 2 3 3 4 3 3 2 yx y

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1537

Adott az f: R R f(x) = 2752708 234 ++ xxx függvény. a) Igazolja, hogy x = -15-ben abszolút minimuma, x = 0-ban lokális maximuma, x = 9-ben lokális minimuma van a függvénynek! b) Igazolja, hogy f konkáv a ]-9 5[ intervallumon! c) A Newton-Leibniz-tétel segítségével határozza meg a 5 0 )( dxxf határozott integrál értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1541

Adott az f, a g és a h függvény: 12)(,: = x xff RR 23)(,: += xxgg RR 2 12)(,: xxhh = RR . a) Legyen a k összetett függvény belső függvénye az f és külső függvénye a h (vagyis k(x) = h(f(x)) minden x valós szám esetén). Igazolja, hogy xx xk 4211)( 1 += + . b) Oldja meg az f(g(x)) < g(f(x)) egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! c) Mekkora a h és az 4x (x R) függvények görbéi által közbezárt (korlátos) terület?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1556

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) 96 3 112 2 xx x b) 1)9(log)3(log)1(log 222 xxx

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1565

Legyen az x pozitív valós szám. a) Határozza meg x értékét úgy, hogy a 27 és az x számtani közepe 6-tal nagyobb le- gyen, mint a mértani közepük! b) Döntse el, hogy igaz vagy hamis az alábbi állítás! Válaszát indokolja! Ha x > 27, akkor a 27-nek és az x-nek a mértani közepe kisebb a két szám számtani közepénél. c) Fogalmazza meg az előbbi állítás megfordítását, és határozza meg a megfordított állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2603

Adott a valós számok halmazán értelmezett f és g függvény: 2)( 2 xxf és 2 1010)( xxxg . a) Oldja meg a valós számok halmazán az f(x) + g(x) 8 egyenlőtlenséget! b) Igazolja, hogy a [2 8] intervallumon az f és a g függvény is csak pozitív értékeket vesz fel! c) Határozza meg azt a t valós számot a [2 8] intervallumban, amelyre teljesül, hogy az f függvény görbéje alatti terület a [2 t] intervallumon megegyezik a g függvény görbéje alatti területtel a [t 8] intervallumon. (Egy [a b] intervallumon folytonos függvény görbéje alatti terület ezen az interval- lumon megegyezik az x tengely, az x = a, az x = b egyenletű egyenesek és a függ- vény grafikonja által meghatározott síkidom területével.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2609

a) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert, ahol x és y pozitív valós számok! 2 lg 2 lglg 2,0 yxyx yx b) Oldja meg a [- ] halmazon a 2cossin2 2 xx egyenletet!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4303

Az f: R R, 2712)( 2 xxxf függvény grafikonja a derékszögű koordináta-rend- szerben parabola. a) Számítsa ki a parabola és az x tengely által bezárt (korlátos) síkidom területét! b) Írja fel a parabolához az )8 5( E pontjában húzott érintő egyenletét! c) Számítsa ki a parabola fókuszpontjának koordinátáit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4306

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket! a) lg x < 2 b) 2 54 xx c) 25,05,0 3 x

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4318

a) Határozza meg y x értékét, ha 10 9 24 32 yx yx (y 0, y -2x). b) Legyen 2 ( ) 11 30f x x x . Igazolja, hogy ha f (x) 0, akkor ( 1) 4 ( ) 6 f x x f x x . c) Oldja meg az 4 1 6 x x egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7699

Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenségeket! a) 5052 xx b) 1)81(log)(log 9 2 3 xx

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7746

a) Mely egész számokra teljesül a [0 2] intervallumban a 2 1 cos x egyenlőtlenség? b) Hány olyan egész szám van, amelyre teljesül a 201515202 xx egyenlőt- lenség? c) Adott a valós számok halmazán értelmezett 1 2 1 )( 4 x xf függvény. Hány rács- pontot tartalmaz az f függvény grafikonja és a koordinátatengelyek által az első sík- negyedben közbezárt síkidom? (A síkidom határolóvonalait is a síkidomhoz tarto- zónak tekintjük.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7748

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 1 2 1 1 1 25 50 30 81 5 5 5 x x x b) Igazolja, hogy lg 5 lg 5 5 5 lg 2 2 x x x x (x R).

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8922

Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) 2 1 1 1 1 324 3 9 x x+ + + = b) 6 24 2 7 1x x =

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8938

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) 2 2 2 31 2 8 0x x+ + = b) 3 4sin sin 0x x =

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8951

Oldja meg az alábbi két egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! a) 1 cos 2 x b) 4 20 5 x < c) Hány olyan egész szám van, amelyik gyöke az alábbi egyenlőtlenségnek? 0,5log (2 100) 8

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8967

a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! 2 2 7 0, 25x x x = + b) Hány olyan egész szám van, amelyik megoldása az alábbi egyenlőtlenségnek? 2 2log ( 200) 20

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8997

Adott négy, a valós számok halmazán értelmezett függvény: f(x) = (x + 4)(2 - x) g(x) = x + 4 h(x) = 2 4x i(x) = 4x a) Határozza meg az f és g függvények grafikonja által közrezárt korlátos síkidom te- rületét! Egy négypontú gráf csúcsait megfeleltetjük e négy függvénynek. Két csúcsot pontosan akkor kötünk össze éllel, ha a két megfelelő függvénynek van közös zérushelye. b) Rajzolja fel az így kapott gráfot! A valós számok halmazán értelmezett k függvény zérushelyei -5 és 3, az m függvény zérushelyei 3 és -3, az n függvény zérushelyei pedig 5 és -5. A p elsőfokú függvény hozzárendelési szabálya p(x) = x + c, ahol c egy valós szám. c) Hányféleképpen választható meg a c konstans értéke úgy, hogy a k, m, n és p függ- vényekre a b) feladatban megadott szabály szerint elkészített négypontú gráf fagráf legyen?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9790

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) 2 6 1x x + = + b) 2 3 4 9 4 4 4 42 log 3log log log 8x x x+ = +

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10128

a) Határozza meg az m valós szám összes lehetséges értékét úgy, hogy az alábbi kije- lentés igaz legyen! Az 2 2 4x x mx + = egyenletnek pontosan két különböző valós gyöke van. b) Mutassa meg, hogy az alábbi kijelentés igaz! Az f: 2 3 ( ) (1 cos ) 2 f x x = + + R R függvény értékkészlete az 1 3 2 2 intervallum. c) Tudjuk, hogy az A, B, C kijelentések mindegyike 0,6 valószínűséggel igaz és 0,4 va- lószínűséggel hamis. Ebben az esetben mennyi annak a valószínűsége, hogy az (A B) C kijelentés igaz?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10132

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 2 1 (2 3) 2 9x x+ = + Legyen 2 ( ) 9 14f x x x= + , ahol x valós szám. Tekintsük a következő állítást: Ha x > 7, akkor f (x) > 0. b) Adja meg az állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja! c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását! Igaz-e az állítás megfordítása? Válaszát indokolja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10245

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) 1 9 15 3 6x x+ + = b) 1 1 sin 2 0 4 3 8 =

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10260

a) Adottak az A, B, C kijelentések. Az A és B kijelentések logikai értéke igaz, a C kije- lentés logikai értéke hamis. Határozza meg az alábbi állítások logikai értékét! (Válaszait itt nem szükséges in- dokolnia.) (1) A C (2) ¬A B (3) B C (4) (A ¬B) C Jelölje x és y a derékszögű koordináta-rendszer egy tetszőleges pontjának első, illetve második koordinátáját, és legyen c egy valós szám. b) Igaz-e a következő állítás? Ha c 12, akkor 2 2 4 6 0x x y y c+ + + = egy kör egyenlete. (Válaszát indokolja!) c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását, és a megfordított állításról is döntse el, hogy igaz vagy hamis! (Válaszát indokolja!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10276

Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) 2 2 sin 3cosx x= b) 3 3 3log ( 8) log ( 2) log ( 4) 1+ + +

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10457

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) log log ( 2) 1 3 3 x x + + = b) 4sin 16cos 1

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10816

Az interneten található adatok1 alapján a napenergiát elektromos energiává alakító eszkö- zök maximális összteljesítményének magyarországi alakulását az alábbi táblázat szem- lélteti (megawattban mérve). év 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 összteljesítmény (MW) 12 35 77 168 225 300 640 1277 a) A fenti táblázat adatai alapján készült a következő táblázat, amely azt mutatja, hogy hányszorosára változott a maximális összteljesítmény az egymást követő években az előző évi maximális összteljesítményhez viszonyítva. A még hiányzó három szá- mot írja az alábbi táblázat üres mezőibe, majd számítsa ki a kapott 7 szám átlagát és szórását! év 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 ebben az évben a maximális össztelje- sítmény az előző évinek ennyiszerese: 2,92 2,18 1,33 2,00 A maximális összteljesítmény alakulását exponenciális növekedésűnek feltételezve egy táblázatkezelő program az első táblázatban megadott adatok alapján a ( ) 17,84 1,848x c x = közelítő összefüggést adja, ahol x a 2012 óta el- telt évek száma (x természetes szám), c(x) pe- dig MW-ban adja meg a maximális összteljesít- ményt a modell szerint. b) Hány százalékkal tér el a 2018. évi 640 MW-os adattól a modell alapján kiszámít- ható 2018-as érték? c) Oldja meg a valós számok halmazán a 17,84 1,848 40000x = egyenletet!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10831

A valós számok halmazán értelmezett f függvény f deriváltfüggvényének hozzárende- lési szabálya: 2 ( ) ( 2) ( 5)f x x x = . a) Adja meg az f függvény összes lokális (helyi) szélsőértékének típusát és helyét! b) Határozza meg az f függvény hozzárendelési szabályát úgy, hogy az f grafikonja áthaladjon a (0 1) ponton! c) Igazolja, hogy a 3 2 3 : ( ) 1 x x g g x x + = + R R függvény szigorúan monoton növekedő!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10839

a) Oldja meg az egyenletet, ha x és y pozitív egész számok! 1,5 x 8 y  b) Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán! 3 9 3 3 9

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10895

Adott a valós számok halmazán értelmezett másodfokú f függvény. Ismert, hogy egy adott aR helyen f a ( )> 0, f a ( )> 0 és f a ( )> 0 mindegyike teljesül. a) Az alábbi ábrákon négy másodfokú függvény grafikonja látható. Ezek alapján töltse ki a táblázat üres mezőit aszerint, hogy a megfelelő kijelentés igaz vagy hamis, majd döntse el, hogy a négy grafikon közül melyik lehet az f függvényé! (Válaszait itt nem kell indokolnia.) függvénygrafikon az a helyen a függvényérték pozitív az a helyen az első derivált értéke pozitív az a helyen a második derivált értéke pozitív I. hamis II. III. IV. Az f függvény grafikonja a(z) …… grafikon lehet. b) A másodfokú g függvény értékét az xR helyen a g x px qx r ( )    2 összefüggés adja meg (p, q, r  R, p ≠ 0). Határozza meg p, q és r értékét úgy, hogy g(1)  1, g(1) 2 és g(1) 4 teljesüljön! c) Számítsa ki 2 2 3 1 2 1 2 x x dx         értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10898

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 3 log ( 2) log (2 8)     2 2 x x Adott az f és a g függvény: f : R  R, f x ( ) 2  x3 g : R  R, g x ( ) 2 7   x b) A két függvény grafikonját egy számítógépes programmal közös koordináta-rendszerben ábrázoltuk. Határozza meg a két grafikon metszéspontjának koordinátáit! Legyen a h függvény értelmezési tartománya az egyjegyű pozitív prímszámok halmaza, és legyen h x ( ) 2  x3 . c) Határozza meg a h függvény inverzfüggvényének az értelmezési tartományát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10910

a) Határozza meg az 4 n n a  n  sorozat határértékét! b) Igazolja, hogy az an sorozat szigorúan monoton csökkenő! c) Határozza meg azokat az n pozitív egész számokat, amelyekre teljesül, hogy ( 4)! 24( 1)( 3). ! n n n  n    d) Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett f (x) = 24(x + 1)(x + 3) függvény grafikonja és az x tengely által közbezárt korlátos síkidom területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10914

Domi két héten keresztül felüléseket végzett reggeli tornaként. A második naptól kezdve minden reggel 5-tel több felülést végzett, mint az előző napon. A két hét alatt összesen 1001 felülést végzett. a) Hány felülést végzett Domi a legelső napon, és hányat a legutolsón? Dalma az 5250 méter hosszú margitszigeti futókörön edz. Egyik nap két kört futott: a második körben az átlagsebessége 3,5 km/h-val kisebb volt, mint az első körben. A teljes kétkörös futás átlagsebessége 12 km/h volt. (Az átlagsebesség a megtett út hosszának és az út megtételéhez szükséges időnek a hányadosa.) b) Határozza meg Dalma átlagsebességét az első, illetve a második körben! c) Írja a következő mondatban a pontozott vonalakra a megadottak közül a megfelelő szavakat úgy, hogy az állítás igaz legyen: számtani, harmonikus, mértani. „Két különböző pozitív valós szám …….….……….…. közepe mindig nagyobb, mint a …….….……….…. közepe, de kisebb, mint a …….….……….…. közepe.”

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10915

Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) 2 2 1 x x   1 b) 2sin 3cos 0

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10925

Adott az f : ; ( ) 0,5 3 R R     f x x x 2 másodfokú függvény. a) Határozza meg az f értékkészletét! b) A P(6; 0) pont rajta van az f grafikonján. Adja meg a grafikon P-re illeszkedő érintőjének meredekségét, és ennek az érintőnek az egyenletét! c) Adja meg azt a valós számok halmazán értelmezett g függvényt, amelyre igaz, hogy g f   és g(3)  7 ( ga g deriváltfüggvényét jelöli)!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10927

Legyen f a valós számok halmazán értelmezett függvény, ahol f ( ) x x  2 . a) Határozza meg a és b értékét, ha ( ) 63 b a  f x  és f ( ) a b  . Legyen h a valós számok halmazán értelmezett függvény, ahol h(x)  x2 + px + r. b) Határozza meg p és r értékét, ha h(1), h(3) és h(4) (ebben a sorrendben) egy számtani, h(1), h(2) és h(4) pedig (ebben a sorrendben) egy mértani sorozat egymást kö- vető tagjai!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10933

a) Legyen a és b két pozitív valós szám. Határozza meg az alábbi állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja! „Ha a  6 és b  8, akkor a és b számtani közepe nagyobb 7-nél.” b) Fogalmazza meg az előbbi állítás megfordítását, és határozza meg a megfordított állítás logikai értékét is! Válaszát indokolja! c) Határozza meg az x pozitív valós szám értékét úgy, hogy a 7-nek és az x-nek a harmonikus közepe 10 legyen! d) Tudjuk, hogy az (A  B)  (A  C) kijelentés logikai értéke igaz. Mit lehet tudni az A, B és C kijelentések logikai értékéről? Tegyen X-et az alábbi táblázat megfelelő celláiba! (Válaszait itt nem kell indokolnia.) a) 2 pont b) 3 pont c) 4 pont d) 3 pont Ö.: 12 pont biztosan igaz biztosan hamis nem lehet eldönteni A B C

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10940

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 2 sin 7 sin 1 5 2 x x    b) Határozza meg az f: R  R, x  sin x függvény grafikonja, az 6 x   és az 56 x   egyenletű egyenesek, valamint az x tengely által közrezárt korlátos síkidom területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10942

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 2 2 2 60 x x x   3 1    b) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! 3( 1) 2 1 5 x y x x y      

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11521

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 9 78 3 3 0 x x   1 1     b) A {bn} mértani sorozat második tagja 48, ötödik tagja 162. Határozza meg n értékét úgy, hogy bn > 10 000 000 teljesüljön!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11548

A valós számok halmazán értelmezett f másodfokú függvény zérushelyei –3 és 4. Az f grafikonja egy olyan parabola, amely az y tengelyt a (0; 6) pontban metszi. a) Határozza meg a parabola egyenletét! Adott a valós számok halmazán értelmezett g x x x ( ) 0,5 2 6    2 függvény. b) A g grafikonjához érintőt húzunk az x = 4 abszcisszájú pontjában. Határozza meg az érintő egyenletét! c) Számítsa ki az y  –2x + 2 egyenletű egyenes és az y x x    0,5 2 6 2 egyenletű parabola által határolt korlátos síkidom területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11555