Egy szellemi vetélkedő döntőjébe 20 versenyzőt hívnak be. A zsűri az első három helyezettet és két további különdíjast fog rangsorolni. A rangsorolt versenyzők oklevelet és jutalmat kapnak. a) Az öt rangsorolt versenyző mindegyike ugyanarra a színházi előadásra kap egy-egy jutalomjegyet. Hányféle kimenetele lehet ekkor a versenyen a jutalmazásnak? b) A dobogósok három különböző értékű könyvutalványt, a különdíjasok egyike egy színházjegyet, a másik egy hangversenyjegyet kap. Hányféle módon alakulhat ekkor a jutalmazás? c) Ha már eldőlt, kik a rangsorolt versenyzők, hányféle módon oszthatnak ki nekik jutalmul öt különböző verseskötetet? d) Kis Anna a döntő egyik résztvevője. Ha feltesszük, hogy a résztvevők egyenlő eséllyel versenyeznek, mekkora a valószínűsége, hogy Kis Anna eléri a három dobogós hely egyikét, illetve hogy az öt rangsorolt személy egyike lesz?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 90

Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek felhasználásával ötjegyű számokat készítünk az összes lehetséges módon (egy számjegyet többször is felhasználhatunk). Ezek között hány olyan szám van, a) amely öt azonos számjegyből áll b) amelyik páros c) amelyik 4-gyel osztható?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 177

Zsuzsi 7-jegyű mobiltelefonszáma különböző számjegyekből áll, és az első számjegy nem nulla. Amikor Ildikó felhívta Zsuzsit, feltűnt neki, hogy a mobiltelefonján a három oszlop közül csak kettőnek a nyomógombjaira volt szükség. Ezekre is úgy, hogy először az egyik oszlopban levő nyomógombokat kellett valamilyen sorrendben megnyomnia, ezután pedig egy másik oszlop nyomógombjai következtek valamilyen sorrendben. Hány ilyen telefonszám lehetséges?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 320

a) Hány olyan négy különböző számjegyből álló négyjegyű számot tudunk készí- teni, amelynek mindegyik számjegye eleme az {1 2 3 4 5 6 7} halmaznak? b) Hány 4-gyel osztható hétjegyű szám alkotható az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből? c) Hány olyan hatjegyű, hárommal osztható szám írható fel, amely csak az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyeket tartalmazza, és e számjegyek mindegyike legalább egyszer előfordul benne?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 341

Egy ajándéktárgyak készítésével foglalkozó kisiparos családi vállalkozása keretében zászlókat, kitűzőket is gyárt. Az ábrán az egyik általa készített kitűző stilizált képe látható. A kitűzőn lévő három mező kiszínezéséhez 5 szín (piros, kék, fehér, sár- ga, zöld) közül választhat. Egy mező kiszínezéséhez egy színt használ, és a különböző mezők lehetnek azonos színűek is. a) Hányféle háromszínű kitűzőt készíthet a kisiparos? b) Hányféle kétszínű kitűző készíthető? A kisiparos elkészíti az összes lehetséges különböző (egy-, két- és háromszínű) kitűzőt egy-egy példányban, és véletlenszerűen kiválaszt közülük egyet. c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy olyan kitűzőt választ, amelyen az egyik mező kék, egy másik sárga, a harmadik pedig zöld színű?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 392

A vízi élőhelyek egyik nagy problémája az algásodás. Megfelelő fény- és hőmérsékleti viszonyok mellett az algával borított terület nagysága akár 1-2 nap alatt megduplázód- hat. a) Egy kerti tóban minden nap (az előző napi mennyiséghez képest) ugyanannyi- szorosára növekedett az algával borított terület nagysága. A kezdetben 1,5 m2 -en észlelhető alga hét napi növekedés után borította be teljesen a 27 m2 -es tavat. Számítsa ki, hogy naponta hányszorosára növekedett az algás terület! Egy parkbeli szökőkút medencéjének alakja szabályos hatszög alapú egyenes hasáb. A szabályos hatszög egy oldala 2,4 m hosszú, a medence mélysége 0,4 m. A medence alját és oldalfalait csempével burkolták, majd a medencét teljesen feltöltötték vízzel. b) Hány m2 területű a csempével burkolt felület, és legfeljebb hány liter víz fér el a medencében? A szökőkútban hat egymás mellett, egy vonalban elhelyezett kiömlő nyíláson keresztül törhet a magasba a víz. Minden vízsugarat egy-egy színes lámpa világít meg. Mind- egyik vízsugár megvilágítása háromféle színű lehet: kék, piros vagy sárga. Az egyik látványprogram úgy változtatja a vízsugarak megvilágítását, hogy egy adott pillanatban három-három vízsugár színe azonos legyen, de mind a hat ne legyen azonos színű (például kék-sárga-sárga-kék-sárga-kék). c) Hányféle különböző látványt nyújthat ez a program, ha a vízsugaraknak csak a színe változik?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 466

Egy cirkuszi sátor egy forgáshenger palástjából és egy erre illeszkedő forgáskúp palást- jából áll. A henger és a kúp alapkörének a sugara egyaránt 18 méter. A sátor teljes magassága 10 méter, oldalfalának magassága 4 méter. Egy biztonsági előírás alapján az ilyen típusú sátorban a maximális nézőszámot úgy határozzák meg, hogy egy nézőre legalább 6 m3 légtér jusson. (A teljes légtér nagyságát a sátor üres állapotában kell kiszámítani.) a) Mekkora a maximális nézőszám ebben a sátorban? A cirkusz igazgatója úgy dönt, hogy 1000 fizető nézőt engednek be az előadásra. Egy felnőttjegy 800 Ft-ba, a gyerekjegy ennél 25%-kal kevesebbe kerül. Az előadás utáni elszámolásnál kiderül, hogy az 1000 jegy eladásából összesen 665 800 Ft bevétele volt a pénztárnak. b) Hány gyerek- és hány felnőttjegyet adtak el erre az előadásra? A cirkusz egyik produkciójában 10 artista négyszintes ember-piramist alkot a porond bejáratának háttal állva. A földön négyen állnak egymás mellett, rajtuk hárman, aztán ketten, legfelül pedig egy ember áll. Minden artistánál adott, hogy melyik szinten áll, de az egyes szinteken az artisták sorrendje tetszőleges. c) Hányféleképpen állhat fel az ember-piramis?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 484

A biliárdjáték megkezdésekor az asztalon 15 darab azonos mé- retű, különböző színezésű biliárdgolyót helyezünk el három- szög alakban úgy, hogy az első sorban 5 golyó legyen, a máso- dikban 4, a következőkben pedig 3, 2, illetve 1 golyó. (A golyók elhelyezésére vonatkozó egyéb szabályoktól tekint- sünk el.) a) Hányféleképpen lehet kiválasztani a 15-ből azt az 5 golyót, amelyet majd az első sorban helyezünk el? (Az 5 golyó sorrendjét nem vesszük figyelembe.) b) Hányféle különböző módon lehet az első két sort kirakni, ha a 9 golyó sorrendjét is figyelembe vesszük? Egy biliárdasztal játékterülete téglalap alakú, mérete 194 cm × 97 cm. A játékterület középpontja felett 85 cm-rel egy olyan (pontszerűnek tekinthető) lámpa van, amely fénykúpjának a nyílásszöge 100°. c) Számítással állapítsa meg, hogy a lámpa megvilágítja-e a játék- terület minden pontját!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 503

Három végzős diáknak olyan mobiltelefonja van, amelyen be lehet állítani, hogy hány számjegyű legyen a telefon bekapcsolásához szükséges számkód. Anna olyan kódot szeretne, amely ötjegyű, csak a 2-es és a 9-es számjegy szerepel ben- ne, mindkettő legalább egyszer. a) Hányféle kód közül választhat Anna? Béla kódja egy olyan hattal osztható, csupa különböző számjegyből álló háromjegyű szám, melynek minden számjegye prímszám, és amelynek számjegyei (balról jobbra ha- ladva) csökkenő sorrendben követik egymást. b) Adja meg Béla kódját! Gabi elfelejtette a saját kódját. Arra emlékszik, hogy hatjegyű volt, két 3-as, két 4-es, egy 5-ös és egy 6-os számjegy szerepelt benne. Gabi az ilyen kódok közül véletlensze- rűen kiválaszt egyet. c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy éppen a helyes kódot választja ki!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 540

Egy jégkrémgyártó üzem fagylalttölcséreket rendel. A csonkakúp alakú fagylalttölcsér belső méretei: felső átmérő 7 cm, alsó átmérő 4 cm, magasság 8 cm. a) Számítsa ki, hogy a tölcsérbe legfeljebb hány cm3 jégkrém fér el, ha a jégkrém - a csomagolás miatt - csak a felső perem síkjáig érhet! Ennek a tölcsérnek létezik olyan változata is, amelynek a belső felületét vékony csokolá- déréteggel vonják be. 1 kg csokoládé kb. 0,7 m2 felület bevonásához elegendő. b) Számítsa ki, hogy hány kilogramm csokoládéra van szükség 1000 darab tölcsér belső felületének bevonásához! Válaszát egész kilogrammra kerekítve adja meg! Egy fagylaltozóban hatféle ízű fagylalt kapható: vanília, csokoládé, puncs, eper, málna és dió. Andrea olyan háromgombócos fagylaltot szeretne venni tölcsérbe, amely kétféle ízű fagylaltból áll. c) Hányféle különböző háromgombócos fagylaltot kérhet, ha számít a gombócok sor- rendje is? (Például a dió-dió-vanília más kérésnek számít, mint a dió-vanília-dió.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7683

a) Egy sorozat tagjai azok a pozitív egész számok (növekvő sorrendben), amelyek 3-mal osztva 1 maradékot adnak. Adja meg a sorozat 56. tagját, és határozza meg, hogy hányadik tagja a sorozatnak az 1456. b) Írja fel az A(14 56) ponton átmenő, az y = 3x + 1 egyenletű egyenesre merőleges egyenes egyenletét! c) Adja meg a [-14 56] zárt intervallumon értelmezett 3 1x x + függvény érték- készletét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8543

A Föld Nap körüli pályájának hossza kb. 939 millió km. A Föld egy teljes Nap körüli kört kb. 365,25 nap alatt tesz meg. a) Számítsa ki, hogy hány km/h a Föld átlagsebessége egy teljes kör megtétele során! A Naprendszer Naptól legtávolabbi bolygója a Neptunusz, mely kb. 4,2 fényóra távol- ságra van a Naptól. A fényóra az a távolság, melyet a fény egy óra alatt megtesz. b) Számítsa ki a Neptunusz kilométerben mért távolságát a Naptól! Válaszát normál- alakban adja meg! (A fény egy másodperc alatt kb. 300 000 km-t tesz meg.) A Naprendszer bolygói: Merkúr, Vénusz, Föld, Mars, Jupiter, Szaturnusz, Uránusz és Neptunusz. Egy földrajzdolgozatban a Naptól való távolságuk sorrendjében kell megadni a bolygókat. Judit csak abban biztos, hogy a Föld a harmadik a sorban, a Neptunusz pedig a legutolsó. Ezeket helyesen írja a megfelelő helyre. Emlékszik még arra is, hogy a Nap- hoz a Merkúr és a Vénusz van a legközelebb, de a sorrendjüket nem tudja, így e két bolygó sorrendjére is csak tippel. Végül a többi négy bolygó nevét véletlenszerűen írja be a meg- maradt helyekre. c) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy Judit éppen a helyes sorrendben adja meg a bolygókat! A nyolc bolygó nevét egy-egy cédulára felírjuk, és ezeket beletesszük egy kalapba. Két- szer húzunk a kalapból véletlenszerűen egy-egy cédulát. d) Visszatevéses vagy visszatevés nélküli húzás esetén nagyobb a valószínűsége an- nak, hogy legalább az egyik kihúzott cédulán a Föld neve szerepel? (Visszatevéses húzás esetén az először húzott cédulát a második húzás előtt visszatesszük, vissza- tevés nélküli húzás esetén nem tesszük vissza.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9770

Adottak a koordináta-rendszerben az A(0 4), B(1 0), C(6 2) és D(5 6) pontok. a) Írja fel az A és B pontokra illeszkedő egyenes egyenletét! b) Mutassa meg, hogy az ABCD négyszög paralelogramma! c) Számítsa ki az ABCD paralelogramma B csúcsánál lévő belső szög nagyságát! A sokszögeket a csúcsaikhoz írt nagybetűkkel jelöljük (pl. ABCD, EFGH). A betűzés akkor szabályos, ha valamelyik csúcsból kiindulva és az egyik körüljárási irányban ha- ladva a betűk ábécésorrendben követik egymást. d) Egy négyszög négy csúcsához az E, F, G és H betűket írjuk véletlenszerű sorrend- ben. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a betűzés szabályos lesz?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10229

Egy gyorsvonat (a mozdony mögött) öt másodosztályú személykocsiból, egy kerékpárszállító kocsiból, valamint egy étkezőkocsiból áll. a) Hányféle sorrendben állíthatják össze a hét kocsit, ha a másodosztályú személykocsikat nem különböztetjük meg egymástól? b) Hány Ft annak a vonatjegynek a kedvezmény nélküli ára, melyért (jegykiadó automatából vásárolva) 3040 Ft-ot fizettünk? c) Hányszor utazott ebben a hónapban Ábel ezen a 30 km-es távolságon, ha a havi tanulóbérlet ára 2140 Ft, míg egy menetjegy automatából vásárolva 266 Ft volt? d) Mennyibe került az adott utazáson egy teljes árú menetjegy, és mennyibe került egy gyorsvonati pótjegy?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10971

Több mint 60 éves Magyarország egyik kedvelt desszertje, a csokoládéval bevont túrórúd. Az egyik automatába 300 Ft-ot kell bedobni, ha egy ilyen terméket vásárolunk. A gép csak 100 Ft-os és 50 Ft-os érméket fogad el. a) Hányféleképpen lehet ilyen érmékből 300 Ft-ot bedobni az automatába, ha a bedobás sorrendje is számít? (Az azonos címletű érméket nem különböztetjük meg egymástól.) Anna 2 darab tejcsokoládé és 4 darab étcsokoládé bevonatú desszertet vásárolt. A hat desszert közül Balázs véletlenszerűen kiválaszt hármat (visszatevés nélkül). b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy darab tejcsokoládé és két darab étcsokoládé bevonatú desszertet választ ki Balázs? A desszert készítésekor egy 18 mm átmérőjű, 100 mm hosszúságú lehűtött túróhenger köré csokoládébevonatot dermesztenek. A kész desszert alakja egy 20 mm10 mm102 mm méretű téglatest és egy 20 mm átmérőjű, 102 mm hosszúságú félhenger egyesítésének tekinthető. (A jobb oldali ábrán a desszert keresztmetszeti rajza látható.) Hány cm3 csokoládé kerül egy desszertbe?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11445

A tengerszint felett h kilométer magasságban mérhető p(h) légnyomás jól közelíthető a következő képlettel: p h p ( ) (0) 10 .     0,054 h A képletben p(0) jelöli a tengerszinten mérhető légnyomást, ami 101 325 Pa. (A Pa – azaz pascal – a légnyomás mértékegysége.) a) A Föld legmagasabb hegycsúcsa, a Mount Everest 8848 méter magas. Számítsa ki a megadott képlettel, hogy mekkora a Mount Everest csúcsán mérhető légnyomás! b) A képlet alapján hány méter magasságban lesz a légnyomás 60 000 Pa? Válaszát 100 méterre kerekítve adja meg! A Mount Everest meghódítását évtizedek óta kiemelt figyelemmel kíséri a közvélemény. Az alábbi táblázat azoknak a hegymászóknak a számát mutatja (születési hely alapján), akik 2024. szeptemberig legalább kétszer sikeresen feljutottak a csúcsra.2 Kontinens Hegymászók száma Ázsia 125 Amerika 70 Európa 50 Többi kontinens 23 c) Ábrázolja kördiagramon a táblázatban szereplő hegymászók számának kontinensek szerinti megoszlását! Egy ötfős hegymászócsapat indul a csúcs felé. A csapat tagjai között van Ágnes és László. d) Hányféle sorrendben haladhatnak öten egymás után, ha Ágnes és László (valamilyen sorrendben) közvetlenül egymás után haladnak?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11446