Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) 1cossin 2 = xx b) 12 += xxx

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1505

Egy televíziókészülék termékleírásában szereplő 16 : 9-es típus azt adja meg, hogy mennyi a téglalap alakú tv-képernyő két szomszédos oldalhosszának aránya, a 40 colos jellemző pedig a képernyő átlójának a hosszát adja meg col-ban (1 col 2,54 cm). a) Számítsa ki a 40 colos, 16 : 9-es képernyő oldalainak hosszát! Válaszát cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! b) Két 16 : 9-es képernyő közül az elsőnek 69%-kal nagyobb a területe, mint a máso- diknak. Hány százalékkal nagyobb az első képernyő átlója, mint a másodiké?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1506

Egy kisvárosban hét nagyobb üzlet található. A tavalyi évben elért, millió forintra kere- kített árbevételeikről tudjuk, hogy az átlaguk 120 millió Ft, és ez megegyezik a medián- jukkal. A hét adat egyetlen módusza 100 millió Ft. Két üzletben éppen átlagos, azaz 120 millió forintos a kerekített bevétel, a legnagyobb bevétel pedig 160 millió forint volt. a) Számítsa ki a kerekített bevételek szórását! A városban az egyik ruhakereskedéssel foglalkozó kisvállalkozás 80%-os haszonkulcs- csal dolgozik. Ez azt jelenti, hogy például egy 10 000 Ft-os beszerzési értékű terméket 18 000 Ft-ért árulnak az üzletükben. Amikor akciós időszak van, akkor a rendes eladási árból 50%-os árengedményt adnak minden eladott termékre. b) Mekkora volt az eladásból származó árbevételnek és az eladott áru beszerzési érté- kének a különbsége (vagyis az árnyereség) a tavalyi évben, ha összesen 54 millió Ft volt az éves árbevétel, és ebből 9 millió Ft-ot az akciós időszakban értek el? A kisvállalkozás üzletében az egyik fajta férfizakóból négyféle méretet árusítanak (S, M, L, XL). Nyitáskor egy rögzített állvány egyenes rúdjára mindegyik méretből 4-4 darabot helyeztek el (minden zakót külön vállfára akasztva, egymás mellett). A nap folyamán ezek közül megvettek 4 darab S-es, 3 darab M-es és 2 darab L-es méretűt, a megmaradt zakók pedig összekeveredtek. c) Az üzlet zárásakor hányféle sorrendben lehetnek (balról jobbra nézve) a rúdra akasztva a megmaradt zakók, ha az azonos méretű zakókat nem különböztetjük meg egymástól?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1507

Adott a derékszögű koordináta-rendszerben három pont: A(-16 10), B(2 4), C(10 2). a) Számítsa ki az ABC háromszög B csúcsánál fekvő belső szögét! A K pont egyenlő távolságra van A-tól, B-től és C-től. b) Határozza meg a K pont koordinátáit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1508

Adott az f és g függvény: 12)( : += xxff RR 2)( : 2 = xxgg RR . a) Számítsa ki a 2f + g függvény zérushelyeit! b) Számítsa ki az f és g függvények grafikonja által közbezárt területet! c) Számítással igazolja, hogy a )( )( )( [5,0 ]: xf xg xhh = R függvény szigorúan monoton növekedő!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1509

Szétgurult 20 darab tojás az asztalon. Közülük 16 tojás ép maradt, de 4 tojásnak alig észrevehetően megrepedt a héja. Bori ezt nem vette észre, így visszarakosgatja a tojáso- kat a két tojástartóba. Először a sárga tartóba tesz tízet, majd a fehérbe a többit. a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy mind a 4 hibás tojás ugyanabba a tartóba kerül? Csenge sokszor vásárol tojásokat a sarki üzletben. Megfigyelése szerint a tojások közül átlagosan minden ötvenedik törött. (Ezt úgy tekintjük, hogy a tojások mindegyike 0,02 valószínűséggel törött.) b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy 10 tojást tartalmazó dobozban egynél több törött tojást talál Csenge? Egy csomagolóüzembe két termelő szállít tojásokat: az összes tojás 60%-a származik az A, 40%-a a B termelőtől. Az A termelő árujának 60%-a első osztályú, 40%-a másod- osztályú, a B termelő árujának 30%-a első osztályú és 70%-a másodosztályú. Az összes beszállított tojás közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet, és azt első osztá- lyúnak találjuk. c) Mekkora a valószínűsége, hogy az A termelő árujából való a kiválasztott tojás?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1510

Egy pénzintézet a tőle felvett H forint összegű hitel visszafizetésekor havi p%-os kamat- tal számol (p > 0), ezért az adós havi törlesztőrészletét a 1 )1( = n n n q qq Ht képlettel szá- mítja ki (minden hónapban ekkora összeget kell visszafizetni). A képletben 100 1 p q += , az n pedig azt jelenti, hogy összesen hány hónapig fizetjük a törlesztőrészleteket (ez a hitel futamideje). a) Fogyasztási cikkek vásárlására 1,6 millió forint hitelt vettünk fel a pénzintézettől a havi kamat 2%. Összesen hány forintot fizetünk vissza, ha 72 hónap alatt tör- lesztjük a felvett hitelt? Válaszát ezer forintra kerekítve adja meg! b) Legkevesebb hány hónapos futamidőre vehetünk fel egy 2 millió forintos hitelt, ha legfeljebb 60 ezer forintot tudunk havonta törleszteni, és a havi kamat 2%-os? c) Számítsa ki a n n t lim határértéket, ha q = 1,02 és H = 2 000 000.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1511

a) Igazolja a következő állítást: ha egy négyszög szögei valamilyen sorrendben egy számtani sorozat egymást követő tagjai, akkor a négyszög húrnégyszög vagy trapéz! b) Fogalmazza meg az előző állítás megfordítását, és döntse el a megfordított állítás- ról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! Egy geometriai építőkészletben csak olyan pálcikák vannak, amelyek hossza centimé- terben mérve egész szám, és mindenféle lehetséges hosszúság előfordul 1 cm-től 12 cm-ig. (Mindegyik fajta pálcikából elegendően sok van a készletben.) c) Hány különböző módon választhatunk ki 4 pálcikát a készletből úgy, hogy belőlük egy 24 cm kerületű érintőnégyszöget lehessen építeni? (Két kiválasztást különbözőnek tekintünk, ha az egyik kiválasztás 4 pálcikája nem állítható párba a másik kiválasztás 4 pálcikájával úgy, hogy mind a 4 párban egyenlő hosszú legyen a két pálcika. Tudjuk továbbá, hogy ha a, b, c, d pozitív számok, és a + c = b + d, akkor az a, b, c, d hosszúságú szakaszokból szerkeszthe- tő négyszög.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1512

a) Egy kocka és egy gömb felszíne egyenlő. Bizonyítsa be, hogy a gömb térfogata nagyobb, mint a kockáé! Két fémkocka összeolvasztásával egy nagyobb kockát készítünk. Az egyik beolvasztott kocka egy élének hossza p, a másiké pedig q (p > 0, q > 0). (Feltesszük, hogy az össze- olvasztással kapott kocka térfogata egyenlő a két összeolvasztott kocka térfogatának összegével.) b) Igazolja, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíne 3 233 )(6 qp + . c) Bizonyítsa be, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíne kisebb, mint a két összeolvasztott kocka felszínének összege!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1513