a) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert, ahol x és y pozitív valós számok! 2 lg 2 lglg 2,0 yxyx yx b) Oldja meg a [- ] halmazon a 2cossin2 2 xx egyenletet!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4303

Két várost egy 195 km hosszú vasútvonal köt össze. Ezen a vonalon személyvonattal is és gyorsvonattal is el lehet jutni egyik városból a másikba. A személyvonat átlagsebes- sége 18 km/h-val kisebb a gyorsvonaténál, menetideje így 45 perccel több. a) Határozza meg a vonatok átlagsebességét! Az egyik hét munkanapjain utasszámlálást végeztek a személyvonaton. Hétfőn 200, ked- den 160, szerdán 90, csütörtökön 150 utast jegyeztek fel. b) Hány utas volt pénteken, ha tudjuk, hogy az öt adat átlaga is szerepel az adatok között, továbbá az adatok (egyetlen) módusza nem egyenlő a mediánjukkal?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4304

a) Az ABCD négyzet körülírt körén felvettünk egy olyan P pontot, amelyik nem csúcsa a négyzetnek. Bizonyítsa be, hogy 2222 DPBPCPAP . Egy cég az általa forgalmazott poharakat négyesével cso- magolja úgy, hogy a poharakhoz még egy tálcát is ad aján- dékba. A 20 cm (belső) átmérőjű, felül nyitott forgáshen- ger alakú tálcára négy egyforma (szintén forgáshenger alakú) poharat tesznek úgy, hogy azok szorosan illeszked- nek egymáshoz és a tálca oldalfalához is. b) Igazolja, hogy a poharak alapkörének sugara nagyobb 4,1 cm-nél! A pohár fala 2,5 mm vastag, belső magassága 11 cm. c) Igaz-e, hogy a pohárba belefér 5 dl üdítő?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4305

Az f: R R, 2712)( 2 xxxf függvény grafikonja a derékszögű koordináta-rend- szerben parabola. a) Számítsa ki a parabola és az x tengely által bezárt (korlátos) síkidom területét! b) Írja fel a parabolához az )8 5( E pontjában húzott érintő egyenletét! c) Számítsa ki a parabola fókuszpontjának koordinátáit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4306

a) Határozza meg a c számjegy lehetséges értékeit, ha tudjuk, hogy 281c nem osztható 6-tal, 693c nem osztható 36-tal, 53cc pedig nem osztható 15-tel! ( pqrs azt a négy- jegyű számot jelöli, melynek első számjegye p, további számjegyei pedig rendre q, r és s.) b) Igazolja, hogy nincs olyan n pozitív egész szám, amelyre 164 nn osztható 8-cal! c) Igazolja (teljes indukcióval vagy más módszerrel), hogy 164 nn minden n pozi- tív egész szám esetén osztható 9-cel!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4307

Egy fémlemezből készült, forgáshenger alakú hordóban 200 liter víz fér el. a) Mekkora területű fémlemez kell a 80 cm magas, felül nyitott hordó elkészítéséhez, ha a gyártása során 12%-nyi hulladék keletkezik? Egy kisvállalkozásnál több különböző méretben is gyártanak 200 literes, forgáshenger alakú lemezhordókat. b) Mekkora annak a 200 liter térfogatú, felül nyitott forgáshengernek a sugara és magassága, amelynek a legkisebb a felszíne?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4308

Egy baktériumtenyészet szaporodását laboratóriumi körülmények között vizsgálják. Az első órában 4 mikrocellát fertőznek meg baktériumokkal. A második órában a baktériu- mok szaporodni kezdenek, így további 3 cella fertőződik meg. A megfigyelés szerint ez- után szabályszerűvé válik a baktériumok szaporodása: minden órában annyi új fertőzött cella keletkezik, ahány korábban összesen volt. (A harmadik órában 4 + 3 = 7 új fertőzött mikrocella keletkezik, a negyedik órában 14, és így tovább.) a) Ha a baktériumok szaporodásához továbbra is biztosítanák a megfelelő körülménye- ket, akkor az összes fertőzött mikrocella száma hányadik órában haladná meg a tíz- milliót? A biológiaórán egy kezdetben tízmilliós baktériumhalmaznak a környezethez való alkal- mazkodását modellezik a tanulók. Egy szabályos dobókockával dobnak, és ha a dobás eredménye 1, 2 vagy 3, akkor egymillió baktérium elpusztul. Ha a dobás eredménye 4 vagy 5, akkor nem történik semmi. Ha a dobás eredménye 6, akkor újabb egymillió baktérium keletkezik. A dobást többször egymás után megismétlik. b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy hét dobás után a baktériumok száma leg- feljebb ötmillió lesz!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4309

a) Ha egy háromszög szabályos, akkor a körülírt körének középpontja megegyezik a beírt körének középpontjával. Fogalmazza meg a fenti (igaz) állítás megfordítását, és igazolja, hogy a megfordított állítás is igaz! Az egységnyi oldalú ABC szabályos háromszög minden csúcsánál behúztunk egy-egy szögharmadoló egyenest, így az ábrán látható PQR szabályos háromszöget kaptuk. b) Számítsa ki a PQR háromszög oldalának hosszát! A piros, kék, zöld és sárga színek közül három szín felhasz- nálásával úgy színezzük ki az ábrán látható ABQ, BCQ, CQR, ACP és PQR háromszögek belsejét, hogy a közös határszakasszal rendelkező háromszögek különböző színű- ek legyenek. (Egy-egy háromszög színezéséhez csak egy- egy színt használunk.) c) Összesen hány különböző színezés lehetséges?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4310

Egy pár kesztyű árát először p százalékkal csökkentették, majd a csökkentett ár p + 4,5 százalékával tovább mérsékelték. A kétszeri árcsökkentés után a kesztyű 18,6%-kal olcsóbb lett, mint az árcsökkentések előtt volt. a) Határozza meg a két árcsökkentés százalékos értékét! Egy fiókban három pár kesztyű van összekeveredve: az egyik pár fekete, a másik szürke, a harmadik piros. (A három pár kesztyű csak a színében különböző.) A fiókból egyesével elkezdjük kihúzni a kesztyűket úgy, hogy húzás előtt nem nézzük meg a kesztyű színét, és a kihúzott kesztyűket nem tesszük vissza a fiókba. Addig foly- tatjuk a húzást, amíg lesz két azonos színű kesztyűnk. b) Határozza meg annak a hat eseménynek a valószínűségét, hogy ehhez 1, 2, 3, 4, 5, illetve 6 kesztyű kihúzására lesz szükség, majd számítsa ki a húzások számának vár- ható értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4311