Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket! a) lg x < 2 b) 2 54 xx c) 25,05,0 3 x

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4318

Noémi első egyetemi vizsgája három részből áll: egy projektmunkából, egy írásbeli dol- gozatból, valamint egy szóbeli feleletből. Mindhárom rész eredményét százalékban adják meg. A vizsga végeredményét egyetlen számmal jellemzik úgy, hogy kiszámolják a három rész százalékban megadott eredményének súlyozott számtani közepét: a projektmunka ered- ményét 2-es súllyal, az írásbeli dolgozat eredményét 5-ös súllyal, a szóbeli felelet ered- ményét 3-as súllyal veszik figyelembe. Noémi projektmunkája 73%-os, írásbeli vizsgája 64%-os lett. a) Hány százalékra kell teljesítenie a szóbeli vizsgáját, hogy vizsgájának végeredmé- nye legalább 70%-os legyen? Az első évfolyam adatainak összesítésekor kiderült, hogy a 75 lány vizsgaeredményeinek átlaga 70%, a fiúk vizsgaeredményeinek átlaga 62% lett. A kollégiumban lakó 40 hallgató vizsgaeredményeinek átlaga 71%, a nem kollégistáké pedig 65% lett. b) Hányan vizsgáztak összesen az első évfolyamról?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4319

Egy baráti társaság 8 tagjának tömegét mutatja az alábbi táblázat. név Albert Bori Csaba Dénes Elek Frigyes Gabi Helga tömeg (kg) 82 74 90 88 85 85 63 71 a) Adja meg a 8 adat mediánját, átlagát és szórását! Ez a 8 ember lifttel szeretne feljutni egy épület legfelső emeletére, ahol a baráti társaság rendezvényét tartják. A kisméretű lift ajtaján ez a felirat áll: Max. 3 személy vagy 230 kg (vagyis a liftben nem utazhat 3-nál több személy, továbbá a liftben utazók tömegének összege nem lehet több 230 kg-nál). b) Igazolja, hogy a lift három fordulója már elegendő ahhoz, hogy (az előírás betartá- sával) mind a 8 ember lifttel mehessen fel a rendezvény helyszínére! A lift felújításakor a liftben együtt utazók megengedett össztömegét 300 kg-ra növelik, de a személyek számára vonatkozó korlátozás megmarad (legfeljebb 3 fő utazhat együtt). c) Az új előírás figyelembevételével hányféleképpen mehetne fel a baráti társaság 8 tagja a lifttel, ha minden fordulóban legalább két személy utazna együtt? (Két fel- jutást különbözőnek tekintünk, ha legalább egy csoport összetétele nem azonos a két feljutásban, vagy a csoportok más sorrendben jutottak fel a legfelső emeletre.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4320

a) Mekkora területű síkidomot zár közre az 62 xxy egyenletű parabola és az x - y + 2 = 0 egyenletű egyenes? Az 62 xxy egyenletű parabola az x tengelyt az A és a B pontban metszi. b) Számítsa ki a parabola B pontbeli érintőjének meredekségét, ha tudjuk, hogy a B pont első koordinátája pozitív!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4321

Az interneten érdekes hírként jelent meg 2015-ben, hogy a matematikusok újabb, egybe- vágó ötszögekből álló hézagmentes síklefedést (parkettázást) fedeztek fel. (A két ábrán a parkettázás egy részlete, illetve a parketta egyik ötszögének néhány adata látható: EA = AB = CD = 1, BC = 2, EAB = 90º, ABC = 150º, BCD = 60º.) a) Igazolja, hogy az ábrán megadott ötszög B csúcsából húzott két átló 75°-os szöget zár be egymással! b) Igazolja (például addíciós tételek segítségével), hogy 4 26 75cos . c) Igazolja, hogy az ötszög DE oldala hosszának pontos értéke 32 . d) Igazolja, hogy 2 26 32 .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4322

a) Az A és C kijelentések logikai értéke igaz, a B kijelentés logikai értéke hamis. Határozza meg az alábbi állítások logikai értékét! (Válaszait itt nem szükséges indokolnia.) (1) A B (2) (A B) C (3) B A (4) A B (5) A (B C) A H halmaz a tízpontú egyszerű gráfok halmaza. A következő állítás a H elemeire vonat- kozik: Ha egy (tízpontú egyszerű) gráfnak legfeljebb 8 éle van, akkor nem tartalmaz kört. b) Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását a H elemeire vonatkozóan, és döntse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! Egy tízpontú teljes gráf élei közül véletlenszerűen kiválasztunk három különbözőt. (Teljes gráf: olyan egyszerű gráf, melynek bármely két pontja között van él.) d) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a három kiválasztott él a gráfnak egy körét alkotja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4323

a) Hány olyan különböző hegyesszögű háromszög van, melynek szögei fokban mérve különböző egész számok, és a szögek egy növekvő számtani sorozat egymást követő tagjai? (Két háromszöget különbözőnek tekintünk, ha nem hasonlók egymáshoz.) b) Igazolja, hogy nincs olyan szabályos n-szög, amelynek a belső szögei n fokosak! c) Egy szabályos n-szögről tudjuk, hogy a belső szögei fokban mérve egész számok. Hányféle lehet az n értéke?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4324

Járványos időszakban egy nagyváros lakóinak 0,2%-a fertőzött a járványt okozó vírussal. Ebben az időszakban a város lakói közül 80-an ugyanazon az autóbuszon utaznak. a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy az autóbusz 80 utasa között van legalább egy fertőzött? Válaszát két tizedesjegyre kerekítve adja meg! A járvány terjedésére vonatkozó előrejelzések szerint a nagyvárosban a fertőzöttek száma minden nap az előző napi érték 105%-ára növekszik. b) Ha a növekedés üteme az előrejelzés szerint alakulna, akkor hány nap alatt emel- kedne a város összlakosságának 0,2%-áról az összlakosság 1%-ára az összes fertő- zött száma? Egy kereskedelmi forgalomban is kapható gyorsteszt azt ígéri a felhasználóknak, hogy a teszt kimutatja a vírusfertőzést. A termék leírásában ez áll: A teszt a vírussal fertőzött embereknél 99% valószínűséggel mutatja ki a fertőzöttséget. A vírussal nem fertőzött em- berek esetében olykor szintén fertőzöttséget jelez a teszt, ám ennek a téves jelzésnek a valószínűsége mindössze 4%. c) Tudjuk, hogy a város lakosságának 0,2%-a fertőzött a járványt okozó vírussal. Mutassa meg, hogy ha egy véletlenszerűen választott városlakó gyorstesztje fertő- zöttséget mutat, akkor 0,05-nál kisebb annak a valószínűsége, hogy a tesztalany va- lóban vírusfertőzött (tehát a gyorsteszt nem a fertőzöttség megbízható kimutatására alkalmas)!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4325

Több részletben összesen 350 tonna árut szeretnénk vasúton elszállíttatni. Az egyik szál- lítócég árajánlatában a szállítási díj két összetevőből áll. Egyrészt a szállított áru tömegé- nek négyzetével arányos díjat kell fizetnünk, másrészt az áru tömegétől független állandó alapdíjat is felszámítanak: ha egyszerre t tonna áru elszállítását rendeljük meg, akkor ezért 205 10 2 t eurót kell fizetnünk. a) Igazolja, hogy ha két részletben (két alkalommal) szállíttatnánk el a 350 tonna árut, akkor a vasúti költség abban az esetben lenne a legkisebb, ha az árut két egyenlő tömegű részre osztanánk! A vasúti szállítás költségének csökkentése érdekében a 350 tonna tömegű árut n egyenlő részre osztjuk, és azt tervezzük, hogy minden egyes alkalommal egy-egy részt szállítta- tunk el a vasúttal. (n N+ ) b) Igazolja, hogy a szállítócég ajánlata szerint az n alkalommal történő vasúti szállítás költsége összesen n n 205 25012 euró lenne! A vasúti szállítás költségén kívül figyelembe kell vennünk azt is, hogy ha a 350 tonna árut n egyenlő tömegű részre akarjuk szétosztatni, akkor a munka elvégzéséért nekünk 400)1( n eurót kell fizetnünk. (n N+ ) c) Hány egyenlő tömegű részletre bontva lenne a legolcsóbb a 350 tonna áru elfuva- roztatása?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4326