Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) 2 2 2 31 2 8 0x x+ + = b) 3 4sin sin 0x x =

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8951

Több település közötti legkisebb költségű vezetékhálózat tervezésekor először egy teljes gráfot készítettek. Ebben a gráfban minden települést a gráf egy csúcsával, minden ve- zetékes kapcsolatot a gráf egy-egy élével jelöltek, majd a gráf minden élére ráírták, hogy mennyibe kerülne az adott kapcsolat kiépítése. Ezután egyesével kitörölték a költséges éleket úgy, hogy a törlés után megmaradó gráf összefüggő maradjon. A teljes gráf élei kétharmadának törlése után végül egy (a legkisebb költségű hálózatot megadó) fagráfot kaptak. a) Hány település szerepelt a tervben? Az őszi kispályás labdarúgó bajnokságban 10 település egy-egy csapata vett részt. Min- den csapat egy mérkőzést játszott mindegyik másik csapattal minden mérkőzés győztese 3, vesztese 0 pontot kapott, döntetlen esetén mindkét csapatnak 1-1 pont járt. A bajnokság végén a 10 csapatnak összesen 130 pontja volt. b) Hány mérkőzés végződött döntetlenre?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8952

Tekintsük az összes olyan hétjegyű természetes számot, amely az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 szám- jegyek mindegyikét tartalmazza. a) Az összes ilyen hétjegyű számot felírjuk egy-egy 0,5 cm × 2 cm-es téglalap alakú papírdarabra (minden papírdarabra egy hétjegyű számot írunk). Elegendő lesz-e a kis téglalapok elkészítéséhez 8 darab A4-es papírlap? (Az A4-es papírlap téglalap alakú, mérete 21 cm × 29,7 cm.) b) A megadott tulajdonságú hétjegyű számokat nagyság szerint növekvő sorba rendez- zük. Igazolja, hogy a 721. helyen a 2 134 567 áll! Egy 21 cm × 29,7 cm-es téglalap alakú (A4-es) papírlapot összehajtottunk az egyik átlója mentén (az ábra szerint). c) Számítsa ki, hogy mekkora az összehajtás után kétszeresen fedett síkrész területe!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8953

A tengerpart közelében, a vízszintes tengerfenékre négy érzékelő egységet telepítenek (A, B, C, D). A tervrajzon derékszögű koordináta-rendszerben adták meg három érzékelő helyzetét: A(0 -12,5), B(10 -7,5), C(48 14). a) Igazolja, hogy az A, B, C pontok nem illeszkednek egy egyenesre! A tervrajzon a koordinátatengelyeken megadott 1 egység távolság a valóságban 20 mé- ternek felel meg. b) Hány méter lehet az A és D érzékelők valódi távolsága, ha a D érzékelőt úgy telepí- tik, hogy az A-tól és a B-től egyenlő távolságra, C-től pedig 1000 méter távolságra legyen?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8954

Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk. Az első dobás eredményét egy számtani sorozat első tagjának, a második dobás eredményét a sorozat differenciájának tekintjük. a) Az így kapható sorozatok között hány olyan van, amelyben az első 10 tag összege kisebb 100-nál? (Két sorozatot különbözőnek tekintünk, ha az első tagjuk vagy a differenciájuk eltér egymástól.) Tekintsük az összes olyan négyjegyű pozitív egész számot, amelynek egyik számjegye sem 0. b) Hány olyan van ezek között, amelynek a négy számjegye (valamilyen sorrendben) egy számtani sorozat négy egymást követő tagja? Janka egy szabályos dobókockával négyszer dobott. Észrevette, hogy ha az ötödik dobá- sának értéke 3 lenne, akkor az öt dobás átlaga is 3 lenne. Ha az ötödik dobásának értéke 4 lenne, akkor az öt dobás mediánja is 4 lenne. Ha az ötödik dobásának értéke 5 lenne, akkor az öt dobás (egyetlen) módusza is 5 lenne. c) Mi lehetett Janka első négy dobása? (A dobások sorrendjétől eltekintünk.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8955

Egy r sugarú körcikk ívhossza i, a körcikk kerülete: 2r + i = 10 cm. a) Legyen a körcikk sugara 2 cm! Határozza meg a körcikk középponti szögét, T te- rületét, továbbá azon forgáskúp alapkörének R sugarát, amelynek ez a körcikk a pa- lástja! b) Igazolja, hogy a 10 cm kerületű körcikkek közül annak maximális a területe, amely- nek a középponti szöge 2 radián nagyságú! c) Döntse el, hogy az alábbi állítás igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! Egy 10 cm kerületű körcikk területe mindig kisebb, mint egy 20 cm kerületű körcikk területe.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8956

Egy dobozban 4 piros és 3 zöld golyó van. A dobozba beteszünk még s darab sárga golyót. A golyók közül visszatevéssel kihúzunk kettőt. a) Határozza meg s értékét, ha 0,09 annak a valószínűsége, hogy mindkét kihúzott go- lyó zöld! Egy dobozban 4 piros, 3 zöld és k darab kék golyó van (k 1). A golyók közül visszatevés nélkül kihúzunk hármat. b) Igazolja, hogy annak a valószínűsége, hogy három különböző színű golyót húzunk, 72 ( 7)( 6)( 5) k k k k+ + + . c) Határozza meg k értékét, ha annak a valószínűsége, hogy három különböző színű golyót húzunk, megegyezik annak a valószínűségével, hogy mindhárom kihúzott golyó kék!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8957

A Balaton vízfelületének hossza kb. 76,5 km, átlagos szélessége kb. 7,7 km. a) Számítsa ki a Balaton átlagos vízmélységét, ha a tóban levő vízmennyiség becsült térfogata 2 milliárd m3 ! Válaszát méterben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! Ádám és Misi szeretnék kerékpárral egy nap alatt megkerülni a Balatont. A tó körüli ke- rékpárút hossza 205 km. Reggel 7-kor indulnak. Mikor ebédszünetet tartanak, megálla- pítják, hogy átlagsebességük az ebédszünetig 16 km/h volt. A 60 perces ebédszünet után továbbindulnak. Hogy még sötétedés előtt célba érjenek, átlagsebességüket 20 km/h-ra növelik a hátralevő úton. Így valóban visszaérnek a kiindulási pontjukra este fél 8-ra. b) Mikor tartottak a fiúk ebédszünetet? A tó szélessége Balatonvilágos és Balatonalmádi között a legnagyobb, kb. 12,7 km. c) Legalább hány méterrel kell a vízfelszín fölé emelkednie a balatonvilágosi kikötő- ben elhelyezett jelzőoszlopnak ahhoz, hogy az oszlop tetején rögzített viharjelző ké- szülék fényjelzése - a Föld görbületét is figyelembe véve - látható legyen a bala- tonalmádi strandon fürdőzők számára is? (A Földet tekintsük egy 6370 kilométer sugarú gömbnek.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8958

Az ábrán az ]x1 x2 [ nyílt intervallumon értelmezett f függvény grafikonja, valamint az f első derivált- függvényének és az f második deriváltfüggvényé- nek grafikonja látható. A három függvény grafi- konját valamilyen sorrendben az a, b, c betűkkel jelöltük. Az alábbi táblázat A jelű állítása szerint az ábrán a jelöli az f függvényt, b jelöli az f első derivált- függvényét ( f ), és c jelöli az f második derivált- függvényét ( f ). Ehhez hasonlóan felsoroltuk az összes többi lehet- séges megfeleltetést is. a) Állapítsa meg a B, C, D, E, F állítások logikai értékét! Válaszait itt nem kell indokolnia. (Az A állítás hamis, ezt már megadtuk.) f f f az állítás igaz/hamis A a b c hamis B a c b C b a c D b c a E c a b F c b a b) A függvény és deriváltfüggvényei közötti kapcsolatokra alapozva indokolja meg, miért hamis az A állítás! Adottak a derékszögű koordináta-rendszerben az A, B, C, D pontok: A(0 4), B(0 1), C(p 1), D(p 4), ahol p > 0. Az 2 4 x y = egyenletű görbe felezi az ABCD téglalap területét. c) Igazolja, hogy p > 4, majd számítsa ki p értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8959