a) Igazolja, hogy bármely hat egymást követő természetes szám szorzata osztható 45-tel! b) Igaz-e, hogy bármely öt egymást követő páratlan természetes szám szorzata osztható 45-tel? (Válaszát indokolja!) c) Hány olyan megoldása van a 45 = 3 + 5 + a + b + c egyenletnek, amelyben a, b és c különböző páratlan természetes számok, és 5 < a < b < c is teljesül? d) Határozza meg az (A B) C állítás logikai értékét az A, B és C kijelentések különböző lehetséges logikai értékei esetén, és töltse ki ennek megfelelően az alábbi igazságtáblázatot! (Válaszait itt nem szükséges indokolnia.) A B C (A B) C i i i i i h i h i i h h h i i h i h h h i h h h

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10143

A Budavári Siklót 1870-ben építették. Korabeli források szerint a sikló (hegyoldali vasútvonal) kivitelezője, Wohlfarth Henrik a pálya eredeti tervekben szereplő kb. 33 fokos hajlásszögét - ma már nem tudni, milyen okból - 30 fokra csökkentette. A kivitelezés során a felső állomás helye változatlan maradt, az alsó állomás azonban a ter- vekhez képest 6 méterrel feljebb került. (Az alsó állomás tervezett és valóságos helyét összekötő képzeletbeli egye- nes merőleges a földfelszínre.) a) Határozza meg a sikló pályájának hosszát és a pálya szintemelkedését! A feljegyzések szerint a millennium évében, 1896-ban a sikló összesen 670 ezer utast szállított. Tételezzük fel, hogy a sikló egy napi üzemideje 14 óra volt, s kéthetente egy napra karbantartás céljából leállították a közlekedését, azaz megközelítőleg 340 napot üzemelt az év során. A me- netek közti átlagos követési időköz 10 perc volt. Akkoriban egy-egy kocsi egyszerre 22 utast szállíthatott. A pályán összesen két kocsi közlekedik: egy menetben az egyik felfelé, a másik lefelé halad ugyanabban az időben. b) A megadott adatok alapján számítsa ki, hogy kb. hány százalékos volt a férőhelyek átlagos kihasználtsága 1896-ban!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10144

Egy egyetemi előadáson 32-en ülnek a kisteremben. Ha négy lány távozna, akkor a jelen- lévők több mint 60%-a fiú lenne. Ha azonban a 32 főhöz további hat lány csatlakozna, akkor a jelenlévők több mint fele lenne lány. a) Hány fiú és hány lány lehet jelen az előadáson? Az egyetem több ezer hallgatójának 60%-a fiú, 40%-a lány. (Ezt tekinthetjük úgy, hogy 0,6 annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen választott hallgató fiú, és 0,4 annak a valószínűsége, hogy lány.) b) Ha az egyetem büféjében egy asztalhoz véletlenszerűen ül le négy hallgató, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy több fiú van közöttük, mint lány? Ha három lányhallgató találkozik véletlenszerűen, akkor 0,008 annak a valószínűsége, hogy mindegyikük rendszeresen sportol. c) A lányok hányadrésze sportol rendszeresen?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10145

Adott az 2 4 0x y = egyenletű parabola és az x - y = 5 egyenletű g egyenes. a) Igazolja, hogy a parabola fókuszpontja az F(0 1) pont! b) Írja fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a g egyenesen van, valamint átmegy a P(0 -1) ponton és a parabola F fókuszpontján is! c) Adja meg a parabola g egyenessel párhuzamos érintőjének egyenletét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10146

Kovács úr új autót vásárolt 5 millió forintért. Egy matematikai modell szerint az autó egy év alatt elveszíti az aktuális értékének 12%-át. a) Ha csak az értékvesztést vesszük figyelembe, akkor hány teljes év elteltével ér 1,5 millió forintnál kevesebbet Kovács úr autója? A Precíz Kft. havi amortizációval (értékvesztéssel) számolja ki a gépjármű aktuális érté- két. (Havi amortizáció: az autó értéke minden hónapban az előző havi értékének ugyan- akkora százalékával csökken.) b) Mutassa meg, hogy ha az éves értékvesztés 12%-os, akkor a havi amortizáció meg- közelítőleg 1,06%-os! Kovács úr szeretné eladni törésmentes és jó állapotú autóját a Precíz Kft.-nek. A Kft. szórólapján az áll, hogy kétféleképpen is kiszámítják az autó aktuális értékét, és az eladó számára kedvezőbb árat garantálják. I. módszer: a jelenlegi akciójukban 12 hónapot levonnak az autó valós életkorából, majd 1,06%-os havi amortizációval számolják ki az autó értékét. II. módszer: az autó által megtett kilométerek alapján számítják ki az autó életkorát úgy, hogy évente átlagosan 15 000 km-es megtett utat feltételeznek ebben az esetben azonban 1,2%-os havi amortizációval számolnak (az 1,06% helyett), és nincsen 12 hónap kedvezmény. c) Melyik számítási módszer a kedvezőbb Kovács úr számára, ha az autója 8 éves 5 hó- napos, és az autó eddig 91 250 km utat tett meg?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10147

a) Egy szabályos dobókockával hatszor dobtunk. A dobott számok egyetlen módusza, a mediánja és az átlaga - ebben a sorrendben - egy szigorúan monoton növekvő számtani sorozat három szomszédos tagja. Adjon meg egy megfelelő dobássorozatot, és igazolja, hogy a megadott dobássorozat a feltételeknek megfelel! Igaz-e, hogy a megadott hat szám szórása is tagja ugyanennek a számtani sorozatnak? b) Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a másodiknak dobott szám éppen a másik két dobott szám átlaga?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10148

a) Egy tömör fából készült forgáshenger magassága 30 cm, felszíne 10 000 cm2 . A hengerből egy olyan forgáskúpot készítenek, amelynek az alapköre és a magas- sága megegyezik a hengerével. A henger térfogatának hány százaléka lesz forgács, és mekkora a kúp térfogata? b) Határozza meg a 10 000 cm2 felszínű forgáshengerek közül a legnagyobb térfogatú henger alapkörének a sugarát és a henger magasságát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10149

A rejtvényújságok egyik kedvelt feladattípusa a számpiramis. Az előírás szerint a számpiramis üres mezőibe pozitív egész számokat kell írni úgy, hogy az egymás mellé kerülő számok ösz- szege megegyezzen a föléjük írt számmal. Az ábrán látható számpiramisban a 13, 7, 36, 29, 32 és a 65 kezdőszámok adottak. a) Számítsa ki a, b és c értékét! 1852-ben egy londoni diák az Anglia megyéit áb- rázoló térkép színezése közben úgy találta, hogy a megyék helyes színezéséhez legfeljebb négy színre van szükség. (Helyes színezés esetén a kö- zös határszakasszal rendelkező megyék külön- böző színűek.) A diák sejtésének általánosítása tetszőleges térképek esetére (négyszín-tétel) so- káig megoldatlan matematikai probléma volt. A térképrészleten Tolna megye és négy megye- szomszédja látható. Az öt megyét legfeljebb négy színnel színezzük ki (piros, sárga, kék és zöld). b) Hányféleképpen színezhető helyesen ez a térképrészlet? (Két színezés különböző, ha van legalább egy megye, melynek a két színezésben más a színe.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10150

a) Igazolja, hogy 2 2 1 1 2( 1) 1 n nn = ++ (n N+ ). b) Számítsa ki az 2 2 ( 1) 1 na n = + sorozat első négy tagjának az összegét! Válaszát a b alakban adja meg, ahol a és b relatív prím pozitív egész számok! c) Határozza meg a 1 2lim ( ... )n n a a a + + + határértéket!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10151