a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 2 1 (2 3) 2 9x x+ = + Legyen 2 ( ) 9 14f x x x= + , ahol x valós szám. Tekintsük a következő állítást: Ha x > 7, akkor f (x) > 0. b) Adja meg az állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja! c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását! Igaz-e az állítás megfordítása? Válaszát indokolja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10245

Margiték autójában a fedélzeti számítógép kiszámítja, hogy az autó üzemanyagtartályá- ban lévő benzin még hány kilométer megtételéhez elegendő. Nevezzük ezt hátralévő tá- volságnak. A számításhoz a gép a legutolsó tankolás óta mért átlagos fogyasztást veszi alapul, és úgy számol, hogy az autó a jövőben is ezzel az átlagfogyasztással fog haladni. A legutóbbi tankolás alkalmával teletöltötték az autó üzemanyagtartályát, így 45 liter benzin volt benne. A tankolás óta éppen 200 kilométert tettek meg a városban, ekkor az autó átlagfogyasztása 10 liter volt 100 kilométerenként. a) Számítsa ki a városi autózás után a hátralévő távolságot! A 200 kilométeres városi autóhasználatot követően Margiték egynapos autós kirándulást tettek vidéken, ezalatt összesen 100 kilométert autóztak (újabb tankolás nélkül). A kirán- dulás végén a kijelző alapján 200 kilométerre elegendő benzin maradt, azaz ennyi lett a hátralévő távolság. b) Mennyi volt az autó 100 km-re vonatkozó átlagfogyasztása a kirándulás során?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10246

a) Hány olyan pozitív háromjegyű szám van a tízes számrendszerben, amely a 8 és a 9 számok közül legalább az egyikkel osztható? b) A 8-as számrendszerben háromjegyű pozitív egész számok közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott szám a 9-es számrendszerben is háromjegyű?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10247

Egy többnapos nemzetközi matematikakonferencia minden résztvevője belépőkártyát kap, amelyen a PQRST konvex öt- szög és annak átlói láthatók. A szervezők úgy tervezik, hogy egy-egy belépőkártyán az ötszög oldalai és átlói közül vala- hányat (egyet vagy többet, akár az összeset, de az is lehet, hogy egyet sem) megvastagítanak, így a különböző szemé- lyek különböző ábrájú kártyát kapnak. Az elektronikus kapu optikai leolvasója ez alapján engedélyezi a belépést, és el- végzi a személy regisztrációját. (Két belépőkártya külön- böző, ha az egyiken szerepel olyan megvastagított szakasz, amelyik a másikon nem.) A konferenciának 400 résztvevője lesz. a) Jut-e mindenkinek különböző belépőkártya? A konferencia épülete egy háromszög alakú területen van. Ha a háromszög csúcsai A, B és C, akkor AB = AC = 130 méter, és BC = 100 méter. A háromszög alakú területet ketté- osztja az egyenes CD kerítés úgy, hogy a BCD háromszög alakú rész területe 2000 m2 . (D az AB oldalon van.) b) Milyen hosszú a CD kerítés? A konferencián 200 magyar, 70 angol és 130 német matematikus vesz részt. Az angolok életkorának átlaga 44 év, a németeké 48 év, az összes résztvevő életkorának átlaga 45,7 év. c) Mennyi a magyar résztvevők életkorának átlaga?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10248

Tekintsük az (a n) sorozatot: 1 2 1 2 a = = , 2 3 3 2 a = = , 3 4 6 2 a = = és így tovább, 1 2 n n a + = (n N+ ). a) Számítsa ki az (a n) sorozat első öt tagjából álló számsokaság átlagát és szórását! b) A fenti (a n) sorozatból képezzük a (bn) sorozatot: 1n n n a b a + = . Mennyi a (bn) sorozat határértéke? A (c n) számtani sorozat differenciája 0,25. A sorozat első n tagjának összege 100, első 2n tagjának összege 300 (n N+ ). c) Határozza meg n értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10249

Az ókori egyiptomiak az egyenlő szárú háromszög területét (közelítő módszerrel) úgy számolták ki, hogy az alap és a szár szorzatának a felét vették.1 a) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 18 cm hosszú. Mekkora lehet a szára, ha az ókori egyiptomiak módszere e háromszög valódi területét 25%-nál kisebb hibával adja meg? Az ókori Egyiptom matematikájában a számok négyzetének is jelentős szerep jutott. b) Hány olyan 1000-nél kisebb pozitív egész szám van, amellyel az 1 2 3 4 5 6 szá- mot megszorozva négyzetszámot kapunk?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10250

A statisztikai értékelések során szükség van az adatokat és összefüggéseket szemléltető pontok és egyenesek köl- csönös helyzetének jellemzésére. Egy ilyen jellemző lehet a pontnak egy megadott egyenestől mért függőleges tá- volsága. Az ábrán látható P1 , P2 , P3 , P4 pontok esetén a függőleges távolságok rendre a d1 , d2 , d3 , d4 szakaszok hosszával egyenlők. (A távolságokat megadó szakaszok párhuza- mosak az y tengellyel.) a) Határozza meg az R(4 2) és az S(4 5) pontok füg- gőleges távolságát az 1 5 3 3 y x= + egyenestől! Ha a derékszögű koordináta-rendszerben az adatokat pontokkal jelenítjük meg, és külön- böző egyeneseket veszünk fel, akkor mindegyik egyeneshez kiszámítható a pontok füg- gőleges távolságainak négyzetösszege (az ábrán látható példában 2 2 2 2 1 2 3 4d d d d+ + + ). Tekintsük azt az egyenest a pontokra legjobban illeszkedő egyenesnek, amelyre ez a négy- zetösszeg a lehető legkisebb. Adott három pont a koordináta-rendszerben: A(1 3), B(3 5) és C(4 4). b) Adja meg az m értékét úgy, hogy az y = mx egyenletű (origón átmenő) egyenes a megadott módszer szerint a legjobban illeszkedjen az A, B és C pontokra! (m R) Az 21 ( 2 11 ) 3 y x x= + egyenletű g görbe áthalad a megadott A és B pontokon, a h egyenes pedig az origón és a C ponton. c) Mekkora a g és h által közbezárt korlátos alakzat területe?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10251

Egy áruházláncban minden Kocka csokoládé vásárlásakor a csoki mellé ajándékba adnak egy zsákbamacska csomagot, amelyben egy kis fémkocka van. A fémkocka mindegyik lapja sárga vagy kék színűre van festve úgy, hogy mind a két színű lap előfordul. a) Igazolja, hogy (színezés szerint) összesen 8-féle kocka van, ha a forgatással egy- másba vihető színezéseket nem tekintjük különbözőnek! b) Dórinak 7 különböző színezésű kockája van, így már csak egy hiányzik a teljes kész- lethez, hogy abból nyakláncot készítsen magának. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha 3 darab Kocka csokoládét vesz, akkor meglesz a teljes készlete? (Feltételezhetjük, hogy mindegyik kockafajta ugyanakkora valószínűséggel fordul elő a csomagokban.) Az ábrán látható ABCDEFGH kocka élhosszúsága 10 egység. c) Számítsa ki az ABG háromszög beírt körének sugarát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10252

Két forgáshenger alakú viaszgyertyánk van. Az egyik gyertya alapkörének sugara r, ma- gassága h, a másik alapkörének sugara R, magassága szintén h. A két gyertyát összeol- vasztjuk, majd a viaszból egy ugyancsak h magasságú, forgáshenger alakú gyertyát ön- tünk (r, h, R > 0). a) Igazolja, hogy az így kapott gyertya alapkörének sugara legalább 2rR . (Az öntés során fellépő anyagveszteségtől eltekinthetünk.) Egy forgáshenger alakú tortát egy 15 cm sugarú, félgömb alakú védőbúra alatt helyezünk el. A torta a félgömb hatá- roló körének síkján áll, és a torta fedőlapjának határoló köre a félgömbre illeszkedik (az ábra szerint). b) Igazolja, hogy az m cm magasságú torta térfogata (köbcentiméterben mérve) 3 225 m m . (0 < m < 15) c) Igazolja, hogy a védőbúra alatt (a fent leírt módon) elhelyezhető maximális térfogatú torta térfogata kisebb, mint a félgömb térfogatának 60%-a!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10253