Az interneten található adatok1 alapján a napenergiát elektromos energiává alakító eszkö- zök maximális összteljesítményének magyarországi alakulását az alábbi táblázat szem- lélteti (megawattban mérve). év 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 összteljesítmény (MW) 12 35 77 168 225 300 640 1277 a) A fenti táblázat adatai alapján készült a következő táblázat, amely azt mutatja, hogy hányszorosára változott a maximális összteljesítmény az egymást követő években az előző évi maximális összteljesítményhez viszonyítva. A még hiányzó három szá- mot írja az alábbi táblázat üres mezőibe, majd számítsa ki a kapott 7 szám átlagát és szórását! év 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 ebben az évben a maximális össztelje- sítmény az előző évinek ennyiszerese: 2,92 2,18 1,33 2,00 A maximális összteljesítmény alakulását exponenciális növekedésűnek feltételezve egy táblázatkezelő program az első táblázatban megadott adatok alapján a ( ) 17,84 1,848x c x = közelítő összefüggést adja, ahol x a 2012 óta el- telt évek száma (x természetes szám), c(x) pe- dig MW-ban adja meg a maximális összteljesít- ményt a modell szerint. b) Hány százalékkal tér el a 2018. évi 640 MW-os adattól a modell alapján kiszámít- ható 2018-as érték? c) Oldja meg a valós számok halmazán a 17,84 1,848 40000x = egyenletet!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10831

Legyen a H alaphalmaz a pozitív egészekből álló számpárok halmaza, az A, B és C pedig a H alábbi részhalmazai: A = {(a b) | a és b relatív prímek} B = {(a b) | a osztója b-nek} C = {(a b) | a és b közül legalább az egyik prímszám}. (Ha a b, akkor az (a b) és a (b a) számpárokat különbözőnek tekintjük.) a) Az alábbi Venn-diagram két részébe beírtunk egy-egy számpárt. Írjon a diagram további hat üres részébe egy-egy megfelelő számpárt! Tekintsük a következő két állítást (a, b, c pozitív egészek)! I. Ha c osztója ab-nek, akkor c osztója a-nak vagy c osztója b-nek. II. Ha a osztója c-nek és b osztója c-nek, akkor ab osztója c-nek. b) Határozza meg a két állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszait indokolja! c) Fogalmazza meg az I. állítás megfordítását, és határozza meg a megfordítás logikai értékét! Ha a megfordítás igaz, akkor bizonyítsa be, ha pedig hamis, akkor mutasson ellenpéldát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10832

Egy vízszintesen futó egyenes alagút függőleges ke- resztmetszete egy olyan 8,1 m magas körszelet, amely egy 6 m sugarú körből származik. Az alagút hossza 340 m. (A kép illusztráció.) a) Mutassa meg, hogy a körszelet körívéhez (egész fokra kerekítve) 221°-os középponti szög tartozik a körben! b) Számítsa ki az alagút térfogatát! Az eredményt ezer m3 -re kerekítve adja meg! Az alagút íves belső felületét kerámiaburkolattal látták el. c) Hány m2 a kerámiával burkolt felület?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10833

Egy biogazdaságban az L-es (nagy) méretű tojásokat 10 Ft-tal drágábban adják, mint az M-es (közepes) méretű tojásokat. Egy kereskedő a múlt héten 450 tojást vásárolt a bio- gazdaságtól 25 800 Ft-ért. Ezen a héten is 450 tojást vásárol, de csak 23 700 Ft-ot fizet, mert ezen a héten az M-es tojások száma ugyanannyi, mint a múlt héten az L-es tojások száma volt (és így az L-es tojások száma ugyanannyi, mint a múlt héten az M-es tojások száma volt). a) Mennyibe kerül az M-es, illetve az L-es tojás darabja, és hány darab M-es tojást vásárolt a múlt héten a kereskedő? (A tojások egységára nem változott.) Balázs pontosan 4 tojásból szeretne rántottát készíteni magának. Van 6 tojás a hűtőben, amelyek közül 5 jó és 1 romlott (záp), de ezt ő nem tudja. Balázs sietősen, egymás után üti bele a tojásokat egy tálba. Ha 4 jó tojás kerül a tálba, akkor már készülhet is a rántotta, ha azonban két vagy három jó tojás után a romlott tojás kerül a tálba, akkor sajnos nem sikerül Balázs terve. (Ha romlott tojást üt a tálba, akkor azt Balázs rögtön észreveszi, és az egészet kiönti. Ám ha ekkor még maradt legalább 4 tojás a hűtőben, akkor újra nekilát a rántotta készítésének.) b) Számítsa ki, mennyi a valószínűsége annak, hogy Balázs elkészítheti a négytojásos rántottát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10834

Az ABCD húrnégyszögben AB = 15, BC = 10. Az ABC szöget a DB átló két részre osztja: ABD = 20°, DBC = 40°. a) Igazolja, hogy az AC átló hossza pontosan 5 7 ! b) Igazolja, hogy az ACD háromszög szögei 20°, 40° és 120°! c) Számítsa ki az ABCD négyszög területét! A KLMN deltoidban a K és az M csúcsnál derékszög van, a KM átló hossza 9,6 cm. Az LN szimmetriaátlót az átlók metszéspontja két olyan szakaszra osztja, amelyek hosszának különbsége 2,8 cm. d) Számítsa ki a deltoid területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10835

a) Három lány és négy fiú moziba megy. Egy sorba szól a jegyük, hét egymás melletti székre. Hányféle sorrendben ülhetnek le, ha két lány nem ülhet egymás mellé? b) A nézőtéren az első és a második sorban már csak 3-3 szabad ülőhely van. A máso- dik sor szabad ülései pontosan az első sor szabad ülései mögött vannak. Hányféleképpen tud leülni egy hatfős társaság a hat szabad helyre úgy, hogy a má- sodik sorban mindenki magasabb legyen a közvetlenül előtte ülőnél? (A hat személy magassága különböző.) c) Egy 8 pontú egyszerű gráfnak 13 éle van, és az egyik pontjának a fokszáma 6. Igazolja, hogy van hárompontú kör (gráfelméleti háromszög) a gráfban!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10836

A mérnökök egy új fejlesztésű autó üzemanyag-fogyasztását igyekeznek meghatározni különböző sebességek mellett. Eddig három mérési adat áll rendelkezésre: ezek szerint 40 km/h sebesség mellett 9,6 liter, 70 km/h sebesség mellett 6,9 liter, 120 km/h sebesség mellett pedig 6,4 liter a 100 km-enkénti üzemanyag-fogyasztás. a) A mérési adatokkal számolva mennyi lenne ennek az autónak a 100 km-re vonat- kozó átlagos üzemanyag-fogyasztása egy olyan úton, amelyen 30 percig 40 km/h sebességgel, majd 50 percen át 120 km/h sebességgel halad? Három mérnök olyan f függvényeket keres, amelyek minél jobban közelítik az ismert mérési eredményeket, azaz amelyekre az (40) 9,6 (70) 6,9 (120) 6, 4f f f + + ösz- szeg értéke minél kisebb. Mérnök Csaba az elsőfokú 1 ( ) 11, 2 0,04f x x= függvényt, Mérnök Dóra pedig az 2 100 ( ) 4 10 x f x = + abszolútérték-függvényt javasolja az autó 100 km-enkénti fogyasz- tásának közelítésére (x az autó sebességét jelöli km/h-ban mérve, a fogyasztást pedig li- terben kapjuk meg). b) Az f1 vagy az f2 függvény közelíti-e jobban a fenti értelemben a három mérési ered- ményt? Mérnök Elemér azt a másodfokú 2 3 ( )f x ax bx c= + + függvényt kereste meg, amely mindhárom mérési adat esetén pontos eredményt ad, azaz f3 (40) = 9,6 f3(70) = 6,9 és f3 (120) = 6,4. c) Határozza meg az a, b és c paraméterek értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10837

Egy nyári fesztiválon a résztvevők a Szerencsekerekek nevű játékkal tehetik próbára a szerencséjüket. Egy játék során a játékosnak két kereket kell külön-külön megforgatnia. A kerekek a forgatás után véletlenszerűen állnak meg valamelyik számnál. (Az azonos keréken lévő körcikkek középponti szöge egyenlő, a kilenc körcikk mindegyikén van egy-egy szám, a 100, a 200 vagy a 800.) A forgatás előtt egy játékért 200 forintot kell fizetni. Ha a forgatás után a két kerék ugyanannál a számnál áll meg, akkor any- nyi forintot kap nyereményként a játékos, amennyi a két szám összege. (Ha például az ábrán látható módon mind- két kerék a 200-as feliratnál áll meg, akkor 200 + 200 = 400 forintot kap a játékos.) Ha a két kerék két különböző számnál áll meg, akkor a játékos nem kap pénzt. a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy 10 játék során az 1. kerék pontosan négyszer áll meg 100-as számnál? Egy játékot játszva a két kerékkel, a nyereménynek és a játék árának különbsége a játékos nyeresége. b) Egy játékot játszva mennyi a nyereség várható értéke? Ha a két keréken forgatott számok összege 1000, ezt bingó-nak nevezik. Ha bingót ér el egy játékos, akkor választhat egy zeneszámot a fesztiválsátorban. c) Igazolja, hogy a bingó forgatásának valószínűsége 0,2. d) Hányszor kell játszani ahhoz, hogy legalább 95% legyen annak a valószínűsége, hogy egy játékos legalább egyszer bingót forgasson?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10838

A valós számok halmazán értelmezett f függvény f deriváltfüggvényének hozzárende- lési szabálya: 2 ( ) ( 2) ( 5)f x x x = . a) Adja meg az f függvény összes lokális (helyi) szélsőértékének típusát és helyét! b) Határozza meg az f függvény hozzárendelési szabályát úgy, hogy az f grafikonja áthaladjon a (0 1) ponton! c) Igazolja, hogy a 3 2 3 : ( ) 1 x x g g x x + = + R R függvény szigorúan monoton növekedő!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10839