a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 3 log ( 2) log (2 8)     2 2 x x Adott az f és a g függvény: f : R  R, f x ( ) 2  x3 g : R  R, g x ( ) 2 7   x b) A két függvény grafikonját egy számítógépes programmal közös koordináta-rendszerben ábrázoltuk. Határozza meg a két grafikon metszéspontjának koordinátáit! Legyen a h függvény értelmezési tartománya az egyjegyű pozitív prímszámok halmaza, és legyen h x ( ) 2  x3 . c) Határozza meg a h függvény inverzfüggvényének az értelmezési tartományát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10910

a) Hány olyan hétjegyű szám van a kettes számrendszerben, amelyben legfeljebb két darab 0 számjegy található? Legyen H az egyjegyű pozitív egész számok halmaza. b) Hány olyan 4 elemű részhalmaza van H-nak, amelynek az 1 vagy a 2 eleme? c) A és B legyen a fenti H alaphalmaz két részhalmaza. Adja meg az alábbi (igaz) állítás megfordítását, és adja meg a megfordítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja! „Ha A  B , akkor AB  .”

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10911

A kockapóker játékot öt szabályos dobókockával játsszák. A játék célja, hogy a játékosok bizonyos számkombinációkat dobjanak ki a kockákkal. Részletek a játékszabályból:  A dobójátékos először mind az öt kockával dob.  Ha nem elégedett az első dobás eredményével, akkor ezután felvehet tetszőleges számú kockát a lent lévő öt kockából, és azokkal másodszor is dobhat. A Sor számkombináció esetén az öt kockán öt különböző, egymást követő szám szerepel. A Royal számkombináció esetén mind az öt kockán ugyanaz a szám szerepel. A Full House számkombináció esetén az öt kocka közül három kockán ugyanaz a szám szerepel, a maradék két kockán pedig szintén azonos, de az előzőtől eltérő szám szerepel (pl. 1-1-1-4-4). a) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy játékos első dobása Sor lesz! Egy játékos az első dobásával a 3-3-3-4-5 számokat dobta. A 3-asokat lent hagyja, a má- sik két kockával pedig másodszor is dob. b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a játékos második dobása után kapott számkombináció Full House vagy Royal lesz! Egy „cinkelt” (nem szabályos) dobókockával a 6-os dobás valószínűsége p. Ezzel a kockával kétszer dobunk egymás után. Tudjuk, hogy 0,64 annak a valószínűsége, hogy a két dobásból legalább az egyik 6-os. c) Számítsa ki p értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10912

Az ábrán látható ABCD négyzet AC átlóját a P és a Q pont három szakaszra bontja, mégpedig úgy, hogy AP:PQ:QC  4:5:3 teljesül. Jelölje F a négyzet AB oldalának felezőpontját. a) Határozza meg, hogy az AFQ háromszög területe hányadrésze az ABCD négyzet területének! A négyzet oldala 24 egység hosszú. b) Igazolja, hogy az FPQ háromszögben FP  4 5 és QF  6 10 . c) Igazolja, hogy az AFQ háromszög és az FPQ háromszög hasonló!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10913

a) Határozza meg az 4 n n a  n  sorozat határértékét! b) Igazolja, hogy az an sorozat szigorúan monoton csökkenő! c) Határozza meg azokat az n pozitív egész számokat, amelyekre teljesül, hogy ( 4)! 24( 1)( 3). ! n n n  n    d) Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett f (x) = 24(x + 1)(x + 3) függvény grafikonja és az x tengely által közbezárt korlátos síkidom területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10914

Domi két héten keresztül felüléseket végzett reggeli tornaként. A második naptól kezdve minden reggel 5-tel több felülést végzett, mint az előző napon. A két hét alatt összesen 1001 felülést végzett. a) Hány felülést végzett Domi a legelső napon, és hányat a legutolsón? Dalma az 5250 méter hosszú margitszigeti futókörön edz. Egyik nap két kört futott: a második körben az átlagsebessége 3,5 km/h-val kisebb volt, mint az első körben. A teljes kétkörös futás átlagsebessége 12 km/h volt. (Az átlagsebesség a megtett út hosszának és az út megtételéhez szükséges időnek a hányadosa.) b) Határozza meg Dalma átlagsebességét az első, illetve a második körben! c) Írja a következő mondatban a pontozott vonalakra a megadottak közül a megfelelő szavakat úgy, hogy az állítás igaz legyen: számtani, harmonikus, mértani. „Két különböző pozitív valós szám …….….……….…. közepe mindig nagyobb, mint a …….….……….…. közepe, de kisebb, mint a …….….……….…. közepe.”

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10915

A finom homokban az egyes gömb alakú homokszemek sugarát egységesen 0,1 mm-nek tekinthetjük. Egy 2 dl-es poharat teletöltünk finom homokkal. A homok (mivel a gömb alakú homokszemek nem töltik ki teljesen a teret) a pohár űrtartalmának 60%-át tölti ki. a) Határozza meg, hány homokszem található a 2 dl-es pohárban! Válaszát millióra kerekítve adja meg! Egy építkezéshez homokot rendelt Szabó úr. A homok megérkezett, és lerakás után a homokkupac jó közelítéssel egy 1,8 méter alkotójú forgáskúpnak tekinthető. b) Határozza meg a homokkupac térfogatát, ha alapkörének átmérője 3,1 méter! c) Határozza meg az 1,8 méter alkotójú forgáskúpok közül annak a sugarát és a magasságát, amelynek a térfogata maximális! Mekkora ez a maximális térfogat?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10916

A k1 kör egyenlete a derékszögű koordináta-rendszerben x x y y 2 2     4 12 13. a) Határozza meg a k1 kör sugarát és középpontjának koordinátáit! A k1 körbe írható ABCD húrtrapéz csúcsai A(4; 13), B(–5; 4), C(4; –1) és D(9; 4). b) Határozza meg a húrtrapéz magasságát és szögeit! A k2 kör egyenlete a derékszögű koordináta-rendszerben x y 2 2   53 . c) Hány olyan pont található a k2 körvonalon, amelynek mindkét koordinátája egész szám?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10917

Egy k és egy 2k pontú teljes gráfnak összesen 697 éle van. a) Határozza meg k értékét! Egy kispályás labdarúgó-bajnokságban hat csapat körmérkőzést játszik egymással: mindegyik csapat játszik mindegyik másikkal egy-egy mérkőzést. A bajnokság megkezdése előtt a szervezők a mérkőzések közül kisorsolnak hármat, és ezeken a mérkőzéseken doppingellenőrzést tartanak. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy lesz olyan csapat, amelyik mindhárom kisorsolt mérkőzésen szerepel! Egy mérkőzés előtt az öltözőben hatan vannak, akik közül néhányan már kezet fogtak egymással. Mind a hat embertől megkérdeztük, hogy eddig hány másik emberrel fogott kezet. A válaszok között van öt különböző érték. c) Hány kézfogás történhetett eddig összesen?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10918