Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) 2 2 1 x x   1 b) 2sin 3cos 0

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10925

Egy szöveget ketten lektorálnak, Aliz és Hanna. Aliz az összes hiba p%-át fedezte fel, és a Hanna által felfedezett hibáknak is éppen a p%-át találta meg. A szövegben Aliz 35, Hanna 40 hibát vett észre, ezek közül 28 hibát mindketten észrevettek. a) Az összes hiba közül hányat nem vett észre egyikük sem? Egy gyakorlott gépírónő a tapasztalatok szerint ötszáz karakterből átlagosan egynél hibá- zik (ezt tekinthetjük úgy, hogy minden egyes karaktert 1 500 valószínűséggel ír le hibá- san). Egy gépelt oldal kb. 2000 karaktert tartalmaz. b) Igazolja, hogy a gépírónő körülbelül 0,0182 valószínűséggel gépel le hibátlanul egy teljes oldalt! c) Ha a gépírónőnek egy 150 oldalas szöveget kell legépelnie, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy a legépelt szövegnek lesz legalább két hibátlan oldala?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10926

Adott az f : ; ( ) 0,5 3 R R     f x x x 2 másodfokú függvény. a) Határozza meg az f értékkészletét! b) A P(6; 0) pont rajta van az f grafikonján. Adja meg a grafikon P-re illeszkedő érintőjének meredekségét, és ennek az érintőnek az egyenletét! c) Adja meg azt a valós számok halmazán értelmezett g függvényt, amelyre igaz, hogy g f   és g(3)  7 ( ga g deriváltfüggvényét jelöli)!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10927

Az utakon látható STOP tábla méretét egy miniszteri rendelet pontosan szabályozza1: a tábla alakja egy olyan szabályos nyolcszög, amelynek az ábrán D-vel jelölt méretei egyaránt 600 mm-esek (lakott területen belüli táblák esetén). a) Mekkora a szabályos nyolcszög egy oldalának hossza? A méhek (megközelítőleg) szabályos hatszög alakú sejtekből építik fel a lépet. Az építkezés első „lépése” után 1, a második lépése után 7, a harmadik lépése után 19 sejt készült már el összesen. Az első három lépést szemlélteti az alábbi ábra. Tegyük fel, hogy az ábra szerint vázolt „körkörös” stratégia szerint építkeznek tovább a méhek, azaz minden egyes további lépésben újabb szabályos hatszög alakú sejtekkel veszik körül az előzőleg már elkészült építményt. Így a harmadik lépéstől kezdve minden egyes lépésben 6-tal több új szabályos hatszöget építenek meg, mint az előző lépésben. b) Igazolja (teljes indukcióval vagy más módszerrel), hogy az n-edik lépés után öszszesen 3 3 1 n n 2   darab hatszög készült el!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10928

Egy építőjáték olyan (kockától különböző) egybevágó négyzetes oszlopokat tartalmaz, amelyeknek minden lapja vagy kékre, vagy sárgára van festve. Mindegyik oszlopon több sárga színű lap van, mint kék színű. Az építőjáték a feltételnek megfelelő minden különböző színezésű oszlopból egy darabot tartalmaz. a) Hány négyzetes oszlop van az építőjátékban? (Két színezett oszlop különböző, ha térbeli mozgatással nem vihetők át egymásba.) Egy négyzetes oszlop felszíne 384 cm2. b) Számítsa ki az oszlop térfogatát, ha oldalélei 22 cm hosszúak! c) Hogyan válasszuk meg a 384 cm2 felszínű négyzetes oszlop alapéleit, illetve oldal- éleit, hogy a nyolc alapél és a négy oldalél hosszának az összege minimális legyen?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10929

Az ABC derékszögű háromszög A csúcsánál fekvő szöge 30°-os. a) A háromszög AB átfogójának F felezőpontjában merőlegest állítunk az átfogóra. Ez a merőleges az AC befogót az E pontban metszi. Milyen arányban osztja két részre az E pont az AC befogót? A háromszögből az átfogójához tartozó CP1 magassága mentén levágjuk a H1-gyel jelölt háromszöget. Az így megmaradó ACP1 derékszögű háromszögben végrehajtjuk ugyanezt a lépést: a H2 háromszöget vágjuk le a háromszög átfogójához tartozó P1P2 magassága mentén, és így tovább (lásd az ábrán). b) Ha ezt az eljárást 13-szor hajtjuk végre, akkor a 13 háromszög levágása után megmaradó háromszög területe hány százaléka az ABC háromszög területének? c) Mekkora a végtelen sok szakaszból álló CP1P2P3P4… töröttvonal hosszának pontos értéke, ha CP1  2 3  ?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10930

Endre, Frici és Gyuri sportlövők. A lőtéren hat lőállás van egymás mellett, 1-től 6-ig megszámozva. Egyik nap az edzőjük véletlenszerűen osztja be őket egy-egy különböző lőállásba. a) Melyik esemény a valószínűbb: az, hogy három egymás melletti lőállásba kerülnek, vagy az, hogy közülük semelyik kettő nem kerül szomszédos lőállásba? Egy sportlövőversenyen minden lövéssel 5, 4, 3, 2, 1 vagy 0 pontot lehet szerezni. A győzelemhez Endrének az utolsó öt lövéssel összesen legalább 22 pontot kell elérnie. b) Hányféleképpen lehet öt lövéssel legalább 22 pontot elérni? (Két ötlövéses sorozatot azonosnak tekintünk, ha legfeljebb a szerzett pontszámok sorrendjében térnek el egymástól.) Ugyanezen a versenyen Gyuri utolsó tíz lövése között nem volt 0 pontos. A tíz lövés pontszámának terjedelme, mediánja és átlaga is 3, egyetlen módusza pedig a 2 volt. c) Határozza meg monoton növekvő sorrendben Gyuri utolsó tíz lövésének pontérté- két! (Megoldása során indokolja, hogy a tíz lövés pontértéke – sorrendjüktől eltekintve – egyértelmű.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10931

Egy háromszög oldalainak hossza p q 2 2  , p q 2 2  , illetve 2pq, ahol p és q olyan pozitív egész számok, melyekre p > q teljesül. a) Igazolja, hogy a három oldalhossz közül p2 2  q a legnagyobb! b) Igazolja, hogy a háromszög derékszögű! c) Igazolja, hogy a háromszög területe p3 3 q q p  ! d) Jelölje a háromszögbe írt kör sugarának hosszát r. Igazolja, hogy r értéke egész szám!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10932

Legyen f a valós számok halmazán értelmezett függvény, ahol f ( ) x x  2 . a) Határozza meg a és b értékét, ha ( ) 63 b a  f x  és f ( ) a b  . Legyen h a valós számok halmazán értelmezett függvény, ahol h(x)  x2 + px + r. b) Határozza meg p és r értékét, ha h(1), h(3) és h(4) (ebben a sorrendben) egy számtani, h(1), h(2) és h(4) pedig (ebben a sorrendben) egy mértani sorozat egymást kö- vető tagjai!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10933