a) Legyen a és b két pozitív valós szám. Határozza meg az alábbi állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja! „Ha a  6 és b  8, akkor a és b számtani közepe nagyobb 7-nél.” b) Fogalmazza meg az előbbi állítás megfordítását, és határozza meg a megfordított állítás logikai értékét is! Válaszát indokolja! c) Határozza meg az x pozitív valós szám értékét úgy, hogy a 7-nek és az x-nek a harmonikus közepe 10 legyen! d) Tudjuk, hogy az (A  B)  (A  C) kijelentés logikai értéke igaz. Mit lehet tudni az A, B és C kijelentések logikai értékéről? Tegyen X-et az alábbi táblázat megfelelő celláiba! (Válaszait itt nem kell indokolnia.) a) 2 pont b) 3 pont c) 4 pont d) 3 pont Ö.: 12 pont biztosan igaz biztosan hamis nem lehet eldönteni A B C

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10940

Amikor egy csésze forró folyadékot beviszünk egy szobába, akkor a folyadék hőmérsékletének változását jó közelítéssel – Newton lehűlési törvénye szerint – a következő képlet írja le: T t H T H ( ) ( (0) ) 2 .     ct A képletben T(t) a folyadék hőmérséklete a vizsgálat kezdetétől számított t perc elteltével, H a szoba (állandónak tekinthető) hőmérséklete, T(0) a folyadék kezdeti hőmérséklete (T(0) > H), c pedig a lehűlő folyadékot jellemző konstans. (A hőmérsékletet °C-ban mérjük.) Egy csésze 75 °C-os kávét beviszünk egy 25 °C hőmérsékletű szobába. A kávéra jellemző c érték –0,209. a) Számítsa ki, hogy negyedóra múlva milyen hőmérsékletű lesz a kávé! b) A vizsgálat kezdetétől számítva mennyi idő múlva hűl le a kávé 25,5 °C hőmérsékletűre? Egy csésze 85 °C-os hőmérsékletű kávét beviszünk egy ismeretlen hőmérsékletű szobába. 10 perc alatt a kávé 40 °C-ra hűl le. c) Határozza meg a szoba hőmérsékletét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10941

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 2 sin 7 sin 1 5 2 x x    b) Határozza meg az f: R  R, x  sin x függvény grafikonja, az 6 x   és az 56 x   egyenletű egyenesek, valamint az x tengely által közrezárt korlátos síkidom területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10942

Tekintsük azokat a háromszögeket, amelyeknek a, b és c oldalaira teljesül, hogy (centiméterben mérve) b  a + 4 és c  a + 8. a) Adott egy ilyen tulajdonságú háromszög, melynek legnagyobb szöge 120. Hatá- rozza meg a háromszög oldalainak hosszát! b) Adott egy ilyen tulajdonságú háromszög, melynek leghosszabb oldala 24 cm hosszú. Határozza meg a háromszög területét! c) Igazolja, hogy minden ilyen tulajdonságú háromszög kerülete nagyobb, mint 24 cm!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10943

Egy szabályos dobókockával hatszor dobtunk. A dobott számok monoton növekvő sorrendben: 1, 2, 2, 3, 3, 3. a) Határozza meg a dobott számok átlagát és szórását! b) Hány olyan különböző dobássorozat van, amely egy darab 1-esből, két darab 2-esből és három darab 3-asból áll? Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk. c) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a két dobott szám szorzata 2-vel osztható lesz, de 4-gyel nem! Egy kék és egy zöld dobókockával dobunk, a dobás kimenetele egy számpár. Jelölje (k, z) a dobásnak azt a kimenetelét, amikor a kék kockával dobott szám k, a zöld kockával dobott szám pedig z. Legyen a H alaphalmaz a dobás kimeneteleként megkapható összes lehetséges (k, z) számpár halmaza. Az A, B és C részhalmazokat a következő- képpen definiáljuk: A  {(k, z)│a k + z összeg prím} B  {(k, z)│a k ꞏ z szorzat prím} C  {(k, z)│k  z} d) Satírozással jelölje a Venn-diagramon a H-nak azt a részhalmazát, amelyik üres halmaz! A Venn-diagram minden egyes további tartományába írjon egy-egy megfelelő számpárt! Válaszát itt nem kell indokolnia.

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10944

Az OAB egyenlőszárú háromszög OA és OB szárai 12 cm hoszszúak, AOB szöge 75. Az OA szakasz C pontját és az OB szakasz D pontját (az ábra szerint) egy O középpontú, 8 cm sugarú körív köti össze. a) Határozza meg a szürkére színezett tartomány területét és kerületét! Az OAB háromszöget megforgatjuk az OA oldal egyenese körül. b) Határozza meg az így keletkező forgástest térfogatát! Az ábrán látható négy tartományt piros, kék és zöld színnel színezzük ki úgy, hogy egy tartományhoz egy színt használunk. c) Hányféleképpen színezhetjük ki a négy tartományt, ha szomszédos tartományok nem lehetnek azonos színűek? (Két tartomány szomszédos, ha van közös határvonaluk. A színezéshez nem szükséges mindhárom színt felhasználni.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10945

Alízék osztálytermében az egyik fal mellett három sorban 12-12, összesen 36 szekrény található a diákok számára, 1-től 36-ig megszámozva. Az osztályba 33-an járnak. Tanév elején minden diák – sorsolás útján – egy-egy szekrényt kap. Három szekrény így a sorsolás után üresen marad. a) Legyen az A esemény az, hogy a három üresen maradó szekrény egy sorban található, a B esemény pedig az, hogy a három üresen maradó szekrény három különböző sorban található. Melyik eseménynek nagyobb a valószínűsége? A szekrények téglatest alakúak. Egy-egy szekrény belseje 20 cm széles, 35 cm magas és 30 cm mély. b) Határozza meg a leghosszabb egyenes pálca hosszát, ami elhelyezhető a szekrényben! (A pálca vastagságától eltekinthetünk.) Alíz, Boglárka, Csenge és Dorka szekrénykulcsai összekeveredtek, és a négy lány véletlenszerűen osztja el egymás közt a négy kulcsot. c) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy legalább két lány a saját kulcsát kapja vissza!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10946

Egy növényfaj ezer darab magjának tömegét grammban megadva kapjuk az úgynevezett ezermagtömeget. Egy bizonyos fajta zab ezermagtömege 35 gramm. a) Kb. hány darab magot tartalmaz egy tonna zabmag ebből a fajtából? Válaszát normálalakban adja meg! Jancsi nyári diákmunkaként zabhegyezést vállalt Kukutyinban. Tudja, hogy ha a zabhegyező gépbe k kg zabot helyez, akkor a gép 2 90 40 k  perc alatt végez a zabhegyezéssel. Jancsinak összesen 1000 kg zabot kell kihegyeznie a gép segítségével. Elhatározza, hogy a zabot egyenlő részekre osztva fogja kihegyezni. b) Hány óra alatt végez Jancsi a zabhegyezéssel, ha 8 egyenlő részre osztja az 1000 kg zabot? c) Az 1000 kg zabot n egyenlő részre osztjuk (n  Z+). Határozza meg n értékét úgy, hogy az 1000 kg zab kihegyezésének ideje minimális legyen! Hány óra ez a minimális idő?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10947

Egy mértani sorozat n-edik tagja 2 1 2 n an          (n  Z+). a) Határozza meg azt a legkisebb n értéket, amelyre an  10 7 teljesül! b) Határozza meg a mértani sorozat első 10 tagjának összegét! Válaszát k m  alakban adja meg, ahol k és m relatív prímek! A {bn} sorozat n-edik tagja 2 2 1 2 n bn           (n  Z+). c) Igazolja, hogy (minden pozitív egész n-re) 2 0

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10948